4.6 Обоснование правил
Теорема 4. Если система (1)
совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение
, то необходимо ранг
ранг
.
Теорема 4 дает
обоснование правилу 1), по которому, если ранг
ранг
, то не выполняется необходимое условие
совместности (непротиворечивости) системы (1).
Доказательство теоремы 4.
Пусть система (1) имеет решение и ранги
. Нам надо доказать, что ранг
. Так как по
условию ранг
,
то существует не равный нулю определитель
-го порядка, порождаемый матрицей
, следовательно и
матрицей
. Поэтому
ранг
. Остается
доказать, что всякий определитель
-го порядка, порождаемый матрицей
, равен нулю. Если
такой определитель состоит только из элементов
, то он заведомо равен нулю, потому что
он порождается также и матрицей
, которая по условию имеет ранг
. Таким образом,
нужно доказать, что любой определитель
-го порядка, порождаемый матрицей
и содержащей в себе
столбец из чисел
,
равен нулю. Не нарушая общности можно считать, что это определитель
.
К этому можно свести любой
случай, перенумеровывая соответствующим образом уравнения и неизвестные
. По условию система
(1) совместна, т. е. существует вектор
, удовлетворяющий уравнениям этой
системы. Но тогда
,
в частности, удовлетворяет первым
уравнениям заново перенумерованной
системы. Следовательно,
(13)
где
(14)
Составим систему с неизвестными
,
, …,
:
(15)
На основании (13) и (14) эта система
удовлетворяется числами
, среди которых во всяком случае одно не
равно нулю. Но тогда определитель однородной системы (15) равен нулю (см.
теорему 3), т. е.
(16)
потому что определители (
-го порядка!),
входящие в сумму
,
равны нулю - ведь ранг матрицы
равен
.
Мы доказали, что любой определитель
-го порядка,
порождаемый матрицей
, равен нулю, что и требовалось
доказать.
Перейдем теперь к обоснованию правила
2). Так как ранг матрицы
равен
(ранг
=
), то система (1) содержит
уравнений, матрица
коэффициентов которых порождает не равный нулю определитель
-го порядка. Перенумеровывая
заново уравнения и неизвестные, можно достигнуть того, что первые
уравнений системы
(1)
(1')
будут иметь определитель
.
Перенумерованную систему (1') перепишем
еще так:
(17)
В силу того, что определитель
, любой системе чисел
соответствует
единственная система чисел
, которые, очевидно, можно записать
следующим образом:
(18)
где
- адъюнкты
элементов
в
определителе
.
Следовательно, все решения системы (17) записаны по формуле (18). Числам
можно придавать
любые значения, а числа
, будут вычисляться по формулам (18).
Отсюда мы видим, что система (17) имеет бесконечное множество решений.
Мы хотим обосновать, что,
если ранг
=
ранг
, то
любое найденное нами решение
первых
уравнений системы (1) автоматически
является решением остальных уравнений этой системы. Для определенности докажем,
что оно является решением
-го уравнения. Итак, рассмотрим первые
уравнений системы
(1), которые мы запишем в виде (13). Надо доказать, что всякое решение
первых
уравнений (13)
автоматически является решением
-го уравнения в (13). Пусть
есть вектор,
удовлетворяющий первым
уравнениям в (13). Составим уравнения
(15) относительно неизвестных
, где числа
, вычисляются по формулам (14)
через компоненты
вектора
. Определитель системы
(15) равен нулю. Это видно из равенств (16), которые надо читать справа налево.
По условию определитель справа равен нулю. Но тогда система (15) имеет нетривиальное
решение
. Здесь
число
,
потому что, если допустить, что система (15) имеет решение вида
, то числа
должны обратиться в
нули, потому что определитель
. Но тогда
и система
была бы тривиальной.
Вследствие однородности системы (15) не только числа
удовлетворяют этой системе,
но и числа
обладают тем же свойством. Но тогда
числа
удовлетворяют
системе первых
уравнений
(13), имеющей определитель
. Мы уже знаем, что эта последняя
система имеет решения
и в силу единственности
.
Обращаясь к последнему уравнению
(15), мы видим, что оно удовлетворяется числами
, т.е. числа
удовлетворяют
-му уравнению системы
(13), и в силу (14) рассматриваемый нами вектор
удовлетворяет
-му уравнению системы (1).
Этим утверждение 2) доказано.