§ 19. Преобразование прямоугольных координат в плоскости

Рассмотрим плоскость , где задана прямоугольная система координат . Пусть

,  

- орты осей . Орты  образуют ортонормированный базис в .

Произвольный единичный (нормальный) вектор  может быть записан следующим образом:

.

Единичный ортогональный (перпендикулярный) к  вектор, который мы обозначим через , может соответствовать только либо углу , либо . Так как

,   ,

,   ,

то всевозможные ортонормированные системы , в  определяются либо равенствами (рис. 35)

,                                      (1')

соответствующими вращению осей около начала на угол  и сохранению ориентации, либо равенствами (рис. 36)

                                                                         (1'')

соответствующими вращению осей около начала на угол   и изменению ориентации.

Оба преобразования объединяются в следующей формуле:

                                                                   (1)

Рис. 35                                                                                 Рис.36

где матрица преобразования

                                                                    (2)

ортогональна (сумма квадратов элементов каждой из ее строк или столбцов равна 1, а скалярное произведение двух разных строк или столбцов равно 0).

Любое определенное ортогональное преобразование (1) есть на самом деле одно из преобразований (1'), (1") при некотором .

Из (1) в силу ортогональности матрицы (2) следует, что

                                                       (3)

и мы получили преобразование, обратное преобразованию (1), с матрицей

,

сопряженной к .

Зададим в плоскости произвольный вектор (точку) . Пусть он имеет в старой и новой системе координаты  и . Тогда

.                                                              (4)

В силу формул (3) и (4)

.

Поэтому, приравнивая компоненты при одинаковых ортах , , получим

                                                                         (5)

В силу же формул (1) и (4)

,

откуда, приравнивая компоненты при  и , получим формулы, обратные к (5):

                                                                            (6)

Если наряду с преобразованием (6) перенести еще начало осей ,  в точку , имеющую координаты , , то формулы (6) усложнятся, очевидно, следующим образом:

                                                                     (7)

Итак, произвольное преобразование прямоугольных координат  в прямоугольные координаты  в точку  выражается формулами (7), где матрица

ортогональная.

Соответствующее преобразование, сохраняющее ориентацию системы координат, имеет вид

                                                                              (7')

и преобразование, меняющее ориентацию, имеет вид

                                                             (7'')

(матрицы коэффициентов при  и  в (7') и (7") соответственно транспонируют (1') и (1")).