Эллипсоид

       .                                  (7)

При  эллипсоид (7) обращается в сферу радиуса  с центром в начале координат, т. е. геометрическое место точек, отстоящих от начала на расстоянии .

Величины  называются полуосями эллипсоида.

Если в уравнении (7) заменить (одновременно или порознь)  на ,  на , на , то оно не изменится, — это показывает, что эллипсоид (7) есть поверхность, симметричная относительно координатных плоскостей , ,  и начала координат. Поэтому достаточно изучить уравнение (7) в первом октанте (системы координат), т. е. для , , . Часть эллипсоида, находящаяся в первом октанте, определяется явным уравнением, например

,   ,   ,   .

Для определенности будем считать, что . Эллипсоид есть ограниченная поверхность. Он находится внутри шара радиуса  с центром в начале координат: для координат любой точки эллипсоида  имеет место неравенство

.

Чтобы составить более точное представление об эллипсоиде, произведем сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Например, пересекая эллипсоид плоскостями , получим в сечении эллипсы

с полуосями

,     .

Отсюда видно, что самый большой эллипс получается в сечении эллипсоида плоскостью . Аналогичная картина будет при сечении плоскостями , .

Эллипсоид (7) имеет вид, изображенный на рис. 43.

Точки , ,  лежат на эллипсоиде (7) и называются его вершинами.

Если какие-либо две полуоси равны между собой, то эллипсоид (7) будет эллипсоидом вращения, т. е. получается от вращения эллипса относительно соответствующей оси координат.

Рис. 43