§ 35. Применение законов сохранения при решении задач

В большинстве практически интересных случаев при решении задач приходится использовать как закон сохранения импульса, так и закон сохранения энергии. В тех случаях, когда ответ удается получить, используя лишь один из этих законов, нужно обязательно выяснить, выполняется ли при этом второй, и если не выполняется, то почему.

Задачи

1. Диск на пружине. На пружине жесткости к висит горизонтальный диск массы М, на который с высоты падает кольцо массы и прилипает к диску (рис. 122). На какое максимальное расстояние сместится диск из своего первоначального положения?

Решение. Сразу отметим, что одним законом сохранения энергии здесь не обойтись, так как при неупругом ударе кольца о диск, когда оно прилипает к диску, механическая энергия не сохраняется. Тем не менее закон сохранения энергии использовать можно, но только с того момента, как диск с прилипшим к нему кольцом уже движется как одно целое. Их общую скорость V в этот момент можно найти с помощью закона сохранения импульса. Так как в момент удара кольцо, упавшее с высоты , имеет скорость то

Рис. 122. Колебания диска на пружине

При дальнейшем движении происходят взаимные превращения кинетической и потенциальной энергии, причем здесь потенциальная энергия системы включает в себя потенциальные энергии диска и кольца в поле тяжести Земли и потенциальную энергию упруго деформированной пружины. Составляя уравнение баланса энергии, следует учесть, что в момент удара пружина уже растянута под действием веса диска на , следовательно, обладает потенциальной энергией

Будем отсчитывать расстояние х вниз от первоначального положения диска. Учитывая, что в момент максимального отклонения вниз скорость диска с кольцом обращается в нуль, имеем

Знак «минус» в члене для потенциальной энергии в поле тяжести связан с выбранным направлением отсчета смещения . Наличие во втором слагаемом в правой части соответствует тому, что полное растяжение пружины в крайней точке равно Подставляя в (2) V из (1) и значение приходим к квадратному уравнению для Решая это уравнение, находим

Каков смысл второго (отрицательного) корня в ? Легко сообразить, что после прилипания кольца к диску дальнейшее их движение представляет собой колебание около некоторого нового положения равновесия Положительный корень дает интересующее нас максимальное смещение диска вниз из начального положения, а отрицательный — максимальное смещение вверх при последующих колебаниях. При этом диск поднимается выше своего первоначального положения. Хотя при составлении уравнения закона сохранения энергии (2) мы не задумывались над возможностью таких колебаний, уравнение автоматически выдало нам второй корень, ибо все, что в него было заложено об интересующей нас точке, — это обращение в нуль скорости, а значит, и кинетической энергии системы. Но скорость обращается в нуль как в нижней, так и в верхней точках максимального отклонения.

Видно, что выражение (3) удовлетворяет очевидному предельному случаю если кольцо просто положить на диск, то, опускаясь вместе с кольцом, он проскочит новое положение равновесия на такое же расстояние вниз и затем при колебаниях будет возвращаться до прежней высоты.

Другой интересный предельный случай: . В этом случае неупругого удара как такового нет и закон сохранения энергии справедлив для всего процесса в целом, начиная с момента падения кольца с первоначальной высоты Учитывая, что при пружина перед ударом не деформирована, имеем

Корни этого уравнения даются формулой (3) при

Переопределение потенциальной энергии. Обратим внимание на то, что в этой задаче фактически можно обойтись без рассмотрения двух видов потенциальной энергии. Дело в том, что действие постоянной силы на пружину, в данном случае веса диска с кольцом, приводит лишь к смещению положения равновесия, не изменяя жесткости к пружины. При этом можно считать, что в системе остается только одна упругая сила, пропорциональная смещению из нового положения равновесия, а

сил тяжести уже нет. Соответственно остается только связанная с этой новой упругой силой потенциальная энергия, отсчитываемая от нового положения равновесия. Теперь уравнение баланса энергии записывается в виде

что, конечно, совпадает с (2).

Прежде чем перейти к очередной задаче, отметим следующее обстоятельство. Иногда из общих соображений нам удается представить себе качественную картину рассматриваемых в задаче явлений. При этом, однако, может оказаться, что попытки рассчитать движение количественно, исходя из уравнений динамики, наталкиваются на почти непреодолимые математические трудности. Конечно, всегда можно попытаться решить уравнения движения численно с помощью компьютера, но при этом резко сужаются возможности исследования в общем виде разных возможных случаев. Именно здесь и уместно использование законов сохранения.

2. Соскальзывание с купола. На вершине полусферического купола радиуса находится шайба, которая может скользить по поверхности купола без трения. Шайбе толчком сообщают скорость в горизонтальном направлении. В какой точке купола шайба оторвется от его поверхности?

Рис. 123. Соскальзывание шайбы с полусферического купола

Решение. Без всяких вычислений можно убедиться, что шайба обязательно оторвется от поверхности купола. Она не может скользить по поверхности до самого основания даже в том случае, когда начинает сползать с верхней точки купола без начальной скорости. В самом деле, из рис. 123 ясно, что у основания купола скорость шайбы была бы направлена вертикально вниз. Но этого не может быть, ибо горизонтальная составляющая силы реакции в течение всего движения по куполу направлена в одну сторону.

Второй закон Ньютона, позволяя так просто выявить качественную картину движения шайбы по куполу, оказывается малопригодным для нахождения движения в аналитическом виде, ибо, как ясно из того же рис. 123, ускорение шайбы непостоянно.

Запишем проекцию уравнения второго закона Ньютона на радиальное направление для момента времени, когда шайба находится на поверхности купола в точке, положение которой задается углом а:

Отметим, что это уравнение записано в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, причем ось, на которую выполнено проецирование уравнения второго закона Ньютона, неподвижна, хотя и имеет свое направление для каждой точки купола. (Напомним, что с одной и той же инерциальной системой отсчета можно связать сколько угодно различных систем координат.)

Точка отрыва шайбы от купола определяется условием обращения в нуль силы реакции опоры:

Поэтому в точке отрыва из уравнения (4) имеем

Если бы была установлена скорость в момент отрыва, то выражение (5) и давало бы ответ на вопрос задачи.

Связать скорость шайбы в любой момент времени с ее положением на куполе можно с помощью закона сохранения энергии, так как в отсутствие трения рассматриваемая механическая система консервативна. Выбирая начало отсчета потенциальной энергии, например, в верхней точке купола, имеем

Подставляя сюда из (5), для точки отрыва получаем

В частном случае когда шайба начинает соскальзывать без начальной скорости, Точка отрыва находится на высоте двух третей радиуса от основания купола.

Выражаемый формулой (7) ответ имеет смысл лишь тогда, когда правая часть не превосходит единицы. Для этого начальная скорость должна удовлетворять условию При начальная скорость шайбы достаточна для того, чтобы отрыв от поверхности купола произошел сразу в верхней точке. При выражение (7) уже не имеет смысла, однако ответ совершенно ясен: отрыв шайбы происходит в верхней точке купола (при и дальнейшее ее движение происходит по параболе, как в случае тела, просто брошенного горизонтально с начальной скоростью При параболическая траектория имеет в верхней точке такую же кривизну, как и поверхность купола.

Используя закон сохранения энергии для механических систем, где действуют силы трения, следует помнить о том, что их проявление нетривиально и не всегда сводится к уменьшению (диссипации) механической энергии системы. В этом отношении весьма поучительна следующая задача.

3. На обледенелой горке. Автомобиль не может стоять на обледеневшем склоне, когда коэффициент трения а. До какой скорости нужно предварительно разогнать автомобиль, чтобы он мог с разгона подняться по этому склону до высоты ? Если высота горы окажется больше и автомобиль не «дотянет» до ее вершины, то какова будет его скорость, когда он с работающим двигателем сползет вниз и снова окажется у основания горы?

Решение. Действующие на автомобиль силы здесь находятся так же, как и для любого тела на наклонной плоскости: это сила тяжести нормальная сила реакции, модуль которой равен , и сила трения,

модуль которой при проскальзывании колес, очевидно, равен . Однако здесь эта сила трения ведущих колес о дорогу направлена вверх по склону и при подъеме автомобиля в гору совершает положительную работу.

Хотя при известных силах задачу можно решить динамически, проще сделать это с помощью закона сохранения энергии. Приравняем изменение полной механической энергии за время подъема от подножья горы, где автомобиль имел скорость и, до высоты где его скорость обратилась в нуль, работе силы трения а на пути

Отсюда для квадрата необходимой скорости разгона получаем

Этот ответ справедлив, разумеется, лишь тогда, когда сила трения не в состоянии удержать автомобиль на склоне, т. е. когда а. Из ответа (9) видно, что трение ведущих колес о склон действительно помогает преодолеть подъем: при отсутствии трения нужен был бы разгон до скорости Именно это и дает формула (9) при Из этой формулы также видно, что для подъема на одну и ту же высоту нужна тем большая скорость разгона, чем круче склон. На более пологом склоне и сама сила трения больше, и длиннее перемещение, на котором она совершает положительную работу.

Если автомобиль остановился, не достигнув вершины, то при а он будет сползать вниз даже при работающем двигателе. Сила трения пробуксовывающих колес о склон будет теперь совершать отрицательную работу. Скорость которую автомобиль будет иметь у основания, снова можно определить с помощью закона сохранения энергии. Так как наверху он имеет только потенциальную энергию а внизу — только кинетическую то

Отсюда для V находим

Сравнивая (11) и (9), замечаем, что скорость сползшего со склона автомобиля совпадает со скоростью до которой он был разогнан перед началом подъема. Хотя этот результат может показаться и неожиданным, но, немного подумав, можно прийти к выводу, что именно так и должно быть. Более того, в этом можно убедиться из самых общих соображений, вообще не выписывая никаких формул. Дело в том, что в данном случае сила трения ведущих колес о склон не меняет своего направления при изменении направления движения автомобиля. В этом заключается ее принципиальное отличие от обычной силы трения скольжения, направленной противоположно скорости.

В рассматриваемом примере наличие трения эквивалентно дополнительному силовому полю, которое как бы уменьшает направленную вдоль склона составляющую потенциальной силы тяжести. Поэтому при той же начальной скорости автомобиль поднимается по склону на большую высоту, чем в отсутствие трения, а соскользнув назад к подножию,

приобретает ту же скорость, что и перед подъемом. Это, конечно, не означает, что система консервативна и в ней не происходит диссипации механической энергии, т. е. превращения ее в теплоту: пробуксовывающие колеса и поверхность дороги нагреваются. Восполнение потерь механической энергии обеспечивает работающий двигатель.

Отметим, что в этой и в предыдущей задачах закон сохранения импульса не используется. В этих случаях он был бесполезен потому, что во взаимодействии с рассматриваемыми телами участвовало «большое тело» — Земля, которое считалось неподвижным. Изменением кинетической энергии Земли можно было пренебречь из-за ее огромной массы. В то же время участие Земли в рассматриваемых процессах автоматически обеспечивало выполнение закона сохранения импульса для всей системы. Сказанное справедливо в тех случаях, когда используется система отсчета, где Земля неподвижна. Ниже мы подробнее остановимся на вопросе о том, как быть, когда в выбранной системе отсчета Земля движется.

Удачный выбор используемой инерциальной системы отсчета, как и при решении задач кинематики и динамики, может существенно облегчить составление уравнений при использовании законов сохранения. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

4. Сквозь движущуюся доску. Пуля массы летящая горизонтально со скоростью пробивает насквозь доску толщины которую перемещают с постоянной скоростью и навстречу пуле. При движении внутри доски пуля испытывает действие постоянной силы сопротивления . С какой скоростью пуля вылетит из доски?

Решение. Очевидно, что о законе сохранения импульса при решении данной задачи говорить не приходится, ибо по условию доска движется с заданной постоянной скоростью, несмотря на то, что на нее действует сила со стороны пробивающей ее пули. При составлении уравнения баланса энергии следует учитывать только кинетическую энергию пули, ибо потенциальная энергия в поле тяжести при горизонтальном полете неизменна.

Рис. 124. Пуля пробивает доску, движущуюся навстречу

Изменение кинетической энергии пули при пробивании доски равно работе силы сопротивления

где — модуль перемещения пули в лабораторной инерциальной системе отсчета за то время, пока пуля движется внутри доски и на нее действует сила сопротивления Очевидно, что меньше, чем толщина доски поскольку доска движется навстречу пуле. Техническое усложнение при решении этой задачи в лабораторной системе отсчета возникает из-за необходимости определить значение .

При действии постоянной силы пуля движется внутри доски с постоянным ускорением. Поэтому средняя скорость пули в доске равна а время движения — Доска за это время проходит

расстояние двигаясь с постоянной скоростью . Поэтому справедливо равенство

откуда

Подставляя это значение в уравнение (12), приходим к квадратному уравнению для искомой скорости

Отсюда находим

причем физический смысл имеет только корень

В другой системе отсчета. Решение этой задачи значительно упрощается, если перейти в другую инерциальную систему отсчета, в которой доска неподвижна. В этой системе отсчета скорость пули до встречи с доской равна и. Путь, проходимый пулей в доске, равен ее толщине так как доска неподвижна. Обозначив скорость пули на выходе из доски через запишем уравнение баланса энергии в этой системе отсчета:

Отсюда

Для скорости вылетевшей пули в лабораторной системе отсчета, равной , получаем, разумеется, прежнее значение (13).

Обратим внимание на то, что подкоренное выражение в (13) или (15) положительно при условии, что пуля действительно пробивает доску насквозь. Использование удачно выбранной системы отсчета не только упрощает математические выкладки, но и облегчает отбор решений, имеющих физический смысл. Действительно, при переходе от (14) к (15) нам не придет в голову рассматривать отрицательное значение квадратного корня (что соответствовало бы движению пули не от пробитой ею доски, а наоборот, к доске), в то время как при отборе имеющего физический смысл корня (13) квадратного уравнения такой вопрос неизбежно возникает.

5. Парадокс кинетической энергии. Два автомобиля движутся по шоссе с одинаковой скоростью . В некоторый момент один из автомобилей начинает разгон и приобретает скорость относительно второго автомобиля в то время как второй автомобиль продолжает двигаться с прежней скоростью относительно Земли. Для наблюдателя, находящегося

в автомобиле В, увеличение кинетической энергии автомобиля А равно где масса автомобиля. Для наблюдателя, стоящего на земле, кинетическая энергия автомобиля А за время разгона увеличивается от до так что ее приращение составляет Между тем в обеих системах отсчета увеличение кинетической энергии произошло за счет сгорания одного и того же количества бензина. Как объяснить этот парадокс?

Решение. Парадокс возникает только в том случае, когда мы пытаемся связать увеличение кинетической энергии автомобиля с энергетическими затратами, т. е. с расходом топлива. Действительно, увеличение кинетической энергии зависит от выбора системы отсчета, а расход топлива — нет. Если рассматривать происходящий процесс в рамках теоремы о кинетической энергии, согласно которой ее изменение равно совершенной над системой работе, то никакого парадокса нет. В самом деле, предположим для простоты, что разгон происходит с постоянным ускорением а. Тогда в системе отсчета, связанной с Землей, перемещение автомобиля за время разгона есть

а совершаемая разгоняющей автомобиль силой работа равна

В системе отсчета, связанной с автомобилем В, сила очевидно, имеет то же самое значение, а перемещение автомобиля А уже иное:

и соответственно работа

Итак, мы видим, что в каждой системе отсчета изменение кинетической энергии равно совершенной работе, хотя сами значения этих величин зависят от выбора системы отсчета.

Почему же при одинаковом расходе топлива совершается разная работа? Подобный парадокс возникает потому, что в приведенных рассуждениях не учитывалась кинетическая энергия Земли и ее изменение при взаимодействии колес разгоняющегося автомобиля с дорогой. Если это изменение учесть аккуратно, то никакого парадокса вообще не возникает и закон сохранения энергии, разумеется, оказывается выполненным.

Выберем сначала систему отсчета, в которой Земля неподвижна, и рассмотрим физическую систему, состоящую из Земли массы М (со всеми находящимися на ней предметами, включая автомобиль В) и разгоняющегося автомобиля А. В этой системе отсчета полный импульс рассматриваемой системы равен Импульс автомобиля В, как и импульсы всех остальных движущихся по Земле автомобилей, поездов и т. д., считаем включенными в импульс Земли, который до разгона автомобиля А равен нулю.

После разгона Земля, испытывая отдачу, приобретает некоторую скорость, проекцию которой на направление движения автомобиля обозначим Скорость автомобиля А в этой системе отсчета после разгона будет Убедиться в этом можно следующим образом. По условию задачи А разгоняется до скорости относительно В, а скорость В относительно Земли не изменилась, т. е. в выбранной системе отсчета стала равной Поэтому скорость автомобиля А, которая еще на больше, равна

По закону сохранения импульса

откуда

Изменение энергии всей рассматриваемой системы

Подставляя в из (16), находим

В другой системе отсчета. Рассмотрим теперь те же процессы в системе отсчета, где вначале автомобили неподвижны. В ней проекция скорости Земли сначала равна а потому полный импульс системы есть После разгона автомобиля А скорость Земли изменится на и станет равной Скорость автомобиля А в этой системе отсчета после разгона равна По закону сохранения импульса

Отсюда для получается то же значение (16), что и для изменение скоростей, разумеется, одинаково в любой системе отсчета. Изменение энергии теперь запишется в виде

Подставляя сюда ), получаем

Видно, что изменение механической энергии всей рассматриваемой системы получается одинаковым независимо от выбора системы отсчета. Таким образом, затраты топлива приводят к увеличению механической энергии всей системы на величину, даваемую формулой (18). В разных системах отсчета эта энергия по-разному распределяется между Землей и разгоняющимся автомобилем. Она почти целиком передается автомобилю в системе отсчета, где Земля неподвижна. Поскольку то в этой системе отсчета автомобиль получает энергию что совпадает с приведенным в условии задачи значением, которое сразу получается при пренебрежении отдачей

Земли. В этой системе отсчета действительно можно пренебрегать отдачей Земли, а в других системах отсчета — нельзя, несмотря на то, что изменение скорости Земли всюду одинаково и ничтожно мало, как это видно из (16). Мы еще вернемся к этому парадоксу «большого тела» в связи с задачами космической динамики.

• Почему при решении задачи о падении груза на подвешенный к пружине диск нельзя применить закон сохранения механической энергии ко всему процессу в целом?

• Объясните, каким образом потенциальную энергию груза в поле тяжести можно включить в упругую потенциальную энергию пружины, к которой он подвешен, и не учитывать ее явно в уравнении баланса энергии.

• Объясните подробно, почему в задачах 2 и 3 можно пренебречь изменением кинетической энергии Земли при составлении уравнения баланса энергии и в то же время утверждать, что учет изменения импульса Земли обеспечивает выполнение закона сохранения импульса всей системы.

• Какую роль играют закон сохранения энергии и второй закон Ньютона при решении задачи 2?

• Докажите, что подкоренное выражение в формулах (13) или (15) задачи 4 положительно, если пуля пробивает доску насквозь.

• При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой изменяется не только значение кинетической энергии тела, но и ее изменение в каком-либо процессе. Почему же при таком переходе остается справедливым уравнение, выражающее закон сохранения энергии?