§ 21. Теоремы фредгольмова типа

В этом параграфе излагается теория линейных уравнений, параллельная теории, изложенной в § 4.

Это бездетерминантная теория. В ее формулировки определитель системы уравнений явно не входит. Преимущество ее заключается в том, что она послужила основой и аналогом для многих обобщений в математическом анализе. Первые такие важные обобщения принадлежат Фредгольму.

Мы снова рассматриваем линейный оператор (см. § 15) :

,                                                                            (1)

приводящий в соответствие каждому вектору  вектор  при помощи равенств

                                                                             (2)

Здесь

                                                          (3)

- заданная квадратная матрица. Оператору  соответствует сопряженный ему оператор

,                                                                                 (1*)

определяемый сопряженной к (3) матрицей

                                                                             (3*)

При помощи компонент векторов  он записывается в виде

                                                         (2*)

т.е. компонента  выражается через координаты вектора  с помощью -й строки матрицы  или -го столбца матрицы .

Справедливо равенство

,                                                     (4)

верное для всех . В самом деле, для действительных  и

.

В комплексном случае

.

Равенство (4) характерно для сопряженного оператора, потому что, если для некоторого линейного оператора  выполняется равенство

,                                                   (5)

то необходимо . Действительно, , для действительных , ,

,

.

Из (5) следует, что

,                                     (6)

откуда , в чем можно убедиться, если положить в (6)  и , где у  единица стоит на -м месте, а у  на -м месте. В комплексном случае

,

,

откуда  или .

Таким образом, сопряженный оператор  к линейному оператору  можно также определить как такой линейный оператор, для которого выполняется равенство (4).

Равенства (1) и (1*) можно рассматривать как уравнения - задан вектор , и мы ищем , для которого выполняется равенство (1) или (1*).

Соответствующие однородные уравнения имеют вид

                                                                                 (10)

или

                                             (20)

и

                                                                                           (10*)

или

.                                                  (20*)

Обозначим через  образ пространства  при помощи оператора :

 - и через  подпространство всех векторов , удовлетворяющих однородному сопряженному уравнению (10*).

Мы назвали  подпространством, потому что вместе с ,  к нему принадлежат также , где  и  - числа:

.

 есть тоже подпространство, потому что, если , , то существуют векторы ,  такие, что , , и, следовательно,

,

т.е. .

Справедлива лемма (см. § 20, теорема 2).

Лемма 1. Подпространства  и  взаимно ортогональны, т. е.  есть множество всех векторов , каждый из которых ортогонален к , а  в свою очередь есть множество всех векторов , каждый из которых ортогонален к . Если  имеет  измерений, то  имеет  измерений.

Доказательство. Обратимся к равенству

,                                                                                              (7)

верному для всех . Пусть  есть вектор, ортогональный к , тогда для него левая часть (7) равна нулю для всех , но тогда и правая часть равна нулю для всех , в частности для :

.

Следовательно, . Мы доказали, что если вектор  ортогонален к , то он удовлетворяет уравнению  (т.е. ).

Обратно, пусть вектор  удовлетворяет уравнению . Для такого  правая часть (7) равна нулю при любых , но тогда и левая равна нулю, т. е.  ортогонален ко всем векторам вида , т. е. ко всем векторам . Другими словами,  ортогонален к .

Мы доказали, что  есть множество всех векторов , ортогональных к подпространству . Но тогда на основании теоремы 2 § 20 и, обратно,  есть множество всех векторов , ортогональных к , и сумма измерений  и  равна . Лемма доказана.

Справедлива теорема.

Теорема 1. Для того чтобы уравнение

                                                                                (1')

имело решение для данного вектора , необходимо и достаточно, чтобы вектор  был ортогональным ко всем векторам , удовлетворяющим однородному сопряженному уравнению

.                                                                            (10*)

Решение  уравнения (1), если оно существует, можно записать в виде суммы

,

где  - какое-либо частное решение уравнения (1), а  - произвольное решение однородного уравнения

.                                                                               (10)

Любая указанная сумма есть решение (1').

Доказательство. В силу леммы 1, если , а  есть множество всех , удовлетворяющих уравнению , то  и  суть подпространства, ортогональные взаимно. Но тогда, если для  существует решение уравнения (1), то  и необходимо все  ортогональны к . Если же вектор  ортогонален ко всем , то , т. е. существует , для которого .

Пусть теперь для вектора  существует решение уравнения (1'). Обозначим его через :

.

Тогда, очевидно, сумма , где , есть тоже решение уравнения (1'):

.

Обратно, если  есть произвольное решение уравнения (1'), а  - определенное частное решение, то

,

и, следовательно,

,

 где , т. е. , где  удовлетворяет уравнению .

Замечание. Поясним на примере действительного пространства  связь теоремы 1 с теорией Кронекера-Капелли. Пусть вектор  ортогонален ко всем решениям системы

                                                          (8)

Покажем, что тогда ранги матрицы  и расширенной матрицы

равны между собой. Если ранг , то, очевидно, ранг . Пусть ранг . Всегда ранг  ранг . Поэтому нам необходимо доказать, что

.

В самом деле, так как  ортогонален к решениям системы (8) (нетривиальным), то . Поэтому, считая, что ,

,

.

Отсюда следует, что ранг  = ранг  = 1.

Обратно, пусть вектор  таков, что ранг  = ранг , тогда (1) имеет некоторое решение . Докажем, что  ортогонален к решениям системы (8). В самом деле,

Теорема 2. Однородные уравнения

                                                                                       (10)

и

                                                                             (10*)

имеют одинаковое число линейно независимых решений.

В частности, если одно из этих уравнений имеет только тривиальное решение 0, т.е. имеет нуль независимых решений, то это верно и для другого.

Замечание. В последнем случае уравнение (1) имеет единственное решение.

Доказательство. Матрицы  и  имеют один и тот же ранг, который обозначим через . Они имеют также один и тот же определитель .

Если , то  и уравнения (10) и (10*) имеют только тривиальные решения 0. В этом случае, согласно теореме 1, уравнение (1) имеет единственное решение при любых .

Пусть теперь . После соответствующей перенумерации уравнений и компонент определитель

.

Первые  уравнений (1°) теперь запишем в виде

                                             (9)

Ниже приводится таблица  векторов

                                     (10)

Чтобы получить первый вектор, подставляем в систему (9)

и решаем ее относительно . Единственные решения, которые здесь получаются, обозначим через . Чтобы получить второй вектор, подставляем в (9)

и находим числа  и т. д. Векторы (10) обладают следующими свойствами.

1) Система векторов (10) линейно независима, потому что ранг матрицы этих векторов равен числу этих векторов .

2) Каждый вектор системы (10) есть решение (любых) уравнений () или .

3) Всевозможные решения уравнения  имеют вид

,

где  - произвольные числа.

Обычно эти три утверждения заменяют словами: уравнение () имеет  линейно независимых решений.

Подобными рассуждениями, учитывая, что ранг ранг , доказываем, что уравнение  тоже имеет  линейно независимых решений. Теорема доказана.

Теорема 3. Если одно из однородных уравнений () или () имеет  линейно независимых решений, то и другое имеет  линейно независимых решений; образы же  и  пространства , получаемые при помощи операторов  и , суть подпространства  измерений.

Доказательство. Первое утверждение теоремы о равенстве количеств линейно независимых решений однородных уравнений () и () есть теорема 2, а второе - есть лемма 1, в силу которой измерение подпространства , равно , где  — измерение подпространства  векторов , удовлетворяющих уравнению . Аналогично измерение  равно , где  - количество измерений подпространства векторов , удовлетворяющих уравнению .