§ 12. Векторное произведение

12.1. Два определения векторного произведения.

Зададим в некоторой прямоугольной системе координат трехмерного действительного пространства векторы

,     

и назовем векторным произведением  и  вектор

.       (1)

В качестве последнего члена этой цепи написан «обобщенный определитель», первая строка которого состоит из векторов , ,  (ортов системы координат). Во втором члене показано, как этот обобщенный определитель понимать (определитель третьего порядка мы разлагаем по элементам первой строки так, как если бы , ,  были числами).

Очевидно, что .

Векторное произведение векторов  и  можно также определить следующим образом:

1) если  и  коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору;

2) если  и  не коллинеарны, то вектор  направлен перпендикулярно к  и  и притом так, что система  ориентирована так же, как данная система координат. Длина же вектора равна

,                                                         (2)

где  есть угол между между  и  т. е. длина  равна площади параллелограмма, построенного на векторах  и  (рис. 29).

Рис. 29

Докажем эквивалентность  сформулированных  двух определений.

Если вектор , то из (1) следует, что компоненты  векторов  и  пропорциональны

,

т. е.  и  коллинеарны, но тогда векторное произведение и по второму определению равно нулевому вектору. Обратно, если  и  коллинеарны, то по второму определению . Так как компоненты векторов  и  при этом пропорциональны, то, согласно первому определению, .

Пусть теперь  и  — неколлинеарные векторы и  - их векторное произведение согласно (1). Очевидно, что

и аналогично

.

Итак, вектор  перпендикулярен к  и .

Докажем, что система векторов  ориентирована так же, как система координат , , . Будем непрерывно вращать векторы  и  вокруг точки , каждый раз вычисляя по ним вектор , но так, чтобы все время  и  были неколлинеарными. Но тогда вектор  все время будет ненулевым () и система  все время будет некомпланарной. Совершим такие повороты, чтобы векторы  и  получили направления соответственно осей  и , т. е. чтобы они имели вид , . Этого всегда можно достигнуть, потому что в данном случае плоскость векторов ,  может вращаться в пространстве. Но тогда вектор , вычисленный по формуле (1), имеет  вид . Мы видим, что векторы  в последний момент нашего процесса ориентированы так же, как оси . Но тогда, согласно определению ориентации (см. § 11) и исходная система , ,  ориентирована так же, как система координат , , .

Итак, векторное произведение , определенное по формуле (1), есть вектор, перпендикулярный к векторам  и  и система векторов  ориентирована так же, как рассматриваемая система координат , , .

Нам еще надо доказать формулу (2). Пусть векторы  и  образуют с осями координат углы, соответственно равные , ,  и , , . Так как

, , ,

, , ,

то

где  — угол между векторами  и  ().

Итак, мы доказали (2).

Таким образом, мы полностью доказали, что из определения векторного произведения по формуле (1) следует второе его определение.

Обратно, если вектор подчиняется второму определению, тогда он единственный, потому что может быть только один вектор, перпендикулярный к  и , длина которого равна площади параллелограмма, построенного на ,  и притом такой, что система  ориентирована так же, как система , , . Но тогда это есть вектор , определенный по формуле (1), потому что последний, как мы убедились, обладает указанными свойствами.

Отметим еще раз, что условие  есть необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов  и .