§ 46. Волны

С давних пор наглядный образ волны всегда ассоциировался с волнами на поверхности воды. Но волны на воде представляют собой значительно более сложное явление, чем многие другие волновые процессы — такие, как распространение звука в однородной изотропной среде. Поэтому естественно начинать изучение волнового движения не с волн на воде, а с более простых случаев.

Волны в дискретной цепочке. Проще всего представить себе волну, распространяющуюся по бесконечной цепочке связанных маятников (рис. 192). С бесконечной цепочки мы начинаем для того, чтобы можно было рассматривать волну, распространяющуюся в одном направлении, и не думать о возможном ее отражении от конца цепочки.

Рис. 192. Волна в цепочке связанных маятников

Если маятник, находящийся в начале цепочки, привести в гармоническое колебательное движение с некоторой частотой со и амплитудой А, то колебательное движение будет распространяться по цепочке. Такое распространение колебаний из одного места в другое и называется волновым процессом или волной.

В отсутствие затухания любой другой маятник в цепочке будет повторять вынужденные колебания первого маятника с некоторым отставанием по фазе. Это запаздывание связано с тем, что

распространение колебаний по цепочке происходит с некоторой конечной скоростью. Скорость распространения колебаний и зависит от жесткости соединяющей маятники пружинки, т. е. от того, насколько сильна связь между маятниками. Если первый маятник в цепочке движется по определенному закону, т. е. его смещение из положения равновесия есть заданная функция времени то смещение маятника, отстоящего от начала цепочки на расстояние в любой момент времени будет точно таким же, как смещение первого маятника в более ранний момент времени т. е. будет описываться функцией

Пусть при гармонических колебаниях первого маятника его смещение из положения равновесия дается выражением

Каждый из маятников цепочки характеризуется тем расстоянием на которое он отстоит от начала цепочки. Поэтому его смещение из положения равновесия при прохождении волны естественно обозначить через Тогда, в соответствии со сказанным выше, имеем

Описываемая уравнением (2) волна называется монохроматической. Характерным признаком монохроматической волны является то, что каждый из маятников совершает синусоидальное колебание определенной частоты.

Распространение волны по цепочке маятников сопровождается переносом энергии и импульса. Но никакого переноса массы при этом не происходит: каждый маятник, совершая колебания около положения равновесия, в среднем остается на месте.

Поляризация волн. В зависимости от того, в каком направлении происходят колебания маятников, говорят о волнах разной поляризации. Если колебания маятников происходят вдоль направления распространения волны, как на рис. 192, то волна называется продольной, если поперек — то поперечной. Обычно волны разной поляризации распространяются с разными скоростями.

Рассмотренная цепочка связанных маятников представляет собой пример механической системы с сосредоточенными параметрами.

Рис. 193. Цепочка шариков, соединенных пружинками

Другой пример системы с сосредоточенными параметрами, в которой могут распространяться волны, — это цепочка шариков, связанных легкими пружинками (рис. 193). В такой системе инертные

свойства сосредоточены у шариков, а упругие — у пружинок. При распространении волны кинетическая энергия колебаний локализована на шариках, а потенциальная — на пружинках.

Легко сообразить, что такую цепочку соединенных пружинками шариков можно рассматривать как модель одномерной системы с распределенными параметрами, например упругой струны. В струне каждый элемент длины обладает одновременно массой, т. е. инертными свойствами, и жесткостью, т. е. упругими свойствами.

Волны в натянутой струне. Рассмотрим поперечную монохроматическую волну, распространяющуюся в бесконечной натянутой струне. Предварительное натяжение струны необходимо потому, что ненатянутая гибкая струна, в отличие от твердого стержня, обладает упругостью только по отношению к деформации растяжения, но не сжатия.

Монохроматическая волна в струне описывается тем же выражением (2), что и волна в цепочке маятников. Однако теперь роль отдельного маятника играет каждый элемент струны, поэтому переменная в уравнении (2), характеризующая равновесное положение маятника, принимает непрерывные значения. Смещение любого элемента струны из равновесного положения при прохождении волны есть функция двух переменных: времени и равновесного положения этого элемента

Если в формуле (2) зафиксировать т. е. рассматривать определенный элемент струны, то функция при фиксированном дает смещение выделенного элемента струны в зависимости от времени. Это смещение представляет собой гармоническое колебание с частотой со и амплитудой А:

Начальная фаза колебаний этого элемента струны т. е. зависит от его равновесного положения Все элементы струны при прохождении монохроматической волны совершают гармонические колебания одинаковой частоты и амплитуды, но различающиеся по фазе.

Длина волны. Если в формуле (2) зафиксировать т. е. рассматривать всю струну в один и тот же момент времени, то функция при фиксированном дает мгновенную картину смещений всех элементов струны — как бы моментальную фотографию волны. На этой «фотографии» мы увидим застывшую синусоиду (рис. 194). Период этой синусоиды, т. е. расстояние между соседними горбами или впадинами, называется длиной волны X. Из формулы (2) можно найти, что длина волны связана с частотой со и скоростью волны и соотношением

где Т — период колебаний. Картину распространения волны можно представить себе, если эту «застывшую» синусоиду привести в движение вдоль оси со скоростью . Две последовательные «моментальные фотографии» волны в моменты времени и показаны на рис. 195. Видно, что длина волны X равна расстоянию, проходимому любым горбом за период колебаний Т, в соответствии с формулой (4).

Скорость поперечной волны. Определим скорость распространения монохроматической поперечной волны в струне. Будем считать, что амплитуда А мала по сравнению с длиной волны: Пусть волна бежит вправо со скоростью и. Перейдем в новую систему отсчета, движущуюся вдоль струны со скоростью, равной скорости волны и.

Эта система отсчета также является инерциальной и, следовательно, в ней справедливы законы Ньютона. Из этой системы отсчета волна кажется застывшей синусоидой, а вещество струны скользит вдоль этой синусоиды влево: любой предварительно окрашенный элемент струны будет казаться убегающим вдоль синусоиды влево со скоростью и.

Рассмотрим в этой системе отсчета элемент струны длины которая много меньше длины волны X, в тот момент, когда он находится на гребне синусоиды (рис. 196).

Применим к этому элементу второй закон Ньютона. Силы, действующие на элемент со стороны соседних участков струны, показаны в выделенном кружке на рис. 196. Поскольку рассматривается поперечная волна, в которой смещения элементов струны перпендикулярны направлению распространения волны, то горизонтальная составляющая силы

натяжения постоянна вдоль всей струны. Так как длина рассматриваемого участка то направления сил натяжения, действующих на выделенный элемент, почти горизонтальны, а их модуль можно считать равным Равнодействующая этих сил направлена вниз и равна .

Скорость рассматриваемого элемента равна и и направлена влево, а малый участок его синусоидальной траектории вблизи горба можно считать дугой окружности радиуса . Поэтому ускорение этого элемента струны направлено вниз и равно . Массу элемента струны можно представить в виде , где — плотность материала струны, площадь сечения, которые ввиду малости деформаций при распространении волны можно считать такими же, как и в отсутствие волны.

На основании второго закона Ньютона

Учитывая, что (рис. 196), получаем

Это и есть искомая скорость распространения поперечной монохроматической волны малой амплитуды в натянутой струне. Видно, что она зависит только от механического напряжения натянутой струны и ее плотности и не зависит от амплитуды и длины волны. Это значит, что поперечные волны любой длины распространяются в натянутой струне с одинаковой скоростью.

Рис. 197. Сложение двух монохроматических волн с близкими частотами

Если в струне одновременно распространяются, например, две монохроматические волны с одинаковыми амплитудами и близкими частотами то «моментальные фотографии» этих монохроматических волн и результирующей волны будут иметь вид, показанный на рис. 197. Там, где горб одной волны совпадает с горбом

другой, в результирующей волне смещение максимально. Поскольку соответствующие отдельным волнам синусоиды бегут вдоль оси с одинаковой скоростью и, то и результирующая кривая бежит с той же самой скоростью, не меняя своей формы. Оказывается, что это справедливо для волнового возмущения любой формы: поперечные волны произвольного вида распространяются в натянутой струне, не меняя своей формы.

О дисперсии волн. Если скорость распространения монохроматических волн не зависит от длины волны или частоты, то говорят, что отсутствует дисперсия. Сохранение формы любой волны при ее распространении есть следствие отсутствия дисперсии. Дисперсия отсутствует для волн любого вида, распространяющихся в сплошных упругих средах. Это обстоятельство позволяет очень легко найти скорость продольных волн.

Скорость продольных волн. Рассмотрим, например, длинный упругий стержень площади в котором распространяется продольное возмущение с крутым передним фронтом. Пусть в некоторый момент времени этот фронт, перемещаясь со скоростью и, дошел до точки с координатой справа от фронта все точки стержня еще покоятся. Спустя промежуток времени фронт переместится вправо на расстояние и (рис. 198). В пределах этого слоя все частицы движутся с одной и той же скоростью у. Спустя этот промежуток времени частицы стержня, находившиеся в момент на фронте волны, переместятся вдоль стержня на расстояние

Рис. 198. К расчету скорости распространения волны в струне

Применим к вовлеченной за время в волновой процесс массе стержня закон сохранения импульса:

Действующую на массу силу выразим через деформацию элемента стержня с помощью закона Гука:

Длина выделенного элемента стержня равна и а изменение его длины под действием силы равно Поэтому с помощью (8) находим

Подставляя это значение в (7), получаем

Скорость продольных звуковых волн в упругом стержне зависит только от модуля Юнга Е и плотности Легко убедиться, что в большинстве металлов эта скорость составляет примерно

Скорость продольных волн в упругой среде всегда больше скорости поперечных. Сравним, например, скорости продольных и поперечных волн в натянутой гибкой струне. Поскольку при малых деформациях упругие постоянные не зависят от приложенных сил, то скорость продольных волн в натянутой струне не зависит от ее предварительного натяжения и определяется формулой (10).

Для того чтобы сравнить эту скорость с найденной ранее скоростью поперечных волн выразим силу натяжения струны входящую в формулу (6), через относительную деформацию струны обусловленную этим предварительным натяжением: Подставляя значение в формулу (6), получаем

Таким образом, скорость поперечных волн в натянутой струне оказывается значительно меньше скорости продольных волн, так как относительное растяжение струны много меньше единицы.

Энергия волны. При распространении волн происходит передача энергии без переноса вещества. Энергия волны в упругой среде состоит из кинетической энергии совершающих колебания частиц вещества и из потенциальной энергии упругой деформации среды.

Рассмотрим, например, продольную волну в упругом стержне. В фиксированный момент времени кинетическая энергия распределена по объему стержня неравномерно, так как одни точки стержня в этот момент покоятся, другие, напротив, движутся с максимальной скоростью. То же самое справедливо и для потенциальной энергии, так как в этот момент какие-то элементы стержня не деформированы, другие же деформированы максимально. Поэтому при рассмотрении энергии волны естественно вводить плотность кинетической и потенциальной энергий. Плотность энергии волны в каждой точке среды не остается постоянной, а периодически изменяется при прохождении волны: энергия распространяется вместе с волной.

• Почему при распространении поперечной волны в натянутой струне продольная составляющая силы натяжения струны одинакова вдоль всей струны и не изменяется при прохождении волны?

• Что такое монохроматические волны? Как длина монохроматической волны связана с частотой и скоростью распространения?

• В каких случаях волны называются продольными и в каких — поперечными?

• Покажите с помощью качественных рассуждений, что скорость распространения волны тем больше, чем больше сила, стремящаяся возвратить возмущенный участок среды в состояние равновесия, и тем меньше, чем больше инертность этого участка.

• Какими характеристиками среды определяется скорость продольных волн и скорость поперечных волн? Как связаны между собой скорости таких волн в натянутой струне?

Плотность кинетической энергии бегущей волны. Рассмотрим плотность кинетической энергии в монохроматической упругой волне, описываемой уравнением (2):

Выделим в стержне малый элемент между плоскостями и такой, что его длина в недеформированном состоянии много меньше длины волны X. Тогда скорости всех частиц стержня в этом элементе при распространении волны можно считать одинаковыми. С помощью формулы (12) находим скорость рассматривая как функцию времени и считая величину характеризующую положение рассматриваемого элемента стержня, фиксированной:

Масса выделенного элемента стержня поэтому его кинетическая энергия в момент времени есть

С помощью выражения (14) находим плотность кинетической энергии в точке в момент времени

Плотность потенциальной энергии. Перейдем к вычислению плотности потенциальной энергии волны. Поскольку длина выделенного элемента стержня мала по сравнению с длиной волны, то вызываемую волной деформацию этого элемента можно считать однородной. Поэтому потенциальную энергию деформации можно записать в виде

где удлинение рассматриваемого элемента стержня вызванное проходящей волной.

Для нахождения этого удлинения нужно рассмотреть положение плоскостей, ограничивающих выделенный элемент, в некоторый момент времени Мгновенное положение любой плоскости, равновесное положение которой характеризуется координатой определяется функцией рассматриваемой как функция при фиксированном Поэтому удлинение рассматриваемого элемента стержня, как видно из рис. 199, равно

Относительное удлинение этого элемента есть

Рис. 199. К расчету относительного удлинения стержня

Если в этом выражении перейти к пределу при то оно превращается в производную функции по переменной при фиксированном . С помощью формулы (12) получаем

Теперь выражение для потенциальной энергии (16) принимает вид

а плотность потенциальной энергии в точке в момент времени есть

Энергия бегущей волны. Поскольку скорость распространения продольных волн то правые части в формулах (19) и (15) совпадают. Это значит, что в бегущей продольной упругой волне плотности кинетической и потенциальной энергий равны в любой момент времени в любой точке среды. Зависимость плотности энергии волны от координаты в фиксированный момент времени показана на рис. 200.

Обратим внимание на то, что в отличие от локализованных колебаний (осциллятор), где кинетическая и потенциальная энергии изменяются в противофазе (см. рис. 162 и 185), в бегущей волне колебания кинетической и потенциальной энергий происходят в одинаковой фазе. Кинетическая и потенциальная энергии в каждой точке среды одновременно достигают максимальных значений и одновременно обращаются в нуль.

Равенство мгновенных значений плотности кинетической и потенциальной энергий есть общее свойство бегущих волн, т. е. волн, распространяющихся в определенном направлении. Можно убедиться, что это справедливо и для поперечных волн в натянутой гибкой струне.

Рис. 200. Смещение частиц среды и плотность энергии в бегущей волне

До сих пор мы рассматривали волны, распространяющиеся в системе, имеющей бесконечную протяженность только по одному направлению: в цепочке маятников, в струне, в стержне. Но волны могут распространяться и в среде, имеющей бесконечные размеры по всем направлениям. В такой сплошной среде волны бывают разного вида в зависимости от способа их возбуждения.

Плоская волна. Если, например, волна возникает в результате гармонических колебаний бесконечной плоскости, то в однородной среде она распространяется в направлении, перпендикулярном этой плоскости. В такой волне смещение всех точек среды, лежащих на любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения, происходит совершенно одинаково. Если в среде не происходит поглощения энергии волны, то амплитуда колебаний точек среды всюду одинакова и их смещение дается формулой (1). Такая волна называется плоской.

Сферическая волна. Волну другого вида — сферическую — создает в однородной изотропной упругой среде пульсирующий шар. Такая волна распространяется с одинаковой скоростью по всем направлениям. Ее волновые поверхности, т. е. поверхности постоянной фазы, представляют собой концентрические сферы. В отсутствие поглощения энергии в среде легко определить зависимость амплитуды сферической волны от расстояния до центра. Поскольку поток энергии волны, пропорциональный квадрату амплитуды, одинаков через любую сферу, амплитуда волны убывает обратно пропорционально расстоянию от центра: Уравнение продольной сферической волны имеет вид

где а — амплитуда колебаний на расстоянии от центра волны.

• Как зависит переносимая бегущей волной энергия от частоты и от амплитуды волны?

• Что такое плоская волна? Сферическая волна? Как зависят от расстояния амплитуды плоской и сферической волн?

• Объясните, почему в бегущей волне кинетическая энергия и потенциальная энергия изменяются в одинаковой фазе,