Главная > Высшая математика Т1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.7. Метод решения системы путем исключения неизвестных.

Можно рекомендовать следующий метод решения систем линейных уравнений, который является методом исключения неизвестных (или методом Гаусса). Пусть дана система

                                        (1'')

Если мы умножим какое-либо уравнение системы (1") на постоянное число и прибавим его к другому уравнению системы, то получим новую систему, эквивалентную прежней. Новая система уравнений будет иметь свою матрицу , соответствующим образом преобразованную из матрицы  (). Преобразование заключается в том, что некоторая строка матрицы  видоизменяется прибавлением к ней другой строки, умноженной на соответствующее число.

Подобным образом, если умножить какое-либо из уравнений системы на число , оставив остальные уравнения прежними, то получим новую систему, очевидно, эквивалентную исходной. Новая система будет иметь свою матрицу , соответствующим образом преобразованную из матрицы  (). На этот раз преобразование заключается в том, что строка, соответствующая указанному уравнению, умножается на .

Появляется также необходимость переставлять местами два уравнения системы (1"), получив, таким образом, формально новую, но эквивалентную исходной систему. В этом случае преобразование  сводится к перестановке местами двух строк матрицы .

Указанные три преобразования называют элементарными преобразованиями матрицы.

Технически, вместо того чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что пишут только соответствующую ей матрицу . Всегда можно, применяя подходящим образом элементарные операции над системой уравнений или, что все равно, над матрицей , добиться либо решения заданной системы (1"), либо прийти к явно противоречивой системе. Так как последняя эквивалентна системе (1"), то это докажет противоречивость системы (1").

Ниже приводятся примеры применения этого метода.

Операция обозначает, что  получается из  посредством одной или нескольких элементарных преобразований.

Пример 7. Решить систему

Конечно, согласно теореме 1, мы могли бы просчитать все пять определителей четвертого порядка и найти . Здесь было бы много повторяющихся вычислений.

Составим матрицу :

,

где, как мы видим, последний столбец состоит из правых частей нашей системы. Умножая первую строку на (-1) и прибавляя ее к третьей и четвертой строкам, получим матрицу

.

В матрице  элементы третьей строки, являющиеся коэффициентами при неизвестных, кроме одного, равны нулю. Переместим эту строку на место второй строки. Тогда элемент, не равный нулю, окажется на главной диагонали:

.

Вторую строку можно еще умножить на (-1), чтобы запись была проще:

.

Дальнейшие преобразования матриц очевидны:

Отсюда , , , . Чтобы не допустить ошибки, рекомендуется осуществить проверку, подставив полученные значения в исходные уравнения системы.

Рассмотрим с этой точки зрения пример 5:

.

Таким образом, исходная система эквивалентна следующей:

В последней строке свободный член равен единице, а коэффициенты при неизвестных равны нулю, поэтому система несовместна.

Наконец, в примере 6

Отсюда

,

т.е. система имеет бесконечное множество решений:

,   ,    ,

где  - любое число .

 

1
Оглавление
email@scask.ru