§ 23. Квадратичная форма в двухмерном  пространстве

При  квадратичная форма имеет вид

,                          (1)

так как  (мы считаем  действительными).

Чтобы привести форму (1) к сумме квадратов координат вектора  в некотором базисе , надо (см. § 22) найти базисные орты ,  — собственные векторы самосопряженного оператора , порожденного симметрической матрицей

.

Укажем способ нахождения собственных значений (чисел) и собственных векторов оператора , отличный от метода § 22.

Итак, если  — собственное число оператора  и  - соответствующий ему собственный вектор, то

.

Перепишем это уравнение в координатной форме:

                                                                (2)

или в операторной форме:

,                                                                                     (2')

где  - тождественный оператор.

Таким образом, однородная система (2) имеет ненулевое решение , что может быть, если определитель системы (2) или (2') равен нулю:

Итак, собственное число  является корнем уравнения

,                                                                         (3)

которое называется характеристическим уравнением оператора  (или квадратичной формы ).

Верно и обратное утверждение. Если  является корнем уравнения (3), то нетривиальное решение системы

                                                                      (4)

будет собственным вектором самосопряженного оператора .

Следовательно, собственные числа оператора  находятся в данном случае как корни квадратного уравнения (3):

Решая это уравнение, получаем

                                                 (5)

Отсюда видно, что , при этом  в случае , . Будем для определенности считать, что  (иначе меняем  на  и  на ). Тогда

.

Из (5) следует, что собственные значения оператора  (самосопряженного) — действительные числа.

Теперь по известным собственным числам  и  найдем собственные единичные векторы, как решения системы (4). Так как , то

ранг .

Если , то в этом случае матрица  состоит на одних нулей , т. е. ее ранг равен нулю. В этом случае квадратичная форма уже приведена к сумме квадратов . Системе (4) удовлетворяет любой вектор . Поэтому за собственные векторы можно взять орты системы координат . Любая другая система  ортонормальных векторов обладает тем свойством, что в этой системе квадратичная форма по-прежнему состоит из одних квадратов.

Теперь, если , то либо , либо , . Второй случай можно не рассматривать, так как форма (1) уже приведена к сумме квадратов. Итак, пусть . Тогда

ранг .

Поэтому достаточно рассмотреть одно уравнение системы (4):

.

Отсюда имеем

.

Вектор

является решением системы (4). Нормируя этот вектор, получим собственный вектор

.

Проводя элементарные преобразования, можно получить равенства

                                 (6)

В дальнейшем достаточно брать в формулах (6) знак +. Совершенно аналогично по собственному числу  найдем собственный вектор . Оказывается, что

.

Составим  теперь  матрицу оператора (ортогонального преобразования) , переводящего орты  в орты:

(в строках стоят координаты образов базисных ортов  и  при помощи , т. е. ). Тогда координаты вектора  в системе  связаны с координатами  этого вектора в системе  с помощью столбцов матрицы :

                                                                              (7)

Подставляя эти значения в квадратичную форму (1) и учитывая формулы (5) и (6), получим

.                                                 (8)

Правая часть этого равенства называется каноническим видом квадратичной формы.

Если числа  и  одного знака, то будем говорить, что квадратичная форма принадлежит эллиптическому типу; если  и  разных знаков, то гиперболическому типу; если же одно из чисел  или  равно нулю, то параболическому типу.

Из (5) видно, что . Поэтому тип формы (1) можно определить по знаку выражения .

Квадратичная форма будет эллиптической, гиперболической или параболической, если выражение  соответственно больше, меньше или равно нулю.

Пример 1. Привести к каноническому виду форму

.

В данном случае , , . Так как , то форма будет эллиптической. Найдем собственные векторы и их собственные значения по формулам (5), (6):

.

Далее,

.

В системе  наша квадратичная форма имеет вид

.

Так как , то преобразование с помощью матрицы

означает поворот системы  на угол  около начала координат по часовой стрелке (см. пример 1 в конце § 16).