§ 15. Линейные операторы

Зададим произвольную квадратную матрицу

.                                                                     (1)

Матрицу  можно рассматривать как оператор, приводящий в соответствие каждому вектору  вектор , компоненты которого вычисляются по формулам

                                                            (2)

или, короче,

.                                                                         (2')

Говорят, что -я координата вектора  записывается с помощью -й строки . Этот оператор коротко будем записывать так:

                                                                          (2'')

Замечание 1. Если  и далее -комплексные числа, то  надо считать комплексным пространством. Если же ,  - действительные числа, то  может быть и действительным и комплексным пространством.

В случае одномерного пространства  векторы  и  суть числа, и оператор (2") превращается в функцию

.

Оператор (2") линейный. Это значит, что он удовлетворяет условию

для любых векторов ,  и чисел , . В самом деле,

.

Если матрицы  и  равны, т. е. имеют равные соответствующие элементы , то они определяют тождественно равные операторы:

.                                                                (3)

Обратно, из равенства (3) вытекает, что

,

т. е. равенство матриц  и  . В этом легко убедиться, если положить в (3)

,

где 1 стоит на -м месте .

Таким образом, различным матрицам  соответствуют различные операторы - если две матрицы , и  отличаются хотя бы одним элементом, то обязательно существует вектор , для которого

.

Пусть, кроме , задан еще другой оператор , определяемый квадратной матрицей -го порядка

.

Каждому  соответствует при помощи оператора  вектор , которому при помощи оператора  соответствует вектор  с компонентами, вычисляемыми по формулам

.

В результате получим сложный линейный оператор

                                                                                                              (4)

где

с матрицей , называемой произведением матриц  и  и обозначаемой так:

,                                                                                    (5)

где

,                           (6)

т.е. чтобы получить элемент  матрицы  (принадлежащий к ее -й строке и -му столбцу), надо элементы -й строки матрицы  умножить на соответствующие элементы -того столбца матрицы  и результат сложить.

Определитель матрицы  равен произведению определителей матриц  и :

                                                                     (7)

Это свойство вытекает из формулы для произведения определителей (см. § 2, свойство к)).

Пусть матрица оператора  (см. (1)) имеет определитель, не равный нулю:

.

В этом случае (см. § 4, теорема 1) система уравнений (2), или, что все равно, операторное уравнение  имеет единственное решение  при любом заданном . При этом формулы, по которым находится  для заданного , имеют вид

.                                                                               (8)

Здесь

                                                                              (9)

(см. § 4, (З')), где  - алгебраическое дополнение элемента  в определителе .

Впрочем, для нас сейчас важно только отметить, что числа , являются элементами матрицы

,

обладающей следующими замечательными свойствами:

,                                                                                      (10)

.                                                                                     (11)

В самом деле, произвольный вектор  переходит посредством оператора  в некоторый вектор , который переходит посредством оператора  обратно в . С другой стороны, каждому  соответствует при помощи оператора  (см. (8)) некоторый  и притом такой, что .

В равенстве (11) можно, очевидно, вместо  поставить другую букву, поэтому мы получили тождества

.

Оператор  называется единичным оператором. Матрица, ему соответствующая, имеет вид

и называется единичной. Мы доказали, что

.

Оператор , обладающий этим свойством, называется обратным к оператору  и обозначается через . Соответственно его матрица называется обратной матрицей к матрице  и обозначается тоже через . Элементы матрицы  находятся по элементам матрицы  с помощью формул (9).

Мы доказали, что если определитель  квадратной матрицы  не равен нулю, то она имеет обратную матрицу . Для , таким образом, выполняются свойства

.

Если определитель матрицы  равен нулю , то она не имеет обратной матрицы. Достаточно сказать, что уравнение  имеет решение не для всякого . Между тем свойство , если оно выполняется, утверждает, что каждому  соответствует (при помощи оператора ) такой , что он есть решение уравнения .

Замечание. Операцию умножения матриц можно распространить и на неквадратные матрицы  и , лишь бы число столбцов матрицы  совпадало с числом строк матрицы . Тогда умножение матриц производим по формулам, подобным (6). Например, если

,     ,     то    .

Произведение  в данном случае рассматривать нельзя, так как у матрицы  два столбца, а у матрицы  три строки.

Для квадратных матриц  и  произведения  и  имеют смысл, но далеко не всегда  равно . Например, если

,       ,

то

,       ,

т.е. .

Легко проверить, что .

Если -линейный оператор, то запись  можно рассматривать как произведение матрицы  на одностолбцовую матрицу

.

Пусть заданы линейные операторы  и . Суммой их называется оператор , определяемый равенством

.

Очевидно, матрица оператора  совпадает с матрицей, равной сумме матриц операторов  и .

Легко проверить, что

.

Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице

.

Матрица  определяет линейный оператор , приводящий в соответствие каждому вектору  вектор  при помощи равенств

,

,

,

Эти равенства можно рассматривать также как линейную систему трех уравнений относительно неизвестных . Определитель этой системы не равен пулю. Но тогда ее можно решить при любых заданных . В результате получим равенства

,

,

,

определяющие оператор , обратный к оператору . Матрица этого оператора

.

Это и есть матрица, обратная к матрице .

Элементы матрицы  можно получить путем вычислений по формулам (9). Обозначим элементы обратной матрицы  через . Имеем , ,

,       ,       ,

,       ,       ,

,       ,       .

Таким образом,

,       ,       ,

,       ,       ,

,       ,       .

Итак,

.

Пример 2. Вычислить произведение матриц , где

,       .

Вычисление можно произвести по формулам (5), (6), но можно рассуждать и следующим образом.

Матрица  определяет оператор , приводящий в соответствие векторам  векторы  при помощи равенств

,

,

,

Матрица же  определяет оператор , приводящий в соответствие векторам  векторы  при помощи равенств

,

,

.

Но тогда оператор

определяется равенствами

,

,

.

Следовательно, произведение  матриц  и  есть матрица

.