1. Рассмотрим уравнение
\[
x^{(n)}+a_{1} x^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1} \dot{x}=-\alpha \varphi(x),
\]

где
\[
\varphi(x)
eq 0 \text { при } x
eq 0,|\alpha| \leqslant 1 .
\]

Предположим, что уравнение
\[
\lambda^{n-1}+a_{1} \lambda^{n-2}+\ldots+a_{n-1}=0
\]

имеет только корни с отрицательными вещественными частями. Уравнение (6.1) эквивалентно системе
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{x}_{i}=x_{i+1}, i=1, \ldots, n-1, x_{1}=x, \\
\dot{x}_{n}=-a_{n-1} x_{2}-\ldots-a_{1} x_{n}-\alpha \varphi\left(x_{1}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Рассмотрим систему
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}_{i}=x_{i+1}, l=2, \ldots, n-1, \\
\dot{x}_{n}=-a_{n-1} x_{2}-\ldots-a_{1} x_{n} .
\end{array}\right\}
\]

В силу теоремы 9.1 первой главы существует определенно положительная квадрагичная форма $v_{1}\left(x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$, производная которой, взятая в силу системы (6.4), будет равна $w^{\prime}=-x_{2}^{2}-\ldots-x_{n}^{2}$.
Рассмотрим функцию
\[
v\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=v_{1}\left(x_{2}, \ldots, x_{n}\right)+\frac{1}{2} y^{2},
\]

где
\[
y=a_{n-1} x_{1}+a_{n-2} x_{2}+\ldots+a_{1} x_{n-1}+x_{n} .
\]

Вычисляя производную функции $v$, в силу системы получим
\[
\dot{v}=w-\left(\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{n}}+y\right) \alpha \varphi\left(x_{1}\right),
\]

так как производная величины $y$, взятая в силу системы (6.3), тождественно равна – ар ( $\left.x_{1}\right)$.
Мы видим, что если положить
\[
\operatorname{sign} \alpha=\operatorname{sign}\left(\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{n}}+y\right) \varphi(x),
\]

то будут выполнены все условия теоремы 12.1 первой главы; эти условия обеспечивают асимптотическую устойчивость в целом нулевого решения системы (6.3).

Если величину $\alpha$ искать исходя из требования, чтобы скорость убывания функции $v$ вдоль траектории системы (6.3) была наибольшей $[66,67]$, то получим
\[
\alpha=\operatorname{sign}\left(\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{n}}+y\right) \varphi(x) .
\]

Наиболее типичным является случай, когда функция $\varphi(x)$ удовлегворяет условию $\varphi(x) x>0$ при $x
eq 0$; формулу (6.7) можно переписать тогда в виде
\[
\alpha=\operatorname{sign}\left(\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{n}}+y\right) x .
\]

Это последнее условие обеспечинает устойчивость при любых начальных возмущениях для любой функции $\varphi(x)$, удовлетворяющей при $x
eq 0$ неравенству $\varphi(x) x>0$. Обычно устойчивость указанного типа называют абсолютной устончивостью.
Зададим теперь функцию $\varphi(x)$ следуюцим образом:
\[
\begin{array}{l}
\varphi(x)=K x \text { при }|K x| \leqslant H, \\
\varphi(x)=H \operatorname{sign} x \text { при }|K x|>H,
\end{array}
\]

где $K$ и $H$-положительные постоянные. Уравнение (6.1) описывает в этом случае систему регулирования с ограничителем на входе регулируемого объекта. При $K=\infty$ получаем чисто релейную систему, при $H=\infty$ и $K$ конечном получаем класс систем, изученных в предыдущем параграфе.

Важно отметить, что закон выбора величины $\alpha$, указанный здесь, обеспечивает асимптотическую устойчивость при любом положительном значении $K$, в то время как ранее требовалось, чтобы величина $K$ была достаточно большой.
2. Изучим теперь рассматриваемый вопрос с более общей точки зрения.

Пусть система регулирования описывается системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
\[
\dot{x}_{i}=a_{i 1} x_{1}+\ldots+a_{i n} x_{n}, i=1, \ldots, n .
\]

Предположим, что характеристическое уравнение системы (6.8) имеет один нулевой корень и $n-1$ корней с отрицательными вещественными частями.

Поставим задачу описания возможных методов коррекции системы регулирования, обеспечивающих асимптотическую устойчивость при любых начальных возмущениях. Эта задача представляет интерес, так как в приложения часто встречаются системы, у которых передаточная функция объекта регулирования имеет нуль в качестве простого полюса. С математической точки зрения метод рассуждения, приводимый нами, аналогичен рассуждениям, проводимым при исследовании вопросов устойчивости в критическом случае одного нулевого корня [1].

Для определенности предположим в дальнейшем, что среди неравных нулю миноров $n-1$-го норядка матрицы $A$, составленной из коэффициентов системы, имеется по крайней мере один, составленный из коэффициентов, входящих в первые $n-1$ уравнений системы (6.8).
Наряду с системой (6.8) рассмотрим систему
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}_{i}=a_{i 1} x_{1}+\ldots+a_{i n} x_{n}-a\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \varphi_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
i=1, \ldots, n,
\end{array}
\]

где функции $\varphi_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ заданы, а функция $\alpha\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ подлежит определению.

Как известно, существует неособое линейное преобразование
\[
\begin{array}{c}
y=b_{1} x_{1}+\ldots+b_{n} x_{n}, \\
y_{i}=b_{i 1} x_{1}+\ldots+b_{i n} x_{n}, i=1, \ldots, n-1, b_{n}
eq 0,
\end{array}
\]

переводящее систему (6.8) в систему дифференциальных уравнений
\[
\begin{array}{c}
\dot{y}=0, \\
\hat{y}_{i}=p_{i} y_{1}+\ldots+p_{i, n-1} y_{n-1}, i=1, \ldots, n-1 .
\end{array}
\]

Указанное преобразование переведет систему (6.9) в систему
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{y}=-\alpha\left(b_{1} \varphi_{1}+\ldots+b_{n} \varphi_{n}\right), \\
\dot{y}_{i}=p_{i 1} y_{1}+\ldots+p_{i, n-1} y_{n-1}-\alpha\left(b_{i 1} \varphi_{1}+\ldots+b_{i n} \varphi_{n}\right), \\
\quad i=1, \ldots, n-1 .
\end{array}\right\}
\]

Так как корни характеристического уравнения матрицы $P$, составленной из коэффициентов $p_{i k}, i=1, \ldots, n-1, k=$ $=1, \ldots, n-1$, имеют отрицательные вещественные части, то по теореме 9.1 первой главы для любой определенно отрицательной квадратичной формы $w\left(y_{1}, \ldots, y_{n-1}\right)$ переменных $y_{1}, \ldots, y_{n-1}$ существует определенно положительная квадратичная форма $v_{1}\left(y_{1}, \ldots, y_{n-1}\right)$ этих же переменных такая, что в силу первых уравнений системы (6.10) получим
\[
\frac{d v_{1}}{d t}=\sum_{i=1}^{n-1} \frac{\partial v_{1}}{\partial y_{i}}\left(p_{i
u} y_{1}+\ldots+p_{i, n-1} y_{n-1}\right)=w\left(y_{1}, \ldots, y_{n-1}\right) .
\]

Рассмотрим квадратичную форму
\[
v\left(y_{1}, \ldots, y_{n-1}, y\right)=v_{1}\left(y_{1}, \ldots, y_{n-1}\right)+\frac{1}{2} y^{2}
\]

и найдем ее производную в силу системы (6.11)
\[
\frac{d v}{d t}=w\left(y_{1}, \ldots, y_{n-1}\right)-\alpha \sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n-1} \frac{\partial v_{1}}{\partial y_{i}} b_{i k}+b_{k} y\right) \varphi_{k} .
\]

Наложим теперь дополнительное ограничение на функцию $\varphi_{k}$, а именно потребуем, чтобы при $y_{1}=y_{2}=\ldots=y_{n-1}=0$, $y
eq 0$ выполнялось неравенство $b_{1} \varphi_{1}+\ldots+b_{n} \varphi_{n}
eq 0$. В этом случае условие
\[
\operatorname{sign} x=\operatorname{sign} \sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n-1} \frac{\partial v_{1}}{\partial y_{i}} b_{i k}+b_{k} y\right) \varphi_{k}
\]

является, очевидно, достаточным условием асимптотической устойчивости в целом нулевого решения системы (6.9). Так как в правой части в скобках стоит линейная форма переменных $y_{1}, \ldots, y_{n-1}, y$, то это условие, возвращаясь к старым переменным, можно переписать в виде
\[
\operatorname{sign} \alpha=\operatorname{sign} \sum_{k=1}^{n}\left(c_{k 1} x_{1}+\ldots+c_{k n} x_{n}\right) \varphi_{k} .
\]

Интересно рассмотреть случай, когда функция $\alpha\left(x_{1}, \ldots\right.$ …, $\left.x_{n}\right)$, представляющая собой управление системы регулирования, принадлежит заранее заданному классу функций.

Пусть, например, функция $\alpha$ удовлетворяет условию $\|\alpha\| \leqslant 1, \quad$ и пусть, кроме того, $\varphi_{1}=\varphi_{2}=\ldots=\varphi_{n-1}=0$, $\varphi_{n}=\varphi$. Если будем искать функцию $\alpha$, обеспечивающую наиболее быстрое убывание функции Ляпунова $v$ вдоль траекторий системы (6.9), то получим
\[
\alpha=\operatorname{sign}\left(c_{1} x_{1}+\ldots+c_{n} x_{n}\right) \varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .
\]

Таким образом, а будет кусочно-постоянной функцией и при $\varphi=1$ мы получим чисто релейную систему.

Если положим $\varphi=K x_{n}$ при $\left|K x_{n}\right| \leqslant H, \quad \varphi=H \operatorname{sign} x_{n}$ при $\left|K x_{n}\right|>H$, где $K$ и $H$ – положительные постоянные, то при $\alpha=\operatorname{sign}\left(c_{1} x_{1}+\ldots+c_{n} x_{n}\right) x_{n}$ получим устойчивую систему с ограничителем на входе.
3. Следуя A. M. Ляпунову [1], укажем сенчас способ построения линейного преобразования, переводящего систему (6.8) в систему (6.10). Определим сначала величину $y=$ $=b_{1} x_{1}+\ldots+b_{n} x_{n}\left(b_{n}=1\right)$ таким образом, чтобы в силу системы (6.8) имело место равенство
\[
\hat{y}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} b_{i} a_{i k} x_{k}=0 .
\]
:ловие (6.12) приводит к системе уравнений
\[
a_{1 k} b_{1}+\ldots+a_{n k} b_{n}=0, k=1, \ldots, n,
\]

которая, очевидно, обладает требуемым решением, так как ранг матрицы $A$ равен $n-1$. Далее полагаем $y_{i}=x_{i}-d_{i} y$, $i=1, \ldots, n-1$, и находим коэффициенты $d_{i}$ из условия независимости $\dot{y}_{i}$ от переменной $y$. Несложные выкладки приводят нас к системе
\[
\begin{array}{c}
\hat{y}_{i}=\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_{i k}-a_{i n} b_{k}\right) y_{k}+\left[\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_{i k}-a_{i n} b_{k}\right) d_{k}+a_{i n}\right] y, \\
l=1, \ldots, n-1 .
\end{array}
\]

Приравнивая нулю коэффициенты при $y$, получаем для определения $d_{k}$ систему
\[
\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_{i k}-a_{i n} b_{k}\right) d_{k}+a_{i n}=0, i=1, \ldots, n,
\]

которая имеет решение, так как ее определитель отличен от нуля. В самом деле, переход от координат $x_{1}, \ldots, x_{n}$ к координатам $y_{1}, \ldots, y_{n-1}, y$ не меняет ранга матрицы, составленной из коэффициентов системы. Ранг матрицы, составленной из коэффициентов уравнения $\dot{y}=0$ и системы (6.13) равен $n-1$, причем $\operatorname{det}\left(a_{i k}-a_{i n} b_{k}\right)
eq 0$, так как в противном случае характеристическое уравнение этой системы имело бы по крайней мере еще один нулевой корень. Таким образом, искомое преобразование имеет вид
\[
\begin{array}{c}
y=b_{1} x_{1}+\ldots+b_{n} x_{n}, \\
y_{i}=x_{i}-d_{i}\left(b_{1} x_{1}+\ldots+b_{n} x_{n}\right),
\end{array}
\]

где $d_{i}$ и $b_{k}$ определяются из систем (6.13) и (6.14).