§ 22. Самосопряженный оператор. Квадратичная форма

Линейный оператор

                                                           (1)

или, коротко,

                                                             (2)

называется самосопряженным, если он равен своему сопряженному (), т.е. если

,                                                                             (3)

иначе говоря, если матрица  симметрическая:

                                                                           (4)

(см. (3) и (3*) § 21). Мы считаем  и  действительными (см. ниже замечание 1).

Для самосопряженного оператора имеет место характерное равенство

(см. § 21, (4)). Очевидно,

.                    (4')

Выражение справа в (4') называется квадратичной формой -го порядка. Это непрерывная функция от вектора  или, что все равно, от переменных

Будем рассматривать эту функцию на множестве  значений , имеющих единичную норму . Множество  есть сфера в  радиуса 1 с центром в точке 0. -ограниченное множество. Кроме того, оно замкнуто: если точки последовательности  принадлежат к  (т.е. ) и эта последовательность стремится к некоторой точке , то неминуемо , т. е. , потому что , откуда .

Найдем максимум квадратичной формы (4') на сфере . Так как форма (4') есть непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве, то максимум ее на  достигается для некоторого единичного вектора . Обозначим этот максимум через :

.                                                   (5)

Введем подпространство , ортогональное к вектору , т. е. множество всех векторов , каждый из которых ортогонален к . В  возьмем произвольный единичный вектор . Вектор

зависит от  и имеет единичную норму

.

При  этот вектор обращается в . Но тогда функция

достигает своего максимума в точке  и в силу необходимого условия экстремума

.

Вычислим эту производную. Имеем

.

Следовательно,

и

.

Мы получили, что вектор  ортогонален ко всем единичным векторам , следовательно, и к любым векторам . Но тогда  отличается от  лишь множителем (см. следствие 1 в конце § 20), т. е.

,

где  - некоторое число.

Из первого соотношения (равенства) в (5), учитывая, что , следует

.

Таким образом, мы доказали, что максимум квадратичной формы (4') на единичной сфере  достигается в некоторой точке ,

.

При этом

.

Мы видим, что нетривиальный (не равный нулю) вектор  отображается при помощи оператора  в вектор , ему коллинеарный.

Такой вектор называется собственным вектором оператора , а число  - принадлежащим этому вектору собственным значением.

Будем теперь рассматривать оператор  на подпространстве , определяемом как множество векторов , ортогональных к вектору  (выше мы его обозначали через ).  есть -мерное подпространство - в нем имеются ортонормированные базисы, состоящие из  векторов. Цель наша заключается в подыскании одного такого базиса, как мы увидим, естественно связанного с оператором .

Важно подчеркнуть, что образ  подпространства  при помощи оператора  принадлежит к , потому что, если , то

,

т. е. .

Самосопряженность оператора  на  тривиальным образом сохраняется, потому что равенство

,

верное для всех , верно также для всех .

Итак, мы теперь рассматриваем самосопряженный линейный оператор  на линейном подпространстве  измерения . К нему можно применить приведенные выше рассуждения и обнаружить в существование единичного вектора  такого, что

Дело в том, что единичная сфера  в  определяется, очевидно, как множество единичных векторов , ортогональных к . При этом

.

Мы нашли второй собственный вектор оператора  - вектор  и принадлежащее к нему собственное значение , очевидно, не превышающее  (при уменьшении области рассмотрения максимум может только уменьшиться). При этом .

Подобным образом можно ввести подпространство , измерения , ортогональное к векторам  и , показать, что оператор  отображает  в  и определить третий единичный вектор , ортогональный к  и к  такой, что для него имеет место

и

.

Продолжив этот процесс по индукции до -го вектора , мы получим ортонормированную систему векторов

                                                                                     (6)

и систему действительных чисел

,                                                                                     (7)

обладающих свойствами

                                                            (8)

Мы получили полную систему собственных векторов оператора  и принадлежащих им собственных значений. Так как ортонормированная система (6) принадлежит к  и состоит из  векторов, то она есть базис в  (см. § 17). Поэтому произвольный вектор  можно разложить по этой системе:

.                                                                                (9)

Тогда наш самосопряженный оператор  может быть записан следующим образом:

.                          (10)

Мы доказали теорему.

Теорема 1. Самосопряженному оператору  в пространстве  соответствует ортогональная система векторов  (базис ) и система действительных чисел  такие, что  для любого  представляется в виде суммы (10).

Квадратичная форма (4') соответственно записывается следующим образом:

.                                        (4'')

На практике часто мы исходим из некоторой квадратичной формы

 .                                                           (4')

Чтобы применить к ней полученные результаты, можно определить в связи с ней линейный оператор

,

определяемый равенствами

.

В силу условия  это самосопряженный оператор, и к нему применима теорема 1. На языке квадратичной формы теорема 1 может быть переформулирована следующим образом.

Теорема 2. Пусть задана квадратичная форма (4') в -мерной системе координат  пространства  с ортами . Существует прямоугольная система координат  с ортами , образующими ортогональный базис , и система действительных чисел  такие, что квадратичная форма (4') в этой системе есть сумма квадратов координат  вектора , помноженных соответственно на числа :

.                                                                      (4''')

Переход от левой части (4''') к правой можно осуществить, если известны разложения векторов  по ортам . Пусть

(см. § 17, (7), где надо заменить ,  соответственно на ). Так как  и  - ортонормированные базисы в , то матрица

ортогональная. Мы считаем, что она известна. Один и тот же вектор  можно разложить по двум базисам:

.

Но тогда

и в силу линейной независимости системы  получим

                                   (11)

Таким образом, переход от координат  к координатам  осуществляется посредством матрицы , транспонированной к  (т. е. с помощью строк матрицы  или столбцов матрицы ).

Если подставить выражения (11) для  в левую часть (4'"), то должны получить правую. Запишем это равенство:

,

где - символ Кронекера.

Если приравнять коэффициенты при одинаковых , то получим равенства

,

которые можно трактовать следующим образом (см. § 15, (6)). Для матрицы

самосопряженного оператора  существует ортогональная матрица

,

такая, что

,                                                                (12)

где - некоторая диагональная матрица

                                                                 (13)

( — действительные числа), называемая канонической.

Отметим, что для ортогональной действительной матрицы

.

Так  как определители  ортогональных  матриц , то из (12) следует

.                                                                  (14)

Мы доказали, в частности, следующую теорему.

Теорема 3. Если определитель  самосопряженной матрицы  неравен нулю , то все ее собственные числа  не равны нулю .

Из теоремы 2 следует, что

1) Если , то квадратичная форма положительная для любых векторов , а следовательно, и любых векторов . В этом случае она называется строго положительной.

2) Если , то форма отрицательная для любых , следовательно, и любых . В этом случае она называется строго отрицательной.

3) Если  и , то форма неотрицательная. Существует направление, (ось ), вдоль которого она равна нулю. Это положительная форма, но не строго.

4) Если , то форма отрицательная не строго.

5) Если , а , то форма неопределенна. Если исключить нулевую точку, то вдоль оси  она положительная, вдоль же оси  - отрицательная.

Оказывается, что по виду матрицы , по знаку некоторых порождаемых ею определителей можно узнать, будут ли ее собственные числа все положительные, все отрицательные или среди них есть как положительные, так и отрицательные. В этом заключается теорема Сильвестра.

Составим ряд главных миноров квадратичной формы :

.

Согласно теореме Сильвестра, которую мы не доказываем, имеют место следующие утверждения:

1. Если , то форма строго положительна (случай 1)).

2. Если , то форма строго отрицательная (случай 2)).

3. Если или  и имеется , при котором , то форма заведомо не строго определенна.

4. Во всех остальных случаях квадратическая форма неопределенна.

Замечание 1. Если  - комплексное пространство, а  — по-прежнему действительные числа, то рассуждения, приведенные выше, мало отличаются. Формула (4') теперь записывается так

.

Число  остается действительным, потому что

.

Это показывает, что приведенные выше факты (формулы (4')-(10)) остаются неизменными. В частности числа  и в случае комплексного  действительны. Теорема 1 полностью сохраняется для комплексного . Формула (4") теперь имеет вид

,

т. е. теперь уже квадраты чисел  надо заменить на квадраты их модулей. Формула (4'") теперь уже выглядит следующим образом:

,

а в остальном теорема 2 остается в силе.

Замечание 2. Отметим, что действительность собственных значений самосопряженного линейного оператора  и  (действительном или комплексном) можно доказать следующим образом. Пусть  - собственное значение оператора  и  - принадлежащий к нему собственный вектор. Так как , то

.

Ортогональность собственных векторов оператора, принадлежащих разным собственным значениям, тоже можно доказать непосредственно. В самом деле,

тогда

.

Так как , то .