§ 7. Скорость

Средняя скорость частицы характеризует быстроту ее движения за конечный промежуток времени. Неограниченно уменьшая этот промежуток, мы придем к физической величине, характеризующей быстроту движения в данный момент времени. Такая величина называется мгновенной скоростью или просто скоростью:

Рис. 14. Вектор скорости в точке А направлен по касательной к траектории

Символ обозначает математическую операцию перехода к пределу. Под этим символом записывается условие, при котором выполняется данный предельный переход; в рассматриваемом случае это стремление к нулю промежутка времени

При вычислении скорости по этому правилу мы убедимся, что уменьшение промежутка времени приводит к тому, что на некотором этапе получаемые очередные значения средней скорости будут все меньше и меньше отличаться друг от друга. Поэтому на практике при нахождении скорости можно остановиться на конечном значении достаточно малом для получения требуемой точности значения скорости.

Вектор скорости и траектория. Рассматриваемый предельный переход имеет ясный геометрический смысл. Поскольку вектор

перемещения направлен по хорде, соединяющей две точки траектории, то при сближении этих точек, происходящем при он принимает положение, соответствующее касательной к траектории в данной точке. Это значит, что вектор скорости направлен по касательной к траектории. Так будет в любой точке траектории (рис. 14). При прямолинейной траектории движения вектор скорости направлен вдоль этой прямой.

Скорость прохождения пути. Аналогичным переходом определяется мгновенная скорость прохождения пути:

Для плавной кривой, каковой является траектория любого непрерывного механического движения, длина дуги тем меньше отличается от длины стягивающей ее хорды, чем короче эта дуга. В пределе эти длины совпадают. Поэтому при можно считать, что Это означает, что скорость прохождения пути равна модулю мгновенной скорости Движение, при котором модуль скорости остается неизменным, называется равномерным. В случае прямолинейной траектории при равномерном движении вектор скорости постоянен, а в случае криволинейной траектории изменяется только его направление.

Сложение скоростей. Если тело одновременно участвует в нескольких движениях, то его скорость равна векторной сумме скоростей каждого из этих движений. Это непосредственно следует из правила сложения перемещений: так как то после деления на получаем

Иногда бывает удобно представить некоторое сложное движение как суперпозицию, т. е. наложение двух простых движений. В этом случае равенство (3) можно трактовать как правило разложения вектора скорости на составляющие.

Задачи

1. Переправа через реку. Скорость течения в реке с параллельными берегами всюду одинакова и равна Ширина реки I (рис. 15). Катер может плыть со скоростью относительно воды. На какое расстояние снесет катер вниз по течению реки, если при переправе нос катера направить строго поперек берегов?

Решение. Катер участвует одновременно в двух движениях: со скоростью направленной поперек течения, и вместе с водой со скоростью которая направлена параллельно берегу. В соответствии с правилом сложения скоростей (3) полная скорость катера относительно берегов равна

векторной сумме Очевидно, что движение катера происходит по прямой направленной вдоль вектора

Рис. 15. Переправа через реку, скорость течения которой всюду равна

Рис. 16. Сложение скоростей при переправе через реку

Искомое расстояние на которое снесет катер при переправе, можно найти из подобия треугольника треугольнику, образованному векторами скоростей:

откуда

Эту задачу легко решить и не прибегая к сложению векторов скоростей. Очевидно, что расстояние равно произведению скорости течения на время в течение которого катер пересекает реку: Это время можно найти, разделив ширину реки I на скорость движения катера поперек реки: Таким образом, находим

В этой простой задаче второй способ решения предпочтительнее, так как он проще. Однако уже при небольшом усложнении условия задачи становятся отчетливо видны преимущества первого способа, основанного на сложении векторов скоростей.

Рис. 17. Сложение скоростей при переправе поперек реки

2. Переправа поперек реки. Предположим, что теперь нам нужно переправиться на катере через ту же реку точно поперек, т. е. попасть в точку В, лежащую напротив начальной точки А (рис. 17). Как нужно направить нос катера при переправе? Сколько времени займет такая переправа?

Решение. В рассматриваемом случае полная скорость катера относительно берегов, равная векторной сумме скоростей и должна быть

направлена поперек реки. Из рис. 17 сразу видно, что вектор вдоль которого и смотрит нос катера, должен отклоняться на некоторый угол а вверх по течению реки от направления Синус этого угла равен отношению модулей скоростей течения и катера относительно воды:

Переправа поперек реки без сноса возможна только в том случае, когда скорость катера относительно воды больше скорости течения Это сразу видно либо из треугольника скоростей на рис. 17 (гипотенуза всегда больше катета), либо из формулы (4) (синус угла а должен быть меньше единицы).

Время переправы найдем, разделив ширину реки на полную скорость катера Для по теореме Пифагора имеем Таким образом,

3. Снос при быстром течении. Предположим теперь, что скорость катера относительно воды меньше скорости течения: . В таком случае переправа без сноса невозможна. Как следует направить нос катера при переправе, чтобы снос получился минимальным? На какое расстояние при этом снесет катер?

Решение. Полная скорость катера относительно берегов во всех рассматриваемых случаях дается формулой (3).

Рис. 18. Сложение скоростей при переправе с минимальным сносом

Рис. 19. Определение курса катера (направление вектора для переправы с минимальным сносом

Однако теперь нагляднее выполнить сложение векторов по правилу треугольника (рис. 18): первым изображаем вектор для которого мы знаем и модуль и направление, а затем к его концу пристраиваем начало вектора для которого известен только модуль, а направление еще предстоит выбрать. Этот выбор нужно сделать так, чтобы вектор результирующей скорости как можно меньше отклонялся от направления поперек реки.

Конец вектора при любом его направлении должен лежать на окружности радиуса центр которой совпадает с концом вектора Эта окружность показана на рис. 18. Так как по условию задачи то точка А,

соответствующая началу вектора лежит вне этой окружности. Из рисунка видно, что вектор образует с прямой наименьший угол тогда, когда он направлен по касательной к окружности. Следовательно, вектор перпендикулярен вектору а треугольник скоростей — прямоугольный.

Таким образом, для переправы с минимальным сносом нос катера следует направлять вверх по течению под углом а к линии (рис. 19). Синус этого угла дается выражением

Траектория катера направлена вдоль вектора т. е. она перпендикулярна направлению, в котором смотрит нос катера. Это значит, что по своей траектории катер движется боком. На другом берегу реки катер причалит в точке С, расстояние до которой можно найти из подобия треугольников:

Модуль скорости находится по теореме Пифагора: В результате получаем

4. Лодка на тросе. Лодку подтягивают к берегу за привязанный к ее носу трос, наматывая его на равномерно вращающийся барабан (рис. 20).

Рис. 20. Подтягивание к берегу с помощью троса

Барабан установлен на высоком берегу. С какой скоростью движется лодка в тот момент, когда трос образует угол а с горизонтом? Трос выбирается барабаном со скоростью

Решение. Точка А троса, где он привязан к. лодке, движется с той же скоростью, что и лодка. Эта скорость направлена горизонтально. Чтобы связать ее со скоростью выбирания троса, нужно сообразить, что движение троса сводится к повороту вокруг точки В, где он касается барабана, и скольжению вдоль собственного направления, т. е. прямой Поэтому естественно разложить скорость точки А на две составляющие направленные вдоль и поперек троса (рис. 21): . Скорость направ

соответстленная поперек, связана с поворотом троса. Модуль скорости V,, направленной вдоль троса, — это и есть данное в условии задачи значение скорости выбирания троса.

Рис. 21. Разложение скоростей точки А на составляющие

Из рисунка видно, что откуда

По мере приближения лодки к берегу угол а становится больше. Это значит, что а убывает и искомая скорость возрастает.

Задача для самостоятельного решения

Человек находится в поле на расстоянии от прямолинейного участка шоссе. Слева от себя он замечает движущийся по шоссе автомобиль. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы выбежать на дорогу впереди автомобиля и как можно дальше от него? Скорость автомобиля и, скорость человека v.

• Объясните, почему вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории.

• В некоторых случаях траектория движения частицы может иметь изломы. Приведите примеры таких движений. Что можно сказать о направлении скорости в точках, где траектория имеет излом?

• В случае непрерывного механического движения вектор скорости не испытывает скачков ни по модулю, ни по направлению. Появление скачков скорости всегда связано с некоторой идеализацией реального процесса.

Какие идеализации присутствовали в приведенных вами примерах траекторий с изломами?

• Найдите ошибку в приводимом ниже решении задачи 4. Разложим скорость точки А троса на вертикальную и горизонтальную составляющие (рис. 22). Горизонтальная составляющая — это и есть искомая скорость лодки. Поэтому а (неверно!).

Рис. 22. Разложение скорости троса на горизонтальную и вертикальную составляющие

Скорость как производная. Вернемся к выражению (1) для мгновенной скорости. При движении частицы ее радиус-вектор изменяется, т. е. является некоторой функцией времени: Перемещение за промежуток времени представляет собой разность радиусов-векторов в моменты времени

Поэтому формулу (1) можно переписать в виде

В математике такую величину называют производной от функции по времени Для нее используют следующие обозначения:

Последнее обозначение (точка над буквой) характерно именно для производной по времени. Отметим, что в данном случае производная представляет собой вектор, так как получается в результате дифференцирования векторной функции по скалярному аргументу.

Для модуля мгновенной скорости в соответствии с (2) справедливо выражение