§ 9. Одномерное движение

При движении по заданной траектории положение частицы полностью определяется заданием одной величины — криволинейной координаты, в качестве которой удобно взять расстояние вдоль траектории от некоторой начальной точки. Например, положение автомобиля на шоссе Санкт-Петербург—Москва можно задавать, указывая, на каком километре от Санкт-Петербурга он находится. При движении это расстояние изменяется со временем, т. е. его следует рассматривать как функцию времени: Наглядное представление об этой функции для конкретного движения дает график движения, на котором по горизонтальной оси отложено время I, а по вертикальной — расстояние от начальной точки.

График движения. Если движение происходит все время в одном направлении, то расстояние совпадает с пройденным от начальной точки путем и на графике изображается монотонно возрастающей функцией. Пример графика такого движения приведен на рис. 31а. Тело начинает движение в момент времени из точки, принятой за начало отсчета расстояния вдоль траектории. График на рис. 316 соответствует случаю, когда тело в момент

проходит через точку, принятую за начало отсчета расстояний, хотя его движение происходило и до этого момента. При этом отсчитываемые назад от начальной точки расстояния считаются отрицательными, как и моменты времени, предшествующие моменту

Рис. 31. График движения в одном направлении

График на рис. 31а соответствует движению, которое началось в момент из точки, отстоящей на расстояние от места, принятого за начало отсчета.

В отличие от графического изображения траектории, по которому легко судить о направлении скорости (касательная к траектории), но ничего нельзя сказать о ее модуле, график движения позволяет судить о значении скорости в каждый момент времени: чем круче наклон графика, тем быстрее происходит движение. Здесь можно ввести по определению скорость

которая характеризует быстроту изменения криволинейной координаты При увеличении I, когда положительна; при уменьшении I, когда отрицательна. Легко видеть, что модуль совпадает с мгновенной скоростью прохождения пути, определяемой формулой (2) § 7. На графике движения возрастанию I соответствует положительный наклон кривой, убыванию I — отрицательный наклон. Конечно, никакой информации о форме самой траектории этот график уже не содержит.

Рис. 32. Участок ОА соответствует равномерному движению в одном направлении, участок — равномерному движению в обратном направлении

При равномерном движении, т. е. движении с постоянной по модулю скоростью, график изображается прямой линией (участок на рис. 32). Легко видеть, что тангенс угла наклона а этого участка графика к оси времени численно равен скорости движения. Участок соответствует равномерному

движению в обратном направлении: расстояние от начальной точки О убывает со временем. Скорость на этом участке отрицательна, так как Наклон графика на этом участке отрицательный, а значение скорости по-прежнему равно тангенсу отрицательного угла наклона

При изучении движения по заданной траектории будем в дальнейшем обозначать скорость через При описании движения наряду с графиком, изображающим зависимость расстояния от времени удобно рассматривать также и график скорости. Для равномерного движения график зависимости скорости от времени представляет собой горизонтальную прямую (рис. 33). Путь проходимый за промежуток времени на этом рисунке изображается площадью прямоугольника, ограниченного осью двумя вертикальными отрезками, проходящими через точки , и графиком скорости

Рис. 33. График скорости равномерного движения

Рис. 34. График равномерного движения

Такая геометрическая интерпретация соответствует формуле

Применяя эту формулу к промежутку времени от до некоторого момента можно написать выражение для координаты в любой момент времени при движении с постоянной скоростью

Здесь — значение координаты при График движения, описываемого формулой (2), показан на рис. 34.

Путь на графике скорости. Рассмотрим теперь движение, график скорости которого показан на рис. 35а. На промежутке времени от 0 до движение происходит с постоянной скоростью . В момент тело останавливается и начинает двигаться с постоянной скоростью в противоположном направлении. Очевидно, что Путь, пройденный за промежуток времени от 0 до изображается

площадью верхнего прямоугольника и равен Если движение начинается из точки как показано на рис. 35б, то расстояние в любой момент времени совпадает с пройденным к этому моменту путем и дается выражением

Путь, пройденный за промежуток времени от до изображается площадью нижнего прямоугольника и равен так как Поскольку после момента времени тело движется в обратном направлении, то расстояние от начальной точки теперь убывает и уже не совпадает с пройденным к этому моменту путем. Расстояние при дается выражением

где второе слагаемое в правой части отрицательно. Для определения пути, пройденного к моменту времени в этой формуле нужно изменить знак перед вторым слагаемым. Как видно из рис. 35б, в момент времени тело возвращается в исходную точку а пройденный им к этому моменту путь равен

• Посмотрите на график движения, показанный на рис. 36. Охарактеризуйте движение тела в каждый из указанных промежутков времени.

Рис. 35. На графике скорости расстояние изображается заштрихованной площадью

Рис. 36. Как движется тело на каждом из участков?

• Что означают изломы на графике Что означают разрывы на графике Могут ли быть изломы на графике Что они означают? Могут ли быть разрывы на графике ?

• После того как вы ответили на второй вопрос, можете ли вы что-нибудь добавить к своему ответу на первый вопрос? Если да, то сформулируйте четко, что было упущено вами при первом ответе.

Степени свободы. Реальное физическое пространство трехмерно, поэтому для характеристики положения материальной точки нужны три числа. Такими тремя числами могут быть, например, проекции радиуса-вектора частицы на оси декартовой системы координат. Но в рассмотренных выше случаях векторные характеристики движения никак не использовались. Наоборот, утверждалось, что для указания положения частицы достаточно одного числа, и соответствующее движение называлось одномерным. Чем обусловлена такая возможность? Тем, что траектория движения фиксирована — она не меняется при изменении таких характеристик движения, как скорость, ускорение и т. д.

Неизменность траектории обеспечивается, как говорят, связями, наложенными на рассматриваемую систему. Например, траектория вагона метро однозначно задается конфигурацией проложенного тоннеля. Грузик маятника, выполненного в виде насаженного на жесткий стержень шарика, может двигаться только по окружности определенного радиуса. Подобные примеры часто встречаются в природе и технике. Говорят, что в этих случаях наложенные связи уменьшают число степеней свободы.

Свободная материальная точка в трехмерном пространстве имеет три степени свободы в соответствии с тем, что ее положение задается тремя независимыми числами. Точка, которая может двигаться по заданной поверхности, имеет только две степени свободы. Например, для точки на поверхности земного шара достаточно указать две географические координаты — широту и долготу. Наконец, вагон метро в тоннеле обладает только одной степенью свободы. Движение вагона по рельсам одномерно, хотя сам тоннель может быть причудливым образом изогнут в трехмерном пространстве. Ясно, что использовать векторные величины для описания движения вагона совершенно излишне.

В подобных случаях для описания движения вводятся так называемые обобщенные координаты, число которых равно числу степеней свободы. Когда траектория частицы заранее задана, в качестве такой обобщенной координаты удобно выбирать расстояние вдоль траектории от некоторой начальной точки.

• Какие величины удобно выбрать в качестве обобщенных координат для корабля, плывущего в океане? Для подводной лодки? Сколько обобщенных координат нужно для корабля, рассматриваемого как материальная точка, и для того же корабля в случае, когда необходимо учесть его габариты?

• Брошенный под углом к горизонту камень летит по некоторой траектории. Можно ли считать его движение одномерным? Есть ли здесь связи, наложенные на движение?

• Какие возможные движения вагона метро не принимаются во внимание, когда считается, что у него одна степень свободы?

• Как ускорение а, при одномерном движении по криволинейной траектории связано с введенным ранее тангенциальным ускорением?