§ 17. Ортогональные базисы в Rn

Говорят, что два ненулевых вектора ,, имеют одинаковое (одно и то же) направление, если существует положительное число  такое, что .

Произвольный ненулевой вектор  можно, как говорят, нормировать, заменив его на единичный вектор

,

имеющий то же направление, что и вектор .

Единичный (имеющий норму (длину), равную 1) вектор называют нормальным.

Два вектора  и  в пространстве  называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: .

Здесь  может быть действительным или комплексным. В случае комплексного  скалярное произведение определяется, как в § 6, (5').

Система векторов

                                                                         (1)

называется ортогональной, если любые два ее вектора ортогональны. Система векторов (1) называется ортогональной и нормальной или ортонормированной, если

,

т. е. все векторы системы нормальны и попарно ортогональны. Если система векторов (1) ортогональна и ни один вектор системы не равен нулевому, то, нормируя их, получим, очевидно, ортонормированную систему. Ортонормированная система (1) линейно независима. В самом деле, пусть

,

где  - числа. Умножив это равенство скалярно на , получим, очевидно,

.

Но тогда ортонормированная система из  векторов в  есть базис и, следовательно, каждый вектор  можно представить в виде линейной комбинации

.                                                                           (2)

Умножая это равенство скалярно на . получим

и, следовательно,

.

Число  называется проекцией вектора  на направление вектора .

В реальном действительном пространстве  величина  есть обычная числовая проекция вектора  на направление вектора .

Теорема 1. Ортонормированную систему векторов

можно пополнить до ортонормированного базиса в. Иначе говоря, можно  указать векторы  такие, что система

                                                                                                                 (3)

будет ортонормированной и, следовательно, будет базисом в .

Доказательство. Так как , то в  существует вектор , не зависящий линейно от . Но тогда

,

где . Вектор ортогонален ко всем векторам . В самом деле,

.               (4)

Пронумеровав , получим вектор

,

и система

будет ортонормированна. Если , то мы получили базис в . Если нет, то этот процесс продолжаем. На -м этапе получим базис (3) в .

Система ортов осей в

,

,

может служить примером ортонормированного базиса в . Произвольный вектор  разлагается по ортам следующим образом:

,                                                        (5)

где  - проекция вектора  на направление орта .

Пусть задана некоторая определенная ортонормированная система из  векторов

                                                                                                                                         (6)

или

.                                                         (7)

Переход от векторов  к  здесь осуществляется при помощи матрицы

,                                                                                           (8)

т. е. вектор  выражается через  с помощью -й строки матрицы .

В дальнейшем мы считаем пространство  и матрицу  действительными (см. далее замечание 1).

Матрица  ортогональна, т. е. обладает следующим свойством

.                                              (9)

В самом деле, так как в данном случае система  ортонормирована, то

.                      (10)

Мы видим, что и, обратно, ортогональность матрицы (8) влечет за собой ортонормируемость системы векторов , определенных по формулам (7).

Это показывает, что формулы (7), где  - произвольные ортогональные матрицы, определяют все возможные ортонормированные базисы в .

Помножим вектор  на вектор  скалярно:

.                                                                           (11)

Отсюда

.                                        (12)

Таким образом, переход от базиса  к базису  осуществляется при помощи матрицы , транспонированной к . Так как преобразование (12) обратно преобразованию (7) (см. § 15), то мы попутно доказали, что ортогональная матрица  обладает следующим замечательным свойством (в действительном ):

.                                                                                  (13)

Из (12) следует

,                (14)

Ортогональная матрица была определена нами как такая матрица, у которой строки (векторы, представляющие их) нормальны, а разные строки ортогональны. Из этого определения, как это видно из (14), автоматически следует, что у ортогональной матрицы и столбцы нормальны, а разные столбцы ортогональны.

Переход от  к  совершается при помощи матрицы, так как (считая, что ) (см.(11))

.                                     (15)

Переход же от  к  совершается при помощи (см. (13)) матрицы  транспонированной к , т. е.

.

Отметим, что определитель произвольной ортогональной матрицы  (см. (6)) по абсолютной величине равен 1: .

Это следует из того, что

.

Здесь мы считаем, что элемент  произведения определителей равен сумме произведений элементов -й строки на соответствующие элементы -й строки (см. § 2, свойство к)). Отметим еще, что определитель из компонент векторов базиса  равен 1:

Если ортогональный базис  имеет определитель  (см. (6)), то говорят, что этот базис ориентирован так же, как базис . Если же , то - противоположным образом. Эти определения согласуются с соответствующими определениями в двумерном и трехмерном случаях, сделанными в § 11 и в § 12.

Замечание 1. В комплексном пространстве  матрица (8), где  комплексные, называется ортогональной, если

.                                                              (9')

Покажем, что ортонормированная система векторов (6) в комплексном  порождает ортогональную матрицу  (см. (8)). В самом деле, в комплексном  скалярное произведение векторов  подчиняется свойствам (см. § 6, б'), в'))

,

где  - комплексные числа. Поэтому

.

Но тогда для ортонормированной системы векторов  имеет место

,               (10')

т. е. матрица  ортогональна. Мы видим, что и, обратно, ортогональность  влечет ортонормированность векторов , определенных по формулам (7).

Помножим вектор  на  скалярно (см. (7)):

.

Отсюда

.                                                                     (12')

Таким образом, переход от базиса  к базису  осуществляется при помощи матрицы

Так как преобразования (11') обратны преобразованиям (7), то попутно показано, что ортогональная матрица  обладает следующим свойством (в комплексном ):

.                                                (16)

Из (12') следует

.

Следовательно, равенства

(так же, как (9')) могут служить определением ортогональной матрицы .

На основании (14) и общих фактов, полученных в § 16 (петит), отметим матрицы, осуществляющие нижеследующие ортогональные отображения:

       (см.(7));

       (см.(12'));

       (см.(6) §16);

       (см.(16)),

где  и  - координаты произвольного вектора в комплексном пространстве  относительно базиса  и ортонормированного базиса .

Наконец, равенство  в комплексном случае доказывается так:

.

Ортогональные матрицы называют еще унитарными.