24.3 Классификация кривых второго порядка

Ниже будет доказано, что существует прямоугольная система координат такая, что в ней кривая (1), если она не мнимая, имеет одно из перечисленных выше уравнений 1) - 6).

Более детально:

при  кривая (1) есть эллипс, точка (случаи 1), 6)) или мнимая кривая;

при  кривая (1) есть гипербола или пара пересекающихся (разных) прямых (случаи 2), 4));

при  кривая (1) есть парабола, пара параллельных или совпадающих прямых или мнимая кривая (случаи 3), 5)).

Мы позволяем себе говорить «кривая» даже и в случаях 4), 5), 6), когда речь идет о паре прямых или множестве, состоящем из одной точки.

Итак, пусть задано уравнение

,                                                               (1)

где коэффициенты , ,  одновременно не равны нулю.

Не нарушая общности, можно считать, что . К этой ситуации всегда можно прийти с помощью ортогональных преобразований:

и умножения левой и правой частей (1) на -1.

Если , то (1) можно записать в виде

.                                  (11)

Параллельный перенос

преобразует уравнение (11) следующим образом:

.                                                            (11')

Если число , то уравнение (11') представляет собой уравнение эллипса (случай 1)) с полуосями , , где

.

Отметим, что в данном случае .

Если же правая часть уравнения (11') равна нулю, то мы получаем точку (случай 6)).

При отрицательной правой части уравнение (11') дает мнимую кривую.

Если число , то (1) можно записать в виде

.                                          (12)

Пусть число , тогда параллельный перенос

преобразует уравнение (12) в уравнение

,                                                             (12')

которое (после замены, если нужно,  на ) представляет собой уравнение параболы (случай 3)).

Если , то в зависимости от знака числа , мы получим пару параллельных прямых или мнимую кривую. Отметим, что здесь .

Далее, если число , то уравнение (1) можно записать:

,                                   (13)

анализ которого проводится так же, как в случае уравнения (11). Уравнение (13) дает гиперболу или пару пересекающихся прямых (случаи 2) и 4)). Отметим, что в данном случае .

Случай  сводится к уравнению типа (12).

Итак, при  уравнение (1) всегда дает один из частных случаев 1)-6).

Пусть теперь . Тогда, как мы знаем (см. § 23), существует ортогональное преобразование

,                                                        (14)

где

которое приводит квадратичную форму

к каноническому виду.

Преобразуем уравнение (1) с помощью (14):

,                          (15)

где

. Перепишем уравнение (15) в виде

.              (15')

Уравнение (15') является частным случаем уравнения (1) при , которое мы уже исследовали.

Таким образом, мы можем сказать, что если:

1) , то уравнение (1) представляет собой эллипс, точку или мнимую кривую. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу;

2) , то уравнение (1) представляет собой гиперболу или пару пересекающихся прямых. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит гиперболическому типу;

3)  , то уравнение (1) изображает параболу, пару параллельных прямых или мнимую кривую. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит параболическому типу.

Пример 1. Выяснить характер кривой

,

где  - произвольное действительное число.

В данном случае , т. е. уравнение принадлежит эллиптическому типу. Легко подсчитать (см. пример в § 23), что

.

Поэтому с помощью ортогонального преобразования

наше уравнение запишется

или

.

Осуществим еще параллельный перенос

тогда будем иметь

.                                       (16)

Если , то (16) будет уравнением эллипса с полуосями , где

.

Если , то (16) дает точку. Если , то (16) представляет мнимую кривую.