§ 20. Линейные подпространства в Rn

Множество  в  () называется линейным подпространством пространства  или, короче, подпространством в , если из того, что два каких-либо вектора  и  принадлежат к  (), автоматически следует, что вектор тоже принадлежит к  (), где ,  - числа. Подпространство  называется m-мерным, если в нем имеется линейно независимая система , состоящая из m векторов, и нет системы, состоящей из  линейно независимых векторов.

Таким образом, если  - произвольный вектор в  (), то система , а линейно зависима, т.е. существует нетривиальная  система чисел  такая, что

.                                                          (1)

Здесь , иначе было бы

,

и вследствие линейной независимости системы  было бы  и вся система  была бы тривиальной. Тогда уравнение (1) можно решить относительно :

,                                           (2)

т.е. представить в виде линейной комбинации из векторов . С другой стороны, линейная комбинация вида (2) принадлежит к , потому что  - подпространство. В этом смысле говорят, что система  есть базис в . Очевидно, любая другая линейно независимая система векторов , принадлежащих к , есть базис в .

Если разложить векторы  по векторам , то получим

.

По аналогии с тем, как мы рассуждали в § 16 для  (где теперь надо заменить  и  соответственно на , ), можно получить, что система  линейно независима тогда и только тогда, когда определитель , и что любая независимая система, состоящая из  векторов, уже не может быть базисом в .

Пространство  можно рассматривать как подпространство , имеющее  измерений.

Множество, состоящее из одного нулевого вектора 0, есть линейное подпространство (). Про него говорят, что оно имеет 0 измерений. Вектор 0 не образует линейно независимой системы - из равенства, где  - число, не обязательно следует, что  есть нуль.

Если вектор , то множество векторов вида , где  - произвольное число, есть одномерное подпространство. В качестве базиса в нем можно взять вектор .

Пусть  есть линейное подпространство в . Будем говорить, что вектор  ортогонален к , если он ортогонален к любому вектору . Обозначим через  множество всех векторов, ортогональных к .  есть подпространство. В самом деле, пусть , т. е.

Тогда для любых чисел ,

т.е. .

По определению подпространство  называется ортогональным к данному подпространству , если  есть множество всех векторов, каждый из которых ортогонален к .

Ниже доказывается теорема, выясняющая структуру произвольного подпространства  и ему ортогонального подпространства . В частности, из нее следует, что если  ортогонально к , то и, обратно,  ортогонально к .

Теорема 1. Пусть  есть линейное подпространство, отличное от  и нулевого подпространства. Тогда:

а) существует целое число , удовлетворяющее неравенствам

,                                                                            (3)

и ортонормированный базис

                                                                                  (4)

в ; если этот базис продолжить любым способом до ортонормированного базиса в :

,                                                       (5)

то линейное подпространство  с базисом

                                                                                     (6)

обладает следующими свойствами:

б)  есть подпространство, ортогональное к

в)  есть подпространство, ортогональное к ;

г) любой вектор  можно представить в виде суммы

,

где ,  и при этом единственным образом.

Доказательство. По условию  отлично от нулевого подпространства, следовательно, в  существует вектор , отличный от 0. Нормируя , получим нормальный вектор

.

Обозначим через  любой, принадлежащий к  нормальный вектор, ортогональный к  , если такой существует. Далее, обозначим через  принадлежащий к  нормальный вектор, ортогональный к  и , если такой существует. Этот процесс закончится на некотором -м этапе, где  удовлетворяет неравенствам (3), т. е. найдется ортонормированная система векторов (4), принадлежащих к , но уже не будет в  единичного вектора, ортогонального к векторам . В самом деле, , потому что заведомо . С другой стороны,  не может быть равным . В противном случае векторы  принадлежали бы к  и вместе с ними принадлежали бы к подпространству  все линейные комбинации , и тогда получилось бы, что  совпадает с , но  отлично от . Полученная ортонормированная система  есть
базис в . В самом деде, вместе с векторами  принадлежат к , и все их линейные комбинации . Но больше в  других векторов нет, потому что, если допустить, что некоторый вектор  не есть такая линейная комбинация, то  можно было бы записать в виде суммы

,                                                             (7)

где . Так как векторы  и  принадлежат к подпространству , то пришлось бы заключить, что вектор

тоже принадлежит к . Но вектор  ортогонален ко всем  (см. § 17, (4)). Пронормированный вектор

                                                                            (8)

тоже принадлежал бы к  и был бы ортогональным ко всем . Но это невозможно в силу максимального свойства числа . Этим доказано утверждение а) теоремы.

Дополнение ортонормированной системы (4) до ортонормированного базиса (5) осуществляется на основании теоремы 1 § 17. Обозначим через  подпространство всех линейных комбинаций из векторов системы (6). Каждый такой вектор, очевидно, ортогонален к любому вектору , который представляется в виде суммы . С другой стороны, если , есть произвольный вектор, ортогональный ко всем векторам , в частности к , то его разложение по базису (5) имеет вид

,

т.е. . Мы доказали утверждение б) теоремы.

Далее, любой вектор  ортогонален ко всем векторам  и, если известно, что какой-либо вектор ортогонален ко всем векторам из , в частности к , то , т. е. . Мы доказали утверждение в).

Наконец, если  - произвольный вектор, то его единственным образом можно представить в виде суммы

,

где

.

Этим теорема 1 доказана полностью.

Теорема 2. Пусть  есть подпространство  измерений в . Тогда подпространство , ортогональное к , имеет  измерений и при этом  есть в свою очередь подпространство, ортогональное к .

Доказательство. Если  отлично от  и от нулевого подпространства, то данная теорема содержится, очевидно, в теореме 1.

Пусть  есть нулевое подпространство. Так как любой вектор  ортогонален к 0, то  и измерение  равно . Обратно, вектор 0 ортогонален ко всем векторам . Других векторов, ортогональных ко всем векторам , нет, потому что всякий отличный от 0 вектор уже не ортогонален к самому себе. Мы доказали, что  ортогонально к .

Если , то рассуждаем подобным образом.

Следствие 1. Пусть задача система векторов

,                    (9)

и пусть  есть подпространство векторов , каждый из которых ортогонален к векторам этой системы:

 .

Пусть, далее, дан вектор , ортогональный ко всем указанным векторам , т. е. ортогональный к подпространству . Тогда  есть некоторая линейная комбинация из векторов заданной системы (9)

.

Доказательство. Рассмотрим подпространство , состоящее из всевозможных линейных комбинаций векторов системы (9), т. е. всякий вектор  есть некоторая линейная комбинация

.

В этом случае будем также говорить, что подпространство  натянуто на векторы системы (9).

Так как всякий вектор  ортогонален к векторам системы (9), то он, очевидно, ортогонален к любому вектору . Это показывает, что подпространство  ортогонально к подпространству . Но тогда по теореме 2 и  ортогонально к , т. е.  состоит из всех векторов , ортогональных к . По условию  есть один из таких векторов , следовательно,  есть некоторая линейная комбинация из векторов системы (9).