Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} x_{k}, \quad l=1,2, \ldots, n .
\]

Пусть $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$-корни характеристического уравнения системы (8.1), т. е. корни уравнения
\[
\left|\begin{array}{c}
a_{11}-\lambda \ldots a_{1 n} \\
\cdot . . \cdot \cdot \cdot \\
a_{n 1} \ldots a_{n n}-\lambda
\end{array}\right|=0 .
\]

Справедливы следующие утверждения [8]:
1. Если все корни уравнения (8.2) имеют отрицательные вещественные части, то нулевсе решение системы (8.1) асимптотически устойчиво.
2. Если среди корней уравнения (8.2) есть хотя бы один с положительной вещественной частью, то нулевое решение системы (8.1) неустойиво.
3. Если уравнение (8.2) не имеет корней с положительной вещественной частью, но имеется часть корней с нулевой вещественной частью, то может иметь место как устойчивость (не асимптотическая), так и неустойчивость.

Таким образом, вопрос об устойчивости нулевого решения системы (8.1) сводится к исследованию характера корней уравнения (8.2). Раскрывая определитель (8.2), получим уравнение
\[
f(\lambda)=\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+\ldots+a_{n}=0 .
\]

Из коэффициентов полинома $f(\lambda)$ составим матрицу

В записи этой матрицы полагаем $a_{m}=0$, если $m>n$. Рассмотрим определители
\[
\begin{array}{c}
\Delta_{1}=a_{1}, \quad \Delta_{2}=\left|\begin{array}{cc}
a_{1} & 1 \\
a_{3} & a_{2}
\end{array}\right|, \quad \Delta_{3}=\left|\begin{array}{ccc}
a_{1} & 1 & 0 \\
a_{3} & a_{2} & a_{1} \\
a_{5} & a_{4} & a_{3}
\end{array}\right|, \ldots, \\
\Delta_{n}=a_{n} \Delta_{n-1} .
\end{array}
\]

Для того чтобы все корни уравнения (8.3) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно выполнение неравенств
\[
\Delta_{k}>0 \text { при } k=1,2, \ldots, n .
\]

Это утверждение носит название теоремы Гурвица; доказательство теоремы Гурвица имеется, например, в монографии [26]. Условия (8.4) часто называют условиями РаузаГурвица.
Для уравнения второй степени
\[
\lambda^{2}+a_{1} \lambda+a_{2}=0
\]

условия Рауза-Гурвица имеют вид $a_{1}>0,\left|\begin{array}{ll}a_{1} & 1 \\ 0 & a_{2}\end{array}\right|>0$, или, что то же самое, $a_{1}>0, a_{2}>0$.

Для уравнения третьей степени
\[
\lambda^{3}+a_{1} \lambda^{2}+a_{2} \lambda+a_{3}=0
\]

условия Рауза–Гурвица запишутся в виде
\[
a_{1}>0, \quad\left|\begin{array}{ll}
a_{1} & 1 \\
a_{3} & a_{2}
\end{array}\right|>0, \quad a_{2}\left|\begin{array}{ll}
a_{1} & 1 \\
a_{3} & a_{2}
\end{array}\right|>0 ;
\]

очевидно, эти условия эквивалентны условиям
\[
a_{1}>0, \quad a_{2}>0, \quad a_{1} a_{2}>a_{3} .
\]

В дальнейшем нам понадобятся некоторые простейшие сведения из линейной алгебры.

Рассмотрим квадратичную форму $v=\sum_{i, k=1}^{n} b_{i k} x_{i} x_{k}$, где $b_{i k}=b_{k i}$. Обозначая через $B$ матрицу, составленную из коэффициентов $b_{i_{k}}$, и через $\boldsymbol{x}$ вектор с проекциями $x_{1}, \ldots, x_{n}$, можем записать
\[
v=(x, B x),
\]

где $(\boldsymbol{x}, B \boldsymbol{x}$ ) означает скалярное произведение векторов $\boldsymbol{x}$ и $B \boldsymbol{x}$.

Если вектор $\boldsymbol{x}$ является функцией времени $t$, то и форма $v$ также будет функцией $t$ и имеет место следующее правило дифференцирования:
\[
\frac{d v}{d t}=\left(\frac{d x}{d t}, B x\right)+\left(x, B \frac{d x}{d t}\right) .
\]

Если матрица $B$ не симметрична, то для векторов $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ имеет место соотношение
\[
(x, B y)=\left(B^{*} \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\right),
\]

где $B^{*}$ – транспонированная матрица.
Заметим еще следующий хорошо известный факт: если матрица $T$ – неособая матрица, т. е. матрица, определитель которой отличен от нуля, то матрицы $B$ и $T B T^{-1}$ (подобные матрицы) имеют одинаковые собственные числа.
Запишем систему (8.1) в матричной форме
\[
\frac{d x}{d t}=A x \text {, }
\]
и найдем производную квадратичной формы $\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{x}, B \boldsymbol{x})$
в силу этой системы. Имеем согласно (8.5)
\[
\frac{d v}{d t}=(A x, B x)+(x, B A x) .
\]

Используя соотношение (8.6), получим
\[
\frac{d v}{d t}=\left(x,\left[A^{*} B+B A\right] x\right) .
\]

Потребуем теперь, чтобы форма $v$ удовлетворяла уравнению
\[
\frac{d v}{d t}=w,
\]

где $w=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{C x})$ – заданная квадратичная форма. Сравнивая (8.8) и (8.9), получим матричное уравнение для определения матрицы $B$
\[
A^{*} B+B A=C .
\]

Уравнение (8.10) позволяет наити матрицу формы $v$ по заданной матрице формы ж. Исследование уравнения (8.10) представляет большой интерес, так как это уравнение позволяет найти функцию Ляпунова в виде квадратичной формы по заданной производной. Уравнение (8.10) ставит в соответствие всякой матрице $B$ матрицу $C$, причем это соответствие линеино. Таким образом, в пространстве квадратичных матриц $n$-го порядка может быть определен линейный оператор $F(B)=A^{*} B+B A$. Задача о разрешимости уравнения (8.10) сводится к задаче определения оператора, обратного оператору $F$, так как $B=F^{-1} C$. Так как оператор $F$ действует в конечномерном пространстве ( $n^{2}$ измерений), то для существования обратного оператора необходимо и достаточно, чтобы среди собственных чисел оператора $F$ не было нулевого.

Теорема 8.1. Eсли корни характеристического уравнения системы (8.7) таковы, что сумма $\lambda_{i}+\lambda_{k}$ не обращается в нуль ни при каких $i, k$, то, какова бы ни была наперед заданная квадратичная форма э, существует единственная квадратичная форма $v$, удовлетворяющая уравнению (8.9).

Докажем теорему. По определению, собственным числом оператора $F$ называется число $\mu$, такое, что уравнение $F(B)=$

$=\mu B$ имеет в качестве решения ненулевую матрицу $B$. Это уравнение может быть переписано в виде $A^{*} B+B A=\mu B$; отсюда следует, что $\left(A^{*}-\mu E\right) B=-B A$.

Покажем, что матрицы $A^{*}-\mu E$ и $-A$ имеют по крайней мере одно общее собствєнное число. Если это не так, то характеристические полиномы $g(\lambda)$ и $f(\lambda)$ этих матриц не имеют общих делителей, поэтому можно указать полиномы $g_{1}(\lambda), f_{1}(\lambda)$, такие, что имеет место соотношение $g_{1}(\lambda) g(\lambda)+$ $+f_{1}(\lambda) f(\lambda)=1$. Пусть $h(\lambda)=g_{1}(\lambda) g(\lambda)$. По теореме КэлиГамильтона ([5], стр. 74) имеем $h\left(A^{*}-\mu E\right)=0$ и $h(-A)=E$. $\mathrm{C}$ другой стороны, легко видеть, что имеет место соотношение $h\left(A^{*}-\mu E\right) B=B h(-A)$, которое и приводит нас к противоречивому выводу, что $B=0$.

Итак, среди собственных чисел $\lambda_{i}-\mu$ матрицы $A-\mu E$ существует по крайней мере одно, равное – $\lambda_{k}$ (здесь через $\lambda_{i}, \lambda_{k}$ обозначены собственные числа матрицы $A$ ). Таким образом, $\mu=\lambda_{i}+\lambda_{k}$ и в силу условия теоремы $\mu
eq 0$. Отсюда делаем вывод, что оператор $F$ обратим, и уравнение (8.10) имеет решение.