4.3. Однородная система.

Система уравнений вида

                                                        (5)

называется однородной. Она является частным случаем системы (1) при . Ясно, что нулевой вектор

, …,

удовлетворяет однородной системе (5). Но может случиться, что однородная система (5) удовлетворяется не нулевым вектором , т. е. вектором, имеющим хотя бы одну компоненту . Его называют нетривиальным решением однородной системы (5), а нулевой вектор поэтому называют тривиальным решением однородной системы (5).

Теорема 2. Если определитель  однородной системы (5) не равен нулю , то эта система имеет только тривиальное решение.

В самом деле, в силу свойства г) все определители  (см. (4)), поэтому в силу равенств (3)  .

Теорема 3. Если система уравнений (5) имеет нетривиальное решение, то ее определитель  необходимо равен нулю .

В самом деле, если бы , то по теореме 2 система (5) имела бы только одно тривиальное решение.

Выше мы исследовали линейную систему (1) в случае, когда ее определитель . В этом случае было показано (теорема 1), что система (1) имеет для любой правой части  единственное решение, вычисляемое по формулам (3).