Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 19. Применение законов динамикиЗаконы динамики дают возможность находить действующую на тело силу, когда известно, как оно движется под действием этой силы. В самом деле, когда известна зависимость Справедливо и обратное: когда известна действующая на тело сила Движение со связями. В динамике встречаются и такие задачи, где задана только часть сил, действующих на рассматриваемое тело. Такая ситуация возникает, когда движение происходит по заданной траектории при наложенных связях. Примерами механических систем, совершающих такие движения, могут служить грузик на нерастяжимой нити в поле тяжести, грузы, соединенные перекинутой через блок нитью, брусок на наклонной плоскости и т. п. Наличие связи приводит к тому, что движение грузика на нити ограничено сферической поверхностью с центром в точке подвеса; движение соединенных нитью грузов происходит так, что расстояние между ними, измеренное вдоль натянутой нити, все время остается неизменным, движение бруска на наклонной плоскости — вдоль ее поверхности и т. д. При изучении таких систем возникает задача не только расчета их движения, но и определения сил реакции связей. В уравнениях, выражающих второй закон Ньютона, число неизвестных возрастает, так как помимо ускорений подлежат определению и некоторые из действующих сил. Но и в этом случае удается найти все неизвестные, так как к уравнениям второго закона динамики добавляются условия, выражающие влияние наложенных связей. Рассмотрим применение законов динамики на примере конкретных задач. Для всех разбираемых примеров систему отсчета, связанную с Землей, можно с достаточной степенью точности считать неподвижной. Задачи1. В свободном полете. Брошенное под углом к горизонту тело массы Решение. В соответствии со вторым законом Ньютона по модулю и противоположно направленная сила реакции действует со стороны тела на земной шар. Но из-за огромной массы Земли эта сила, модуль которой равен Подчеркнем, что действующая на тело сила тяжести 2. Вес тела в лифте. Ящик массой Решение. На ящик действуют две силы: сила тяжести Сила Р, с которой ящик давит на пол, называется его весом. На основании третьего закона Ньютона она равна по модулю и противоположно направлена силе В случае, когда лифт и стоящий на его полу ящик движутся с ускорением а, уравнение второго закона Ньютона записывается в виде
Отсюда для
Поскольку ускорение а направлено вверх, а
Сила Р, с которой ящик давит на пол, т. е. вес ящика, по-прежнему связана с третьим законом Ньютона:
Мы видим, что в лифте, ускорение которого направлено вертикально вверх, вес тела больше своего обычного значения, равного Обратим внимание, что полученный результат (4) не зависит от направления движения, т. е. направления скорости. Перегрузка наблюдается как при разгоне лифта или космического корабля вверх, так и при торможении опускающегося вниз лифта или космического корабля при срабатывании двигателей мягкой посадки. 3. Невесомость. Ящик массы Решение. Уравнение (1) второго закона Ньютона не зависит от направления вектора ускорения а. Поэтому остается в силе и выражение (2) для силы
что уже не совпадает с (3), поскольку вектор а направлен в другую сторону. Соответствующим образом изменяется и выражение (4) для веса тела:
В лифте, ускорение которого направлено вниз, вес тела меньше его обычного значения. И опять этот результат не зависит от направления скорости: вес уменьшается как при разгоне опускающегося вниз лифта, так и при замедлении и остановке поднимающегося вверх лифта. Если в формуле (6) положить А что будет, если лифт опускается с ускорением 4. Выпуклый мост. Автомобиль массы Решение. В верхней точке моста действующие на автомобиль сила тяжести
в верхней точке моста в проекции на направленную вниз ось принимает вид
Отсюда находим силу реакции моста
которая вследствие третьего закона Ньютона равна по модулю силе давления автомобиля на мост. Видно, что эта сила меньше нормального веса
Рис. 70. К задаче 4 При достаточно большой скорости, когда 5. Машина Атвуда. Через неподвижный блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами и Такое устройство используют для изучения законов динамики на опыте. Найдите силу натяжения нити и ускорения грузов. Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый из грузов. Очевидно, что кроме сил тяжести
Рис. 71. К задаче 5 Эти уравнения справедливы без каких-либо упрощающих предположений о соотношениях между массами грузов, нити, блока, о наличии трения в блоке и т. д. Однако из них невозможно определить все неизвестные величины, так как число неизвестных больше числа уравнений. Обычные идеализации, используемые при решении подобных задач, заключаются в пренебрежении массами нити и блока, трением в оси блока и растяжимостью нити. На этих идеализациях основана простейшая физическая модель рассматриваемой системы. К чему приводят эти идеализации? Из нерастяжимости нити, т. е. неизменности ее длины, следует очевидное соотношение между проекциями ускорений грузов на вертикальную ось:
Одинаковый модуль этих ускорений обозначим через а. Действующая на каждый из грузов со стороны нити сила натяжения вследствие третьего закона Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой груз натягивает нить. Из предположения о нулевой массе нити следует, что натяжение ее левого и правого участков одинаковы во всех точках, хотя могут и различаться между собой. В этом можно убедиться, если мысленно выделить малый участок нити массы
Если Если теперь считать, что масса блока равна нулю и трение в его оси отсутствует, то силы натяжения нити будут одинаковы по обе стороны от блока. Предположение об отсутствии трения не требует особых комментариев. Если допустить, что при этом силы натяжения Таким образом, в рамках рассмотренной простейшей модели система уравнений (7) становится замкнутой и позволяет найти неизвестные величины а и Т. Полагая для определенности
Исключая из этих уравнений а, находим
Исключая из уравнений (9) Т, получаем
Для предельного случая Если Полученные результаты позволяют судить о направлениях только ускорений грузов, но не их скоростей. 6. Система блоков. Найдите силу натяжения нити и ускорения грузов в системе, показанной на рис. 72. Считать, что массы грузов Решение. Сформулированные в условии идеализации приводят к простейшей модели, в которой сила натяжения перекинутой через блоки нити одинакова по всей длине. Составим уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов. Силы, действующие на грузы, показаны на рисунке. Тогда
Связь между ускорениями грузов
Обозначим модуль силы натяжения перекинутой через блоки нити через Т. Тогда вследствие третьего закона Ньютона на груз
Рис. 72. К задаче 6 Система двух уравнений (14) содержит три неизвестных: проекции
Учитывая эту связь ускорений, можно из системы уравнений (14) найти проекции ускорений грузов и силы натяжения нити:
Если Задачи для самостоятельного решения(см. скан) • Придумайте примеры задач, в которых законы динамики использовались бы как для нахождения ускорения, так и некоторых из действующих сил. • Какова физическая природа сил реакции, фигурировавших в задачах 1 и 2? • Опишите, какие ощущения человек должен испытать при перегрузке и в состоянии невесомости. Как должны отличаться ощущения космонавта при невесомости, испытываемой им в орбитальном полете и при тренировках в бассейне, где невесомость имитируется действием архимедовой выталкивающей силы? • Шайба соскальзывает без трения с вершины ледяного полусферического купола. Будет ли она скользить по поверхности купола до самого его основания или оторвется от поверхности раньше?
|
1 |
Оглавление
|