§ 25. Механическое состояние. Уравнение движения

При движении материальной точки изменяются со временем ее положение в пространстве, определяемое радиусом-вектором ее скорость ускорение а. Говорят, что происходит изменение состояния материальной точки со временем. Что же понимают под механическим состоянием и какими параметрами оно определяется?

Механическое состояние материальной точки в некоторый момент времени определено, если для этого момента времени заданы ее радиус-вектор и скорость. Если известно механическое состояние материальной точки в какой-либо момент времени и действующие на нее силы, то с помощью второго закона Ньютона можно определить

ее механическое состояние в последующие моменты времени, т. е. полностью предсказать ее движение. Именно по этой причине второй закон Ньютона часто называют уравнением движения, ибо он описывает эволюцию начального состояния механической системы во времени.

Уравнение движения. Остановимся подробнее на вопросе определения механического состояния в произвольный момент времени. Второй закон Ньютона, или уравнение движения позволяет при известных силах найти ускорение материальной точки. Но знание ускорения дает возможность определить только изменение скорости за некоторый промежуток времени. Чтобы найти само значение скорости к концу этого промежутка, нужно знать не только изменение скорости, но и ее значение в начальный момент. Аналогично, знание скорости позволяет найти изменение положения материальной точки за некоторое время. Чтобы найти сам радиус-вектор, нужно знать его значение в начальный момент.

Например, в случае движения под действием постоянной силы, когда ускорение также постоянно, скорость и радиус-вектор материальной точки в момент времени определяются формулами

где — скорость и радиус-вектор в начальный момент времени Уравнение движения дает возможность найти только тогда, когда известно начальное состояние системы, т. е. величины

Начальные условия. Задание начальных условий для нахождения необходимо и в том случае, когда действующие силы таковы, что ускорение не остается постоянным. При этом в некоторых случаях уравнение движения удается решить (проинтегрировать) аналитически, т. е. найти как функции времени, которые также будут содержать начальные значения . В качестве примеров таких случаев можно указать движение материальной точки под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от центра силового поля (движение планеты под действием притяжения к Солнцу, движение спутника Земли, движение альфа-частицы в поле атомного ядра), движение под действием силы, пропорциональной смещению от положения равновесия (тело на пружине), и т. д.

Алгоритм численного решения. В случаях, когда уравнение движения не удается решить аналитически, его можно решать численно. Действующая на материальную точку сила может зависеть от времени явно, от положения точки и от ее скорости: Пусть

нам заданы начальные значения Уравнение движения дает возможность найти ускорение в тот же момент времени Зная ускорение, можно приближенно найти изменение скорости за малый промежуток времени

откуда скорость к концу этого промежутка равна

Зная скорость в начальный момент, можно приближенно найти изменение радиуса-вектора за то же время

Более точное значение можно получить, если взять вместо среднее значение скорости на этом промежутке, считая ускорение на нем постоянным:

Отсюда значение радиуса-вектора к концу промежутка времени получится в виде

в зависимости от того, какой из приведенных выше формул для отдать предпочтение.

Выбор промежутка времени определяется той точностью, которую мы хотим получить при таком приближенном вычислении. Чем меньше промежуток времени тем ближе к истинным будут значения и вычисляемые по формулам (2) и (3). Найденные значения подставляем в выражение для силы и с помощью уравнения движения находим ускорение а: материальной точки в конце промежутка времени

Теперь повторяем описанную процедуру для следующего промежутка времени, причем роль начальных условий будут играть найденные по формулам (2) и (3) значения

Затем все повторяется еще раз и т. д. Если требуется найти изменение механического состояния материальной точки за большой промежуток времени, придется разбить этот промежуток на большое число шагов Чем меньше размер каждого шага, тем точнее будет результат. Но необходимое число шагов при этом

увеличивается. За повышение точности результатов приходится платить увеличением объема вычислений.

Практически такие работы удобно выполнять на ЭВМ. При проведении расчетов имеют дело не с векторами, а с числами. Поэтому каждое из приведенных выше векторных уравнений записывается в виде трех скалярных уравнений, соответствующих проекциям векторного уравнения на оси выбранной системы координат.

Системы взаимодействующих тел. Часто приходится рассматривать механическую систему, состоящую из нескольких взаимодействующих тел. Если известны силы взаимодействия между телами и внешние силы, действующие на каждое из тел, то для нахождения движения всех этих тел приходится решать систему уравнений, состоящую из уравнений движения для каждого тела. Механическое состояние системы частиц определяется заданием положений и скоростей всех частиц в один и тот же момент времени. Уравнения движения позволяют найти изменение этого состояния со временем.

Аналитическое решение задачи о механическом движении системы взаимодействующих тел обычно сопряжено с огромными математическими трудностями. Так, например, до сих пор не решена в общем виде задача о движении всего лишь трех взаимодействующих тел при произвольных начальных условиях. Однако численный расчет движения системы взаимодействующих частиц не содержит ничего принципиально нового по сравнению с расчетом движения одной материальной точки. При приближенном вычислении скорость и радиус-вектор каждой из частиц находятся с помощью той же самой процедуры по формулам (2)-(4), только при определении ускорений частиц в каждый момент времени с помощью уравнений движения в этих уравнениях кроме внешних сил учитываются и силы взаимодействия между частицами.

• Какой смысл вкладывается в понятие механического состояния? Какими величинами определяется механическое состояние материальной точки? системы материальных точек?

• Почему ускорение частицы не входит в число величин, определяющих ее механическое состояние?

• Опишите алгоритм численного расчета механического движения материальной точки.

• Какую роль играют начальные условия при решении уравнений движения?

Нахождение сил по движению. Уравнения движения можно использовать для нахождения действующих сил, если известно, как происходит движение тела, т. е. задан его радиус-вектор как функция времени. Примером такой задачи может служить нахождение силы притяжения планеты к Солнцу по известному из

астрономических наблюдений закону обращения этой планеты по эллиптической орбите вокруг Солнца. Именно так был установлен закон обратных квадратов для силы тяготения.

Другой пример — движение точки по эллипсу, описываемое уравнениями

В том, что траектория такого движения действительно представляет собой эллипс, можно убедиться, исключив время из этих уравнений. Разделив первое из этих уравнений на А, а второе на В, возводя их в квадрат и складывая, получим, учитывая тождество следующую связь между х и у:

Это уравнение эллипса (рис. 102) с полуосями А и В, которое в частном случае превращается в уравнение окружности.

Рис. 102. Движение по эллипсу

Легко убедиться, что материальная точка движется по этому эллипсу в направлении против часовой стрелки, причем так, что ее радиус-вектор поворачивается с постоянной угловой скоростью

Для нахождения силы, вызывающей такое движение, нужно с помощью формул (5) определить ускорение частицы. Дифференцируя уравнения (5) по времени, находим проекции скорости на оси координат:

Дифференцируя по времени соотношения (7), получаем проекции ускорения:

Используя второй закон Ньютона и уравнения (8), получаем проекции силы, действующей на материальную точку массы

Сравнивая (9) с (5), видим, что выражения для проекций силы можно записать в виде

Эти соотношения дают искомую зависимость действующей на частицу силы от ее координат. В векторном виде их можно записать следующим образом:

Сила в каждой точке направлена к началу координат и пропорциональна расстоянию до находящегося там центра силового поля (см. рис. 102). Такую зависимость силы от положения можно реализовать, например, с помощью двух пар одинаковых пружин (рис. 103). Чтобы движение тела происходило именно по уравнениям (5), начальные условия должны быть вполне определенными: из (5) следует, что при должно быть а из уравнений (7) — что

Рис. 103. При смещении шарика из положения равновесия действующая со стороны пружин сила направлена к этому положению равновесия и пропорциональна смещению

Рис. 104. Изотропный осциллятор (три пары взаимно перпендикулярных пружин)

Такое начальное состояние можно осуществить, оттянув шарик в направлении оси х на расстояние А и толчком сообщив ему начальную скорость В со вдоль оси у. При этом оси х и у направлены вдоль недеформированных взаимно перпендикулярных

пружин, а ось перпендикулярна плоскости, в которой они расположены.

В действительности оказывается, однако, что взаимно перпендикулярные оси х и у могут быть в плоскости пружин ориентированы произвольным образом. Более того, если к этим двум парам пружин добавить еще такую же пару, расположенную перпендикулярно плоскости, в которой они лежат (рис. 104), то в такой системе выбор направления всех трех осей х, у, z совершенно произволен. По своим механическим свойствам система оказывается изотропной. При любых начальных условиях траектория шарика будет плоской. Ориентация этой плоскости определяется векторами начального смещения и начальной скорости.

Разные движения по эллипсам. Хотя движение тела под действием силы (11), пропорциональной смещению из положения равновесия, как и движение планет вокруг Солнца, происходит по эллиптической траектории, характер этих движений совершенно различен. Движение планеты происходит под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до Солнца, расположенного в одном из фокусов эллипса (рис. 105), в то время как в рассмотренном выше примере шарика на пружинах силовой центр совпадает с центром эллипса.

Рис. 105. При движении планеты вокруг Солнца скорость в афелии (А) меньше, чем в перигелии (П)

Различие в характере движений становится особенно отчетливым, если вспомнить, что скорости планеты в афелии и перигелии, т. е. на концах большой полуоси эллипса, различны (рис. 105), в то время как у шарика на пружинах скорости и в соответствующих точках орбиты одинаковы (см. рис. 102).

Отметим, что в случае движения при наложенных связях механическое состояние определяется заданием значений обобщенных координат и значений скоростей их изменения (обобщенных

скоростей) в один и тот же момент времени. Таким образом, число параметров, определяющих механическое состояние системы, в два раза больше числа ее степеней свободы. Так, при движении точки по заданной окружности, ее механическое состояние определяется всего двумя величинами, например углом и угловой скоростью .

• Как показать, что радиус-вектор частицы, движение которой описывается уравнениями (5), поворачивается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью?

• Докажите, что формулы (10), связывающие проекции силы с координатами шарика, подвешенного на двух парах одинаковых пружин, справедливы при произвольной ориентации осей х и у в плоскости пружин (т. е. оси не обязательно направлять вдоль пружин).

• Чем различаются движения по эллиптическим траекториям в случаях шарика, подвешенного на трех парах взаимно перпендикулярных одинаковых пружин, и орбитального движения планеты?