§ 4. Радиус-вектор. Перемещение

В выбранной системе отсчета положение материальной точки, которую для краткости будем называть частицей, можно задать направленным отрезком, проведенным из начала отсчета в ту точку пространства, где находится частица. Такой направленный отрезок называется радиусом-вектором частицы. Начало отсчета — это некоторая фиксированная точка тела отсчета, выбор которой произволен и определяется исключительно из соображений удобства (рис. 4).

Траектория. При движении частицы, т. е. при изменении ее положения, конец радиуса-вектора перемещается в пространстве вместе с частицей. Вычерчиваемая им при этом воображаемая линия называется траекторией частицы. В некоторых случаях траекторию движения можно наблюдать непосредственно: в голубом небе часто отчетливо виден белый инверсионный след реактивного самолета; быстро мчащийся катер оставляет пенистый след на поверхности воды; заряженная частица оставляет за собой цепочку капелек тумана в камере Вильсона (рис. 5).

Рис. 4. Начало отсчета (точка О) и радиус-вектор материальной точки

Рис. 5. Треки частиц в камере Вильсона

Отметим, что в выбранной системе отсчета радиус-вектор движущейся частицы изменится, если изменить начало отсчета. Однако траектория частицы, т. е. вычерчиваемая ею воображаемая линия, при этом не изменится.

Пусть в некоторый момент времени положение частицы задается радиусом-вектором а в более поздний момент

радиусом-вектором (рис. 6). Направленный отрезок, проведенный из конца радиуса-вектора в конец радиуса-вектора называется перемещением частицы за промежуток времени

В еще более поздний момент времени положение частицы определяется радиусом-вектором

Рис. 6. Перемещение частицы за промежуток времени

Рис. 7. Перемещение частицы за промежутки времени

В соответствии с введенным определением перемещением частицы за промежуток времени будет направленный отрезок, проведенный из конца радиуса-вектора в конец радиуса-вектора Аналогично, перемещением за весь промежуток времени будет направленный отрезок, проведенный из конца в конец (рис. 7).

Сложение векторов. Как связаны между собой перемещения частицы за указанные промежутки времени? Будем говорить, что перемещение за весь промежуток времени равно сумме перемещений на составляющих его промежутках

Рис. 8. Правило сложения перемещений (а). Сложение векторов по правилу параллелограмма (б)

Из рис. 7 видно, что соответствующие направленные отрезки образуют треугольник. Этот треугольник показан отдельно на рис. 8. Он иллюстрирует правило сложения перемещений. В математике по такому закону складываются величины, называемые векторами. Вектор характеризуется своим модулем, равным длине соответствующего направленного отрезка, и направлением в пространстве.

Сложение векторов можно выполнять как по правилу треугольника (рис. 8а), когда начало второго вектора примыкает к концу первого, а сумма замыкает образуемый ими треугольник, так и по правилу параллелограмма (рис. 86), построенного на складываемых векторах. В этом случае сумма изображается диагональю параллелограмма. Для выполнения сложения по правилу параллелограмма второй из складываемых векторов нужно изобразить выходящим из той же точки, что и первый, сохранив его модуль и направление. Правило треугольника особенно удобно применять, когда приходится последовательно складывать большое число векторов. В этом случае достаточно лишь соединить начало первого из складываемых векторов с концом последнего (рис. 9).

Рис. 9. Сложение большого числа векторов

Итак, перемещение — это вектор: два последовательных перемещения частицы эквивалентны одному перемещению, равному их векторной сумме. Рассчитать модуль и направление результирующего перемещения можно по известным правилам геометрии. Векторы обозначаются стрелкой над соответствующей буквой либо набираются жирным шрифтом. Модуль вектора обозначается той же буквой без стрелки либо тонким (обычным) шрифтом.

• Вы делаете три шага на север, а затем четыре шага на восток. Чему равен модуль результирующего перемещения, т. е. сумма этих семи шагов?

• Докажите, что модуль суммы двух перемещений не превосходит суммы модулей составляющих перемещений. В каком случае модуль суммы равен сумме модулей слагаемых перемещений?

• Как найти сумму трех последовательных перемещений? Обобщите сложение векторов по правилу треугольника на случай нескольких перемещений.

• Докажите, что результат сложения перемещений не зависит от последовательности, в которой происходят эти перемещения.