§ 7. Отрезок. Деление отрезка в данном отношении
Зададим произвольные точки 
и введем множество
точек (векторов):
, (1)
определяемых неотрицательными числами
, сумма
которых равна 1. Имеем
(2)
или
. (2')
Рис.
11
Из равенства (2) видно, что в трехмерном
пространстве точки 
заполняют
отрезок, соединяющий 
и 
. Ведь радиус-вектор есть сумма вектора и вектора 
, коллинеарного с 
(рис. 11). Таким
образом, множество точек (1) представляет собой отрезок 
в 
, соединяющий точки и . При 
при 
, для любого 
есть
произвольная точка .
По определению отрезком , соединяющим точки , называется
множеством всех точек вида (1). Справедлива
Теорема1. Точка
делит отрезок , соединяющий точки на отрезки с длинами, находящимися в
отношении 
.
Доказательство. Из (2) следует, что 
, и потому
расстояние между точками и равно
(3)
Далее, из (2') 
, и потому расстояние между
точками и равно
. (4)
Из (3) и (4) следует
,
что и требовалось доказать.
Задача. Требуется найти на отрезке , соединяющем точки , точку , делящую этот
отрезок в отношении 
.
Решение. Возьмем числа
, 
.
Они удовлетворяют свойствам 
. Поэтому на
основании теоремы 1 искомая точка
.
(5)
Ее координаты 
выражаются через координаты 
, 
при помощи равенств
.
(5')
В частности, середина отрезка
получается при
,
, т. е. 
.
Отметим, что, как доказывается в
механике, точка ,
определяемая равенством (5) или (5'), есть центр тяжести системы точек и , в которых
сконцентрированы массы соответственно 
и 
.
Отметим, что в 
, множество точек
,
где 
и 
любого знака представляет собой прямую,
проходящую через точки и . Это видно из равенства (2’).
В пространстве же 
это множество называют прямой по
определению.
Пример 1. Найти координаты центра
тяжести системы материальных точек 
соответственно с массами 
. Применяя формулы
(5') для точек 
,
найдем
центр тяжести 
точек
и 
. Затем находим центр
тяжести 
точек
и 
cоответственно с массами 
и 
. Продолжая этот
процесс на 
-м
шаге, получаем
.
