§ 25. Поверхность второго порядка в трехмерном пространстве

Уравнение

,                                                      (1)

где  - заданные постоянные числа, а  - переменная точка в , определяет, вообще говоря, некоторое множество точек в , называемое поверхностью второго порядка. Если уравнение (1) не удовлетворяется ни одной действительной точкой , то говорят, что оно определяет мнимую поверхность. Нас эти случаи не будут интересовать. В некоторых случаях уравнение (1) может определять пару различных или совпадающих плоскостей или одну-единственную точку. Но и такие множества мы будем называть поверхностями.

Перечислим важнейшие частные случаи уравнения (1):

1) Эллипсоид

.

2) Однополостный гиперболоид

.

3) Двуполостный гиперболоид

.

4) Эллиптический параболоид

.

5) Гиперболический параболоид

.

6) Конус второго порядка

.

7) Точка

.

8) Цилиндры второго порядка:

цилиндр эллиптический

,

цилиндр гиперболический

,

цилиндр параболический

,

пара пересекающихся плоскостей

,

пара параллельных или совпадающих плоскостей

прямая

.

При рассмотрении частных случаев уравнения (1) мы считали, что .

Можно доказать, что для каждого частного уравнения (1), если оно не определяет мнимую поверхность, можно найти прямоугольную систему координат, в которой это уравнение имеет один из перечисленных выше восьми видов. Это следует из общей теории § 22. Само преобразование уравнения (1) производится так же, как в § 24. Нахождение собственных значений  сводится к решению кубического уравнения.

Укажем еще один путь нахождения собственных чисел и собственных векторов, который мы по сути дела уже рассмотрели в § 23 в двумерном случае. Собственные значения  самосопряженного оператора  и принадлежащие им нормированные векторы  можно находить следующим образом (обоснование см. ниже). Вводим определитель :

где  — единичная матрица. Находим корни  уравнения

,                                                                       (2)

которое называется характеристическим уравнением оператора . Это и есть собственные числа оператора . Они действительные, причем они могут быть разными, но могут и совпадать - быть кратными. Таким образом,

.

Затем для корня  ищем нетривиальное решение  однородной системы уравнений:

                                 (3)

или соответствующего уравнения для оператора :

,                                                             (3')

где  - единичная матрица и векторы .

Если  - простой корень (т. е. в данном случае , отлично от  и от , то ранг матрицы системы (3) необходимо будет равен двум (ранг ), и мы получим единственный, с точностью до знака, вектор , удовлетворяющий системе (3), т. е.

или

.

Если  - корень второй кратности , то система (3) необходимо имеет ранг, равный единице (ранг ), и будет иметь два ортонормированных решения  и  , которые являются собственными векторами, принадлежащими собственному значению :

.

Наконец, если  - корень третьей кратности , то система (3) необходимо имеет ранг, равный нулю (ранг ), и будет иметь три ортонормированных решения :

.

Любые три ортонормированных вектора в  могут быть взяты в качестве собственных векторов , принадлежащих собственным числам .

Обоснуем сказанное. Мы знаем, что в  существует система ортонормированных векторов  и действительные числа , такие, что

.

При этом можно указать ортогональную матрицу  такую, что (см. § 22)

.

Отсюда для переменного числа  имеет место тождество

                       (4)

.

 Определитель матрицы  мы обозначили выше через . Он, как это видно из (4), равен определителю матрицы, стоящей в правой части (4), так как

.

Таким образом,

.

Мы получили, что корни многочлена  совпадают с собственными значениями  оператора . Они, таким образом, действительны.

Пусть  - простой корень и, следовательно,  и . Тогда матрица справа в (4) при  имеет ранг, равный двум (ранг ), но тогда ранг . Ведь решения однородной системы (3) и системы

                                                      (5)

соответствующей матрице (4), преобразуются друг в друга при помощи ортогональной матрицы (системы (3) и (5) эквивалентны). Система же (5) имеет только одно (с точностью до знака) нормированное решение (±1, 0, 0). Но это возможно, лишь если ранг .

Можно дать и такое объяснение этого факта. Если предположить, что все определители второго порядка, порожденные матрицей , равны нулю, то тогда и все определители второго порядка, порожденные матрицей ,  также будут равны нулю, так как эти определители являются линейными комбинациями определителей второго порядка из матрицы . Но этого не может быть, ибо определитель, порожденный матрицей ,

.

Если теперь , то, рассуждая аналогично, получим, что ранг , и тогда существует в точности два ортонормированных решения  системы (3), соответствующих .

Наконец, при  будет ранг , т. е. все элементы матрицы  равны нулю. В этом случае любой вектор  является решением системы (3). Это приводит к тому, что любые три вектора , образующие ортонормированную систему, будут собственными векторами, принадлежащими собственному значению .

Заметим, что в этой ситуации квадратичная форма уже приведена к сумме квадратов .

Пример 1, Привести к каноническому виду квадратичную форму

.

Здесь , . Составим характеристическое уравнение:

или

,     .

Легко видеть, что  является корнем этого уравнения. Найдем два других корня:

,     ,     ,     .

Таким образом,

,     ,     ,

т. е. мы получили случай: .

Найдем собственный вектор . Для этого составим систему (3):

Любые два уравнения этой системы линейно независимы. Решая систему из двух первых уравнений, получаем

, .

Таким образом, вектор

является решением системы и, нормируя его, получим собственный вектор

.

Найдем :

Решая систему из двух последних уравнений (так как определитель из коэффициентов при и  не равен нулю), получим , .

Вектор  является решением системы, а вектор

 - собственный единичный вектор. Легко видеть, что он ортогонален  (скалярное произведение этих векторов равно кулю). Наконец, при  находим, что

- третий собственный вектор.

Ортогональная матрица перехода от координат вектора  в системе  к координатам вектора  в системе  имеет вид ( см. § 17, (15))

,

                                             (6)

Данное преобразование сохраняет ориентацию (так как ), т. е. система  ориентирована так же, как исходная система .

Подставляя в нашу квадратичную форму вместо  их значения по формулам (6), получим ее канонический вид

.

Остановимся теперь лишь на более подробном изучении уравнений и описываемых ими поверхностей, указанных выше восьми типов.