Гипербола

.                                                          (4)

Положим  и отметим на оси  точки  и  — фокусы гиперболы (4), имеющие абсциссы  и  (рис.39).

Рис.39

Гипербола (4) может быть определена также как геометрическое место точек , разность расстояний которых до фокусов  и  есть величина постоянная равная .

Имеем (см. рис. 39)

откуда следует уравнение (4).

Мы получили правую ветвь гиперболы (см. рис. 39). Чтобы получить левую ветвь, надо исходить из равенства

.

Рассуждениями, проведенными в обратном порядке, можно заключить, отправляясь от уравнения (4), что точки  ему удовлетворяющие, принадлежат к указанному выше геометрическому месту.

По виду уравнения (4) заключаем, что гипербола (4) симметрична относительно оси  и оси . Часть гиперболы (4), находящаяся в первой четверти, имеет уравнение

.                                          (5)

Мы видим, что наша гипербола проходит через точку  и при возрастании  на полуинтервале  ордината  возрастает и стремится к бесконечности. Точки  и , в которых гипербола пересекает ось , называются вершинами гиперболы.

На рис. 39 нарисованы две прямые:

.

Это асимптоты нашей гиперболы.

Пусть на полуинтервале  (или ) задана кривая . Говорят, что прямая  есть асимптота этой кривой при , если

(соответственно ).

Рассмотрим кусок нашей гиперболы,  определяемый равенством (5), и сравним его с прямой . Предел

.

Это показывает, что прямая  есть асимптота рассматриваемого куска гиперболы при . Но тогда говорят, что прямая  есть асимптота (всей!) гиперболы при . В силу симметрии нашей гиперболы относительно осей, так же как симметрии пары прямых  относительно осей, можно сказать, что обе эти прямые являются асимптотами нашей гиперболы и притом как при , так и при .

Правая ветвь гиперболы (4) может быть записана в параметрическом виде

                                        (6)

В самом деле, так как

,                                                                                     (7)

то из уравнений (6) получим

.

Верхняя половина правой ветви гиперболы соответствует изменению , а нижняя – изменению .

Выясним, как параметр  связан с параметром  в параметрическом уравнении эллипса, и попутно укажем способ построения гиперболы с помощью циркуля и линейки. Так как наш способ построения гиперболы будет основан на способе построения эллипса, то мы изложим эти два способа построения совместно (рис. 40). Ограничимся построением частей эллипса (2) и гиперболы (6), находящихся в первой четверти. Проведем две концентрические окружности радиуса  и  с центром в начале координат. Проведем луч, выходящий из начала координат под углом  к оси . Пусть  и  - точки пересечения этого луча с указанными окружностями . Проводя из точек  и , прямые, параллельные осям  и , получим точку их пересечения , принадлежащую эллипсу (2). Затем проводим луч . Пусть  -  точка пересечения этого луча с окружностью радиуса ;  - точка пересечения этого луча с прямой, параллельной оси  и проходящей через точку эллипса . Уравнение луча  можно записать:

.

Рис.40

Отсюда следует, что ордината точки  равна . Далее соединим точку  с точкой  и из точки  проведем прямую, параллельную , которая пересечет луч  в точке .

Из подобия треугольников  и  получим, что . Радиусом  на оси  отмечаем точку .

Теперь из точек  и  проводим прямые, параллельные осям и  соответственно. Точка пересечения этих прямых , где  принадлежит гиперболе (4).

В самом деле, так как точка  лежит на эллипсе (2), то

,

т. е. точка , принадлежит гиперболе (4).

Отметим, что точка  является точкой пересечения касательной к эллипсу в точке  с осью .

Таким образом, каждой точке  эллипса (2) соответствует  вполне  определенная точка  гиперболы (4) и обратно.

Теперь, если эллипс (2) задан параметрически, то

.

Поэтому

.

Отсюда, учитывая (6), получаем

.

Имеют место также следующие формулы:

т.е.