9.6 Угол между двумя плоскостями.

Зададим две плоскости

                                                      (14)

Мы знаем, что векторы  и  перпендикулярны соответственно данным плоскостям, поэтому угол  между  и  равен углу (двугранному) между данными плоскостями. Но скалярное произведение

,

поэтому

.                 (15)

Достаточно считать, что .

Отметим, что две пересекающиеся плоскости на самом деле образуют два двугранных угла  и  Их сумма равна , а их косинусы равны по абсолютной величине, но отличаются знаками (). Если заменить в первом уравнении (14) числа , ,  соответственно на числа , , , то полученное уравнение будет определять ту же плоскость, но угол  в (15) заменится на .

Две плоскости (14) перпендикулярны тогда и только тогда, когда, т. е.

.                                                   (16)

Две плоскости (14) параллельны тогда и только тогда, когда (перпендикулярные к ним) векторы и  коллинеарны, т. е. выполняются условия пропорциональности

.                                                                (17)

Если дополнительно к этому выполняются расширенные условия пропорциональности

,                                                       (18)

то это говорит о том, что плоскости (14) совпадают, т.е. оба уравнения (14) определяют одну и ту же плоскость. Хотя на нуль делить нельзя, но удобно писать символические пропорции (17) или (18) с нулями. Но тогда, если, например, , то надо и . Или если , то .

Пример 1. Уравнения

определяют пару параллельных плоскостей, а уравнения

- пару совпадающих плоскостей.