§ 49. Движение идеальной жидкости

Не оказывая сопротивления изменению формы, жидкости и газы, тем не менее, сопротивляются изменению объема. Газы обладают способностью к неограниченному расширению, т. е. заполняют полностью предоставленный им объем. Напротив, для жидкости характерен определенный собственный обьем, который лишь незначительно меняется при изменении внешнего давления. Во многих случаях изменение объема жидкости бывает столь малым, что им можно полностью пренебречь и рассматривать жидкость как несжимаемую, т. е. имеющую постоянную плотность. Такая жидкость называется абсолютно несжимаемой.

Несжимаемая жидкость. Как и в случае абсолютно твердого тела, применимость представления об абсолютно несжимаемой жидкости определяется не столько свойствами самой жидкости, сколько условиями, в которых она находится. Например, при изучении распространения звуковых волн в жидкости всегда необходимо учитывать ее сжимаемость, в то время как при изучении движения потоков не только жидкость, но и газ часто можно рассматривать как несжимаемые.

Линии тока. При кинематическом описании движения жидкости или газа можно поступать следующим образом. Будем следить за определенной точкой пространства и фиксировать величину и направление скоростей различных «частиц» жидкости, которые в разные моменты времени проходят через эту точку. Если проделать это для всех точек пространства и указать скорости частиц жидкости во всех точках в определенный момент времени, то получится мгновенная картина распределения скоростей в движущейся жидкости — так называемое поле скоростей. Линии, касательные к которым во всех точках совпадают с направлениями скоростей жидкости в этих точках, называются линиями тока (рис. 216).

Рис. 216. Линии тока и скорости частиц движущейся жидкости

При стационарном течении жидкости поле скоростей, а следовательно, и линии тока не меняются со временем. В этом случае

линии тока совпадают с траекториями отдельных частиц жидкости, так как каждая частица жидкости приходит в данную точку с той же самой скоростью.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока (рис. 217).

Рис. 217. Трубка тока движущейся жидкости

Такая мысленно выделенная в потоке часть жидкости — трубка тока, подобно жидкости в настоящей трубе, движется, нигде не пересекая боковой поверхности трубки. При стационарном течении количество жидкости, пересекающей в единицу времени сечение т. е. «втекающей» в выделенную часть трубки, равно количеству жидкости, «вытекающей» через сечение

Уравнение неразрывности. Если выбрать трубку тока с поперечным сечением настолько малым, чтобы скорости жидкости во всех точках сечения были одинаковыми, причем это сечение ориентировано перпендикулярно линиям тока, то масса жидкости протекающей через это сечение за время будет равна

В стационарном потоке масса одна и та же для любого поперечного сечения выбранной трубки тока, поэтому согласно (1)

Если жидкость можно рассматривать как несжимаемую, то и условие (2) принимает вид

Это соотношение называется уравнением неразрывности. Полученный результат (3) справедлив для выбранной трубки тока. При изучении движения потоков жидкости на такие трубки можно разбить все пространство, занимаемое жидкостью.

Идеальная жидкость. Динамика движения реальной жидкости очень сложна. Для упрощения ее описания в некоторых случаях можно пренебречь силами внутреннего трения. Такую жидкость называют идеальной. При движении идеальной жидкости не происходит превращения механической энергии во внутреннюю, т. е. механическая энергия жидкости сохраняется. Закон сохранения

механической энергии для идеальной несжимаемой жидкости выражается уравнением Бернулли. Выведем это уравнение.

Уравнение Бернулли. Рассмотрим часть жидкости, заключенную между сечениями некоторой трубки тока, расположенными на высотах А, и соответственно (рис. 218).

Рис. 218. К выводу уравнения Бернулли

За промежуток времени I эта жидкость смещается вдоль трубки тока и занимает новое положение между селениями и

Для малого промежутка времени можно пренебречь различием между площадями и старых и новых сечений и различием в их высотах. Подсчитаем работу, совершаемую внешними силами над выделенной жидкостью за время Силы давления, действующие на боковую поверхность трубки тока, работы не совершают, так как действуют перпендикуларно перемещению. Работа силы давления в сечении равна работа в сечении равна так что полная работа внешних сил

В силу стационарности движения энергия жидкости между сечениями не меняется. Эта часть жидкости показана на рис. 218 двойной штриховкой. Поэтому изменение энергии рассматриваемой жидкости равно энергии части жидкости между сечениями минус энергия части жидкости между сечениями и Потенциальная энергия части жидкости между равна ее кинетическая энергия равна Аналогично записываются выражения для энергии жидкости между сечениями Поэтому изменение энергии всей выделенной части жидкости в рассматриваемой трубке тока за время равно

На основании закона сохранения механической энергии работа внешних сил (4) равна изменению энергии системы (5). Учитывая

уравнение неразрывности (3), получаем

Это и есть уравнение Бернулли. Оно было выведено для достаточно узкой трубки тока и, строго говоря, справедливо, когда эта трубка тока сжимается в линию тока. Поэтому сумма остается неизменной вдоль одной и той же линии тока.

Давление в потоке. В неподвижной жидкости в состоянии равновесия согласно закону Паскаля давление не зависит от ориентации площадки. А как обстоит дело в движущейся жидкости? Уравнение Бернулли дает возможность ответить на этот вопрос в случае стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости. Оказывается, что измеряемое неподвижным манометром давление зависит от ориентации площадки в потоке.

Представим себе манометр в виде изогнутой трубки, передняя часть которой, обращенная навстречу потоку, запаяна, а в боковой стенке имеется параллельное скорости обтекающей жидкости отверстие (рис. 219): Такая трубка искажает поток только вблизи ее переднего конца, а вблизи отверстия поток практически не меняется.

Рис. 219. Манометрическая трубка в потоке

Рис. 220. Манометрическая трубка с открытым концом

Поэтому давление здесь такое же, как и во всех других точках линии тока, проходящей вблизи отверстия. Соединенный с такой трубкой манометр измеряет давление жидкости входящее в уравнение Бернулли. Такое же давление покажет произвольно ориентированный манометр, движущийся вместе с потоком.

Если же взять трубку с открытым передним концом, обращенным навстречу потоку жидкости (рис. 220), то показание соединенного с ней манометра будет больше Поясним это. Линии тока вблизи такой трубки показаны на рис. 220. Так как жидкость внутри трубки неподвижна, то скорость жидкости в точке А обращается в нуль. Обозначим давление в этой точке через а давление и

скорость в потоке вдали от трубки — через и Применяя к выделенной линии тока уравнение Бернулли, получаем

Именно это давление и показывает соединенный с трубкой манометр. По измерениям значений т. е. располагая трубками обоих типов, можно рассчитать скорость потока

Медицинский шприц. С помощью уравнения Бернулли легко оценить скорость истечения жидкости из шприца. Будем считать жидкость идеальной. Пусть на поршень шприца, который имеет площадь , действует внешняя сила (рис. 221) и струя жидкости вытекает из иглы с отверстием, имеющим площадь Рассмотрим линию тока, проходящую вдоль оси симметрии шприца, и применим к ней уравнение Бернулли. Обозначая скорость поршня и, следовательно, жидкости вблизи него через имеем

Рис. 221. К расчету скорости истечения жидкости из иглы шприца

Из уравнения неразрывности (3) вытекает, что Выражая отсюда и подставляя в (8), получаем

Обычно площадь отверстия иглы во много раз меньше площади поршня шприца: Тогда, пренебрегая квадратом отношения по сравнению с единицей, находим скорость истечения

Формула Торричелли. Как вытекает налитая в широкий сосуд жидкость из небольшого отверстия в дне или боковой стенке под действием силы тяжести (рис. Скорость истечения идеальной несжимаемой жидкости легко найти с помощью уравнения Бернулли.

Рассмотрим линию тока, начинающуюся вблизи свободной поверхности жидкости и проходящую вдоль оси отверстия. Поскольку скорость жидкости вблизи поверхности в широком сосуде

Рис. 222. К расчету скорости истечения жидкости из отверстия

пренебрежимо мала, то уравнение Бернулли имеет вид

откуда

Таким образом, скорость истечения идеальной жидкости из отверстия в сосуде такая же, как и при свободном падении с высоты h.

Этот факт был впервые установлен Торричелли.

• Какое предположение лежит в основе модели идеальной жидкости? Зависит ли применимость этой модели только от свойств самой жидкости?

• Почему модель несжимаемой жидкости применима в некоторых случаях и для описания движения газов?

• Объясните физическую причину различия в показаниях манометра при разных ориентациях его чувствительного элемента в потоке жидкости. Зависят ли от ориентации показания манометра, движущегося вместе с жидкостью?

• Получите выражение для скорости истечения жидкости из иглы шприца непосредственно с помощью закона сохранения энергии, не используя уравнения Бернулли.

• Почему иногда из отверстия прохудившегоса шланга вода не вытекает, а наоборот, в отверстие засасывается воздух?

Форма струи. Более сложным является вопрос о форме струи вытекающей жидкости. Оказывается, что форма струи зависит от устройства отверстия. Сравнительно просто исследовать предельные случаи, показанные на рис. 223.

Рис. 223. Зависимость сечения вытекающей струи от формы отверстия

В случае а линии тока в отверстии перед истечением постепенно меняют направление на параллельное оси трубки. В результате площадь сечения вытекающей струи равна площади сечения отверстия трубки, и сжатия струи не происходит. В случае частицы жидкости вблизи отверстия имеют скорости в поперечных направлениях, что приводит к сжатию струи. Сжатие для этого

случая можно рассчитать с помощью закона сохранения импульса.

Будем рассуждать следующим образом. Всюду вблизи боковых стенок сосуда скорость движения жидкости пренебрежимо мала и давление равно гидростатическому. Силы давления жидкости на стенки сосуда взаимно уравновешиваютса всюду, за исключением участка, лежащего точно напротив отверстия и имеющего ту же площадь что и отверстие. Импульс этой неуравновешенной силы за время равен

На основании закона сохранения импульса точно такой же импульс должна унести вытекающая за это время жидкость. Этот импульс равен произведению массы вытекающей жидкости на скорость ее истечения Если площадь сечения струи после сжатия то импульс жидкости равен Поэтому

Подставляя сюда скорость истечения жидкости (10), получаем поперечное сечение вытекающей струи оказывается вдвое меньше площади отверстия. При всех других формах отверстий, отличающихся от изображенных на рис. 223, сжатие струи заключено в промежутке между этими предельными случаями.

Реакция струи. Закон сохранения импульса позволяет объяснить реакцию струи жидкости, которая течет по изогнутой трубе постоянного сечения площадью (рис, 224).

Рис. 224. Реакция струи жидкости при течении по изогнутой трубке

При стационарном течении импульс любого элемента жидкости изменяется только по направлению, оставаясь неизменным по модулю. В трубе, изогнутой под прямым углом, изменение импульса жидкости за время как видно из рис. 224, равно

где и — равные по модулю скорости жидкости до и после изгиба трубы: Таким образом, действующая на трубу сила, обусловленная движением жидкости, равна

Направление этой силы указано на рисунке. Разобранный пример объясняет принцип действия гидравлических турбин.

Гидравлический удар. В заключение рассмотрим явление так называемого гидравлического удара. Нередко можно видеть, как

в твердых камнях выбиты углубления в тех местах, куда попадают отдельные падающие сверху капли воды. Дело в том, что при ударе капель о преграду, в отличие от постоянно действующей струи, происходит внезапно возникающий контакт струи с преградой. В непрерывной струе, как мы видели, на поставленную поперек стационарного потока площадку действует добавочная сила на единицу площади. Если же неподвижная площадка появляется в потоке внезапно, то набегающая на нее жидкость вынуждена затормозиться.

Абсолютно несжимаемая жидкость, движущаяся по трубе, при мгновенном перекрывании трубы остановилась бы вся сразу, что привело бы к бесконечно большой силе давления на преграду. Поэтому представление об абсолютно несжимаемой жидкости в таких условиях неприменимо. В сжимаемой жидкости при внезапном появлении преграды за время остановится только та часть жидкости, до которой успеет дойти волна деформации, распространяющаяся в жидкости навстречу потоку от преграды. Такая волна распространяется со скоростью, равной скорости звука и в данной жидкости.

Закон сохранения импульса позволяет рассчитать силу действующую на внезапно возникающую в трубе сечением перегородку. Пусть до появления преграды жидкость в трубе имела скорость Учитывая, что масса останавливающейся за время жидкости равна имеем

откуда для развивающегося при гидравлическом ударе добавочного давления получаем

Скорость звука в воде равна примерно Поэтому в потоке, имеющем скорость давление (13), развиваемое при гидравлическом ударе, как нетрудно убедиться, в 300 раз больше давления постоянно действующей струи воды.

Явления, связанные с гидравлическим ударом, весьма разнообразны. Например, во время шторма на море можно наблюдать, как волны, бьющие в вертикальную стенку набережной, образуют всплески, имеющие огромную высоту, в десятки раз превосходящую высоту волн на море.

• Почему при истечении жидкости из отверстия в сосуде поперечное сечение струи, как правило, меньше, чем поперечное сечение самого отверстия?

• По каким причинам сужается струя воды, вытекающая из водопроводного крана?

• Почему для объяснения явления гидравлического удара нельзя использовать модель несжимаемой жидкости?