9.7. Расстояние от точки до плоскости.

Требуется найти расстояние от точки  до плоскости , определяемой уравнением

.

 Для этого приведем уравнение  к нормальному виду:

.

Здесь  - радиус-вектор текущей точки  плоскости , - длина перпендикуляра к , выпущенного из нулевой точки, и  - единичный вектор, направленный как . Из рис. 22 видно, что разность  радиус-вектора произвольной точки  плоскости  и радиус-вектора точки  есть такой вектор, что абсолютная величине его проекции на  равна искомому расстоянию  от до :

,

но

.

Следовательно,

.

Рис. 22

Мы видим, что, для того чтобы вычислить расстояние  от точки  до плоскости , надо записать уравнение плоскости  в нормальном виде, перенести  в левую часть и подставить в последнюю  вместо .

 Абсолютная величина полученного выражения и есть искомое число .

На языке параметров плоскости, очевидно,

.

Легко видеть, что если точка  и начало координат находятся по разные стороны от плоскости  (как на рис. 22), то вектор  образует с  тупой угол, и поэтому

.

Если же точка  и начало координат находятся по одну сторону от , то указанный угол острый, и тогда

.

Следовательно, в первом случае , а во втором .

Пример 2. Расстояние  от точки (1, 1, 1) до плоскости

равно

.

В данном случае точка (1, 1, 1) и начало координат находятся по разные стороны от плоскости , так как  и

.

ЗАДАЧИ

1. Привести уравнение плоскостей

,

к нормальному виду.

2. Найти угол между плоскостями

 и ;

 и .

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0, 0 ,1), (1, 0, 1), (1, 1, 0).

4. Написать уравнение шаровой поверхности с центром в начале координат, касающейся плоскости .