§ 40. Движение твердого тела

В твердом теле расстояния между любыми точками по определению неизменны. Твердое тело имеет шесть степеней свободы: для задания его положения нужно указать, например, три координаты какой-либо его точки и три угла, характеризующие его ориентацию в пространстве.

Поступательное движение. Движение тела, при котором его ориентация остается неизменной, называется поступательным. При

поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым параллельным траекториям с одинаковыми скоростями (рис. 150), поэтому все тело можно рассматривать как одну материальную точку.

Рис. 150. При поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым параллельным траекториям с одинаковыми скоростями

Рис. 151. Скорость точек твердого тела при вращении вокруг фиксированной оси

Другие важные виды движения твердого тела — вращение вокруг фиксированной оси, плоское движение, вращение вокруг неподвижной точки.

Вращение вокруг оси. При вращении вокруг фиксированной оси (рис. 151) все точки тела движутся по окружности, причем скорость любой из них равна векторному произведению одной и той же для всего тела угловой скорости направленной вдоль оси вращения, и радиуса-вектора рассматриваемой точки тела:

Модуль скорости где — расстояние до оси вращения (рис. 151). Такому движению соответствует одна степень свободы.

Плоское движение. Частный случай плоского движения — качение цилиндра (рис. 152). Его можно представить как сумму вращения вокруг какой-либо оси, параллельной образующей цилиндра, и поступательного движения со скоростью, равной скорости точек цилиндра, лежащих на этой оси. При любом выборе оси угловая скорость одна и та же. В качестве оси вращения удобно выбирать либо ось О цилиндра, либо линию О касания цилиндра с поверхностью, по которой он катится. Если качение происходит без проскальзывания, то скорости точек на линии касания равны нулю, а скорость любой другой точки цилиндра будет такой же, как при вращении с той же угловой скоростью вокруг неподвижной оси, проходящей через линию касания О (мгновенная ось вращения).

Распределение скоростей точек, лежащих на вертикальном диаметре, показано на рис. 152а. Например, скорость точки А равна так как она находится на расстоянии от мгновенной оси О.

Рис. 152. Скорости точек при качении цилинра

Ее можно представить как сумму скорости оси О цилиндра и скорости обусловленной вращением вокруг оси цилиндра (рис. 1526):

так как при качении без проскальзывания Точки оси цилиндра движутся прямолинейно; точки поверхности цилиндра — по циклоидам; точки, находящиеся между осью и поверхностью, — по трохоидам.

Вращение вокруг точки. Пример вращения вокруг неподвижной точки — качение без проскальзывания конуса В по поверхности неподвижного конуса А, имеющего с ним общую вершину О (рис. 153). Такое движение можно представить либо как чистое вращение конуса В с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей по линии касания, либо как сумму двух вращений: с угловой скоростью вокруг собственной оси и с угловой скоростью вокруг оси неподвижного конуса А:

Это значит, что скорость любой точки катящегося конуса определяется по формуле (1), в которую можно подставить (о из (2). Точки оси подвижного конуса движутся по окружностям, а не лежащие на оси точки описывают сложные волнообразные траектории.

Рис. 153. Качение конуса В по поверхности конуса А

Момент импульса. В динамике твердого тела наряду с импульсом важную роль играет физическая величина, называемая моментом импульса. Для материальной точки момент импульса определяется как векторное произведение радиуса-вектора частицы на ее импульс

Из этого определения и второго закона Ньютона следует, что закон изменения момента импульса частицы имеет вид

где М — момент суммы всех действующих сил

Динамика твердого тела. Основные положения динамики абсолютно твердого тела приводятся ниже без доказательства. Основу динамики твердого тела составляют законы изменения импульса Р и момента импульса тела, рассматриваемого как система материальных точек:

Импульс и момент импульса тела складываются из импульсов и моментов импульса отдельных материальных точек, на которые можно мысленно разбить твердое тело. Шесть независимых уравнений (6) и (7) соответствуют шести степеням свободы твердого тела.

Если все внешние силы известны, то уравнение (6) позволяет найти закон движения центра масс тела, закон вращения тела вокруг центра масс.

Вращение твердого тела вокруг фиксированной оси, как уже отмечалось, характеризуется одной степенью свободы. В этом случае проекция уравнения момента импульса (7) на направление оси вращения не содержит неизвестных сил реакции в подшипниках, что позволяет найти угловое ускорение тела

Момент инерции. Проекцию момента импульса на ось вращения, как следует из (3), можно представить в виде где — момент инерции тела относительно оси, складывающийся из моментов инерции отдельных его элементов, равных произведению массы элемента на квадрат расстояния до оси:

Рис. 154. Моменты инерции различных тел

Момент инерции зависит не только от массы тела, но и от ее распределения (рис. 154). Момент инерции обруча или тонкостенной трубы относительно ее оси равен

так как все элементы находятся на одинаковом расстоянии от оси. Момент инерции сплошного однородного диска или цилиндра равен

однородного шара

однородного стержня длины относительно перпендикулярной стержню оси, проходящей через его середину,

Момент инерции относительно проходящей через центр масс оси связан с моментом инерции относительно другой параллельной оси, отстоящей на расстояние (рис. 155), соотношением

Поясним применение уравнения моментов (7) на следующем простом примере. На массивный барабан радиуса который может вращаться вокруг горизонтальной оси О, намотана невесомая нить (рис. 156). К нити приложена сила Момент импульса барабана относительно оси О равен Момент силы относительно оси О равен Проекция уравнения моментов (7) на ось О принимает вид

Угловое ускорение барабана пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции I.

Рис. 155. Моменты инерции относительно параллельных осей

Рис. 156. Раскручивание массивного барабана

Силу реакции подшипников, действующую на ось барабана, можно найти из (6), учитывая, что ускорение центра масс равно нулю:

Кинетическая энергия. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси, может быть представлена в виде

При плоском движении кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс, и кинетической энергии поступательного движения со скоростью V центра масс:

где — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. При качении без проскальзывания обруча или тонкостенной трубы кинетическая энергия делится поровну между энергией вращения и энергией поступательного движения, а при качении сплошного однородного цилиндра — в отношении

Гироскоп. Симметричное тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии, называется гироскопом. Момент импульса такого тела направлен вдоль оси вращения. В отсутствие моментов внешних сил ось гироскопа сохраняет свое направление в инерциальной системе отсчета. На этом свойстве основано действие приборов, используемых в инерциальных системах навигации. Изменение направления оси гироскопа происходит под действием моментов внешних сил. При не слишком больших моментах сил ось поворачивается медленно, и с хорошей точностью можно считать, что момент импульса

и в этом случае направлен вдоль оси, Это значит, что поведение оси гироскопа, как и поведение вектора описывается уравнением момента импульса (7).

Рис. 157. Прецессия гироскопа

Необычное поведение волчка, не соответствующее интуитивным ожиданиям, объясняется тем, что согласно (7) попытка повернуть ось волчка вызывает движение оси не в направлении приложенной силы, а в перпендикулярном направлении — вдоль вектора момента силы. Так, например, наклоненный вращающийся волчок не опрокидывается под действием силы тяжести, так как она вынуждает его ось медленно двигаться по конусу, сохраняя неизменный наклон.

Покажем это. Пусть ось вращающегося тяжелого волчка отклонена от вертикали (рис. 157). Момент силы тяжести направлен перпендикулярно вертикальной плоскости, проходящей через ось волчка. В соответствии с уравнением момента импульса (7) в этом же направлении получает приращение вектор момента импульса волчка:

В результате вектор (и вместе с ним ось волчка) совершает прецессию, т. е. описывает конус, как показано на рис. 157. Момент силы тяжести, опрокидывающей волчок, заставляет его ось поворачиваться в перпендикулярном направлении.

• Как можно задать положение твердого тела в пространстве? Покажите, что твердое тело в общем случае имеет шесть степеней свободы.

• Что такое мгновенная ось вращения и чем она замечательна? Покажите на примерах, что положение мгновенной оси вращения изменяется как в пространстве, так и относительно самого твердого тела.

• Покажите, дифференцируя выражение (3) по времени, что закон изменения момента импульса (4) следует из второго закона Ньютона.

• Покажите, основываясь на определении (3), что при вращении твердого тела вокруг фиксированной оси можно представить проекцию момента импульса на ось вращения в виде где момент инерции I определяется соотношением (8).

• Докажите формулу (11) для кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси.

• Объясните, почему волчок под действием опрокидывающей его силы не опрокидывается, а совершает прецессию.