Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 17. Ортогональные базисы в RnГоворят, что два
ненулевых вектора
Произвольный
ненулевой вектор
имеющий то же
направление, что и вектор Единичный (имеющий норму (длину), равную 1) вектор называют нормальным. Два вектора Здесь Система векторов
называется ортогональной, если любые два ее вектора ортогональны. Система векторов (1) называется ортогональной и нормальной или ортонормированной, если
т. е. все векторы системы нормальны и попарно ортогональны. Если система векторов (1) ортогональна и ни один вектор системы не равен нулевому, то, нормируя их, получим, очевидно, ортонормированную систему. Ортонормированная система (1) линейно независима. В самом деле, пусть
где
Но тогда
ортонормированная система из
Умножая это
равенство скалярно на
и, следовательно,
Число В реальном
действительном пространстве Теорема 1. Ортонормированную систему векторов
можно пополнить до
ортонормированного базиса в
будет
ортонормированной и, следовательно, будет базисом в Доказательство.
Так как
где
Пронумеровав
и система
будет
ортонормированна. Если Система ортов
осей в
может служить
примером ортонормированного базиса в
где Пусть задана
некоторая определенная ортонормированная система из
или
Переход от
векторов
т. е. вектор В дальнейшем мы
считаем пространство Матрица
В самом деле,
так как в данном случае система
Мы видим, что и,
обратно, ортогональность матрицы (8) влечет за собой ортонормируемость системы
векторов Это показывает,
что формулы (7), где Помножим вектор
Отсюда
Таким образом,
переход от базиса
Из (12) следует
Ортогональная матрица была определена нами как такая матрица, у которой строки (векторы, представляющие их) нормальны, а разные строки ортогональны. Из этого определения, как это видно из (14), автоматически следует, что у ортогональной матрицы и столбцы нормальны, а разные столбцы ортогональны. Переход от
Переход же от
Отметим, что
определитель произвольной ортогональной матрицы Это следует из того, что
Здесь мы
считаем, что элемент
Если
ортогональный базис Замечание 1. В
комплексном пространстве
Покажем, что
ортонормированная система векторов (6) в комплексном
где
Но тогда для
ортонормированной системы векторов
т. е. матрица Помножим вектор
Отсюда
Таким образом,
переход от базиса
Так как
преобразования (11') обратны преобразованиям (7), то попутно показано, что
ортогональная матрица
Из (12') следует
Следовательно, равенства
(так же, как
(9')) могут служить определением ортогональной матрицы На основании (14) и общих фактов, полученных в § 16 (петит), отметим матрицы, осуществляющие нижеследующие ортогональные отображения:
где Наконец,
равенство
Ортогональные матрицы называют еще унитарными.
|
1 |
Оглавление
|