Главная > Высшая математика Т1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 17. Ортогональные базисы в Rn

Говорят, что два ненулевых вектора ,, имеют одинаковое (одно и то же) направление, если существует положительное число  такое, что .

Произвольный ненулевой вектор  можно, как говорят, нормировать, заменив его на единичный вектор

,

имеющий то же направление, что и вектор .

Единичный (имеющий норму (длину), равную 1) вектор называют нормальным.

Два вектора  и  в пространстве  называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: .

Здесь  может быть действительным или комплексным. В случае комплексного  скалярное произведение определяется, как в § 6, (5').

Система векторов

                                                                         (1)

называется ортогональной, если любые два ее вектора ортогональны. Система векторов (1) называется ортогональной и нормальной или ортонормированной, если

,

т. е. все векторы системы нормальны и попарно ортогональны. Если система векторов (1) ортогональна и ни один вектор системы не равен нулевому, то, нормируя их, получим, очевидно, ортонормированную систему. Ортонормированная система (1) линейно независима. В самом деле, пусть

,

где  - числа. Умножив это равенство скалярно на , получим, очевидно,

.

Но тогда ортонормированная система из  векторов в  есть базис и, следовательно, каждый вектор  можно представить в виде линейной комбинации

.                                                                           (2)

Умножая это равенство скалярно на . получим

и, следовательно,

.

Число  называется проекцией вектора  на направление вектора .

В реальном действительном пространстве  величина  есть обычная числовая проекция вектора  на направление вектора .

Теорема 1. Ортонормированную систему векторов

можно пополнить до ортонормированного базиса в. Иначе говоря, можно  указать векторы  такие, что система

                                                                                                                 (3)

будет ортонормированной и, следовательно, будет базисом в .

Доказательство. Так как , то в  существует вектор , не зависящий линейно от . Но тогда

,

где . Вектор ортогонален ко всем векторам . В самом деле,

.               (4)

Пронумеровав , получим вектор

,

и система

будет ортонормированна. Если , то мы получили базис в . Если нет, то этот процесс продолжаем. На -м этапе получим базис (3) в .

Система ортов осей в

,

,

может служить примером ортонормированного базиса в . Произвольный вектор  разлагается по ортам следующим образом:

,                                                        (5)

где  - проекция вектора  на направление орта .

Пусть задана некоторая определенная ортонормированная система из  векторов

                                                                                                                                         (6)

или

.                                                         (7)

Переход от векторов  к  здесь осуществляется при помощи матрицы

,                                                                                           (8)

 

т. е. вектор  выражается через  с помощью -й строки матрицы .

В дальнейшем мы считаем пространство  и матрицу  действительными (см. далее замечание 1).

Матрица  ортогональна, т. е. обладает следующим свойством

.                                              (9)

В самом деле, так как в данном случае система  ортонормирована, то

.                      (10)

Мы видим, что и, обратно, ортогональность матрицы (8) влечет за собой ортонормируемость системы векторов , определенных по формулам (7).

Это показывает, что формулы (7), где  - произвольные ортогональные матрицы, определяют все возможные ортонормированные базисы в .

Помножим вектор  на вектор  скалярно:

.                                                                           (11)

Отсюда

.                                        (12)

Таким образом, переход от базиса  к базису  осуществляется при помощи матрицы , транспонированной к . Так как преобразование (12) обратно преобразованию (7) (см. § 15), то мы попутно доказали, что ортогональная матрица  обладает следующим замечательным свойством (в действительном ):

.                                                                                  (13)

Из (12) следует

,                (14)

Ортогональная матрица была определена нами как такая матрица, у которой строки (векторы, представляющие их) нормальны, а разные строки ортогональны. Из этого определения, как это видно из (14), автоматически следует, что у ортогональной матрицы и столбцы нормальны, а разные столбцы ортогональны.

Переход от  к  совершается при помощи матрицы, так как (считая, что ) (см.(11))

.                                     (15)

Переход же от  к  совершается при помощи (см. (13)) матрицы  транспонированной к , т. е.

.

Отметим, что определитель произвольной ортогональной матрицы  (см. (6)) по абсолютной величине равен 1: .

Это следует из того, что

.

Здесь мы считаем, что элемент  произведения определителей равен сумме произведений элементов -й строки на соответствующие элементы -й строки (см. § 2, свойство к)). Отметим еще, что определитель из компонент векторов базиса  равен 1:

Если ортогональный базис  имеет определитель  (см. (6)), то говорят, что этот базис ориентирован так же, как базис . Если же , то - противоположным образом. Эти определения согласуются с соответствующими определениями в двумерном и трехмерном случаях, сделанными в § 11 и в § 12.

Замечание 1. В комплексном пространстве  матрица (8), где  комплексные, называется ортогональной, если

.                                                              (9')

Покажем, что ортонормированная система векторов (6) в комплексном  порождает ортогональную матрицу  (см. (8)). В самом деле, в комплексном  скалярное произведение векторов  подчиняется свойствам (см. § 6, б'), в'))

,

где  - комплексные числа. Поэтому

.

Но тогда для ортонормированной системы векторов  имеет место

,               (10')

т. е. матрица  ортогональна. Мы видим, что и, обратно, ортогональность  влечет ортонормированность векторов , определенных по формулам (7).

Помножим вектор  на  скалярно (см. (7)):

.

Отсюда

.                                                                     (12')

Таким образом, переход от базиса  к базису  осуществляется при помощи матрицы

Так как преобразования (11') обратны преобразованиям (7), то попутно показано, что ортогональная матрица  обладает следующим свойством (в комплексном ):

.                                                (16)

Из (12') следует

.

Следовательно, равенства

(так же, как (9')) могут служить определением ортогональной матрицы .

На основании (14) и общих фактов, полученных в § 16 (петит), отметим матрицы, осуществляющие нижеследующие ортогональные отображения:

       (см.(7));

       (см.(12'));

       (см.(6) §16);

       (см.(16)),

где  и  - координаты произвольного вектора в комплексном пространстве  относительно базиса  и ортонормированного базиса .

Наконец, равенство  в комплексном случае доказывается так:

.

Ортогональные матрицы называют еще унитарными.

 

1
Оглавление
email@scask.ru