§ 17. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Пример 6. Определите фокусное расстояние объектива, необходимого для диапроекции в зале длиной L. Увеличение объектива равно К.

Решение. Из формулы линзы рассчитаем фокусное расстояние объектива:

Учитывая, что после преобразований получим:

Так как

Рис. 76

Пример 7. Фотоаппаратом, сфокусированным на бесконечность, сделали фотоснимок. Фокусное расстояние объектива 5 см, отношение диаметра D объектива к фокусному расстоянию F равно На каком минимальном расстоянии от фотоаппарата предметы на снимке будут достаточно резкими, если считать, что допустимое размытие изображения равно 0,1 мм?

Решение. Если объектив фотоаппарата установлен на бесконечность, то фотопленку размещают в его фокальной плоскости (рис. 76).

Точечный источник света S на фотопленке будет изображаться в виде кружка диаметром

Из подобия треугольников запишем:

Из условия задачи и формулы линзы следует:

Пример 8. Две собирающие тонкие линзы с фокусными расстояниями имеют общую главную оптическую ось и находятся на расстоянии друг от друга. Найдите связь между расстоянием от предмета до первой линзы и расстоянием от второй линзы до изображения, созданного системой линз. Найдите фокусное расстояние системы линз.

Решение. Запишем формулу линзы для обеих линз:

Если свет падает сначала на первую линзу, то изображение, построенное первой линзой, является предметом для второй линзы. При этом выполняется равенство:

Из уравнений (1), (2) и (3) следует:

Если — фокусное расстояние системы в том случае, когда свет падает на линзу с фокусным расстоянием

Если свет падает сначала на линзу с фокусным расстоянием то фокусное расстояние оптической системы определяется из уравнения:

Из уравнений (5) и (6) следует, что и лишь при когда линзы находятся в контакте,

т. е.

Оптическая сила двух тонких линз, находящихся в контакте, равна сумме оптических сил каждой линзы.

Пример 9. Труба Кеплера наведена на Солнце. Фокусное расстояние объектива равно см, окуляра см. На расстоянии см от окуляра расположен экран. При каком расстоянии между объективом и окуляром на экране получится четкое изображение Солнца? Чему равен диаметр этого изображения? Угловой диаметр Солнца

Решение. Объектив трубы Кеплера в фокальной плоскости дает изображение Солнца диаметром Это изображение служит предметом для окуляра (рис. 77).

Рис. 77

Из формулы линзы для окуляра запишем:

Из рисунка 77 видно, что

Диаметр изображения можно найти из подобия треугольников и

Пример 10. Докажите, что с помощью сферического зеркала можно получать изображения предметов. Выведите формулу сферического зеркала.

Решение. На рисунке 78 представлено схематическое изображение вогнутого сферического зеркала. Точка О — центр сферической поверхности зеркала радиусом точка Р — вершина сферического сегмента, называемая обычно полюсом зеркала. Прямую, проходящую через точки О и Р, называют главной оптической осью. Точка — положение светящейся точки. Луч, испущенный из точки вдоль главной оптической оси, после отражения от зеркала пойдет в противоположном направлении по той же оси, так как угол падения луча равен нулю градусов. Если все лучи, исходящие из точки после отражения от зеркала сходятся в одну точку, то эта точка должна лежать на главной оптической оси. Для нахождения точки называемой изображением точки направим из точки произвольный луч под малым углом к главной оптической оси. После отражения от зеркала в точке А (угол падения и угол отражения обозначены через а) этот луч пересечет главную оптическую ось в точке

Чтобы доказать, что любые другие лучи, исходящие из точки пройдут через точку нужно показать, что расстояние от полюса Р зеркала до изображения при заданном расстоянии от источника света до полюса зеркала не зависит от угла

Для узких пучков лучей, близких к главной оптической

Рис. 78

Рис. 79

Рис. 80

оси, справедливо условие Для них углы достаточно малы, поэтому выполняются приближенные равенства:

Так как внешний угол любого треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, то справедливы равенства:

Из условия (2) получаем:

С учетом выражения (1) находим:

Это выражение называют формулой сферического зеркала. Из полученной формулы следует, что величина не зависит от угла Следовательно, все лучи, испускаемые источником соберутся в точке

Если источник света находится очень далеко от зеркала то из формулы зеркала получаем:

т. е. при падении на вогнутое сферическое зеркало пучка лучей, параллельного главной оптической оси, все они собираются в одной точке называемой фокусом зеркала. Фокусное расстояние расстояние от полюса зеркала до его фокуса, равно половине радиуса кривизны зеркала: (Рис. 79).

Используя свойство лучей, идущих параллельно главной оптической оси, можно построить изображение в сферическом зеркале от источника, находящегося в произвольном месте. После отражения от зеркала луч, идущий параллельно главной оптической оси, пересекает главную оптическую ось в фокусе зеркала (рис. 80). На основе принципа обратимости световых лучей

любой луч, проходящий через фокус, после отражения от зеркала пойдет параллельно главной оптической оси.

Примечание. При использовании формулы сферического зеркала следует учитывать правила знаков:

1. Фокусное расстояние вогнутого зеркала считают положительным, фокусное расстояние F выпуклого зеркала — отрицательным.

2. Расстояние до действительного изображения считают положительным, до мнимого изображения — отрицательным.

Пример 11. Постройте изображение предмета, находящегося на расстоянии от сферического зеркала радиуса R.

Решение. Для построения изображения используем любые из трех лучей, ход которых легко предсказать, исходя из основных свойств сферического зеркала, не проводя строгих геометрических построений:

1) луч, падающий на зеркало параллельно главной оптической оси, после отражения проходит через фокус, находящийся на расстоянии от полюса зеркала;

2) луч, падающий на зеркало через главный фокус, вследствие принципа обратимости световых лучей после отражения идет параллельно главной оптической оси;

3) луч, проходящий через оптический центр зеркала, падает перпендикулярно поверхности зеркала и после отражения идет по этой же прямой.

В зависимости от соотношения между и R, а также от вида зеркала (вогнутое или выпуклое) изменяются характер изображения и его размер. Например, построение изображения для вогнутого зеркала при условии представлено на рисунке 81. В этом случае изображение действительное, уменьшенное, перевернутое. Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.

Выпуклое зеркало всегда дает изображение мнимое, прямое, уменьшенное (рис. 82).

Рис. 81

Рис. 82

Рис. 83

Пример 12. Определите условия наблюдения интерференционных максимумов и минимумов при отражении монохроматического света с длиной волны X от тонкой плоскопараллельной пленки толщиной а. Показатель преломления пленки равен

Решение. На рисунке 83 показан ход луча падающего на тонкую плоскопараллельную пленку под углом а. В результате многократного отражения и преломления падающая на пленку световая волна разделится на ряд волн, отраженных и проходящих через пластинку.

Для расчета интерференционной картины при малом отражении достаточно ограничиться двумя лучами так как энергия последующих отраженных волн будет мала по сравнению с энергией первых двух волн.

Оптическая разность хода для этих двух волн равна:

Так как по закону преломления то

При отражении волны в точке О от оптически более плотной среды происходит смена ее фазы на противоположную, при отражении волны в точке от оптически менее плотной среды изменения фазы не происходит. Поэтому интерференционная картина будет определяться разностью хода с учетом потери

Из условия интерференционного максимума следует:

а из условия интерференционного минимума

Задачи для самостоятельного решения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)