2.2. Определители n-го порядка.

Определителем или детерминантом n-го порядка называется число записываемое в виде

                                            (9)

 и вычисляемым по данным числам  (действительным или комплексным) — элементам определителя – по следующему  закону: есть сумма

,

распространенная на всевозможные различные перестановки  из чисел 1, 2, …, . Число  равно числу транспозиций, которые нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки 1, 2, …,  к перестановке . Произведение  называется членом определителя.

Определители -го порядка удовлетворяют свойствам а), б), в), г), д), перечисленным в предыдущем параграфе.

Доказательство. а) После замены у определителя соответствующих строк столбцами теперь уже номера строк будут обозначаться вторыми индексами. Например, для определителя третьего порядка (2) будем иметь

.

В общем случае общий член нового определителя запишется

.

Упорядочим множители произведения  по первому индексу, т. е. мы переходим от перестановки  к основной перестановке 1, 2, … . При этом мы должны совершить  транспозиций. Тогда основная перестановка вторых индексов перейдет в некоторую перестановку  и число  будет той же четности, что и число . Таким образом,

.

Нетрудно видеть, что разным перестановкам  соответствуют разные перестановки . Но тогда

.

б) Поменяем местами, например, первую и третью строки определителя третьего порядка (2). Тогда получим определитель, который обозначим через , он будет равен

,

так как перестановка  отличается от перестановки   одной транспозицией.

Будем говорить, что число  умножается, на строку (столбец) определителя, если на самом деле  умножается на все элементы строки (столбца).

в) Умножение на число  какой-либо строки (столбца) определителя сводится к умножению всех его членов на , потому что каждый член содержит один элемент указанной строки (столбца). Но тогда величина суммы членов умножится на .

г) Определитель, у которого элементы какого-либо столбца или строки равны нулю, равен нулю, потому что все его члены, очевидно, равны нулю.

д) Определитель равен нулю, если он имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца. Это следует из свойства б) (, , откуда ).

Вычеркнем из определителя (9) -го порядка -ю строку и -й столбец. Оставшееся выражение порождает определитель -го порядка , называемый минором элемента . Величина же

называется алгебраическим дополнением или адъюнктом элемента.

Свойство е) Сумма произведений элементов   некоторой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя:

,                             (10)

                                 (10')

Докажем это свойство для определителя третьего порядка в случае третьей строки. Имеем

Сумму (10) называют разложением определителя по элементам -й строки, а сумму (10') - разложением определителя по элементам -го столбца.

Пример 1. Если в определителе  (см. (9)) , то , т.е. вычисление этого определителя сводится к вычислению одного его адъюнкта, т. е. определителя -го порядка.

Пример 2 Если все элементы , стоящие ниже (выше) главной диагонали , равны нулю (, если > (<)), то . Это следует из предыдущего примера.

Свойство ж) Сумма произведений элементов  некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие адъюнкты элементов другой строки (столбца) равна нулю:

                                          (11)

(; ).

В самом деле, зафиксируем наше внимание на первой сумме. Эта сумма не зависит от элементов -й строки. Заменим в нашем определителе элементы -й строки на соответствующие элементы -й строки. От этого рассматриваемая сумма не изменится. Между тем теперь ее можно рассматривать как разложение нового определителя по элементам -й строки, но тогда она равна величине нового определителя. Но последний равен нулю на основании свойства д), потому что он имеет одинаковые строки -ю и -ю.

Свойство з) Пусть даны два определителя -го порядка  и , у которых все строки (столбцы) одинаковы, кроме определенной одной (одного). Сумма таких определителей равна определителю  -го порядка, у которого указанная строка (столбец) состоит из сумм соответствующих элементов этой строки (столбца) определителей и . Например

.

В самом деле, разлагая данные определители по элементам -го столбца, получим

.

Свойство и) Величина определителя не изменится, если к элементам  какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число . Например

,

в силу свойств з), в), д).

Надлежащее применение этого свойства приводит вычисление данного определителя к вычислению определителя более низкого порядка.

Пример 3.

.

Пример 4.

.

Пример 5. Определитель

,

порожденный числами  называется степенным или определителем Вандермонда.

Этот определитель равен  нулю, если какие-либо два числа  и , равны между собой. Если все  различны, то

             (12)

В самом деле, при

,

т. е. формула (12) верна. Допустим, что формула (12) верна при , и докажем, что она верна при . Будем использовать свойства и), в) определителя. Умножим -й столбец в определителе  на  и вычтем из -го, -й столбец умножим также на  и вычтем из -го и т. д.; тогда получим

.

Последний определитель есть также определитель Вандермонда порядка , порожденный числами , поэтому, по предположению, имеем

Таким образом, в силу метода математической индукции формула (12) верна при любом .

Свойство к) Пусть

,        .

Произведение двух определителей -го порядка с элементами ,  есть в свою очередь определитель -го порядка с элементами

,

т.е.

.

Таким образом, элемент , принадлежащий к -й строке и -му столбцу определителя , равен, как говорят. произведению -й строки определителя , на -й столбец определителя . На самом деле это есть сумма произведений элементов -й строки определителя , на соответствующие элементы -го столбца определителя .

Так как в определителях  и  можно менять строки со столбцами, то, очевидно, элементы  произведения  можно строить также, беря произведение -й строки , на -ю строку  или произведение -го столбца , на -й столбец  или -го столбца на -ю строку.

Доказательство. Убедимся в справедливости свойства на примере определителей второго порядка:

, , ,

где

,  ,

,            .

В силу свойств з), в), д)

В общем случае определителей -го порядка можно записать:

При вычислении отдельных элементов мы вправе выбирать любой индекс суммирования  , но для дальнейшего удобно для первой строки  взять в качестве такого индекс ,  для второй  -  и т. д. Второе равенство имеет место на основании свойств з) и в); при этом кратная сумма распространяется на всевозможные перестановки , где . Однако, если в какой-либо системе  две компоненты  и  равны между собой , то определитель . Поэтому на самом деле в кратной сумме можно оставить только члены, соответствующие разным перестановкам  и натуральных чисел . При этом, очевидно, окажется, что определитель

.