§ 43. Собственные колебания в разных физических системах

Рассмотрим на конкретных примерах проявления общих закономерностей физики собственных колебаний, представив этот материал в виде отдельных задач.

Задачи

1. Смещенное равновесие. В условиях задачи о падении кольца на прикрепленный к пружине диск найдите частоту и амплитуду колебаний диска вместе с прилипшим к нему кольцом.

Решение. Очевидно, что дополнительный груз в виде прилипшего к диску кольца приводит к дополнительному смещению вниз на к положения равновесия, которое и до того было смещено весом самого диска. Этот сдвиг положения равновесия не влияет на частоту собственных колебаний, как это было выяснено в § 41. Частота колебаний определяется отношением жесткости пружины к полной массе висящего на ней груза, поэтому

Легко сообразить, что амплитуда колебаний равна квадратному корню в выражении (3) приведенного выше решения этой задачи, поскольку именно этот корень дает значение максимального смещения диска вверх и вниз относительно нового положения равновесия, которое сдвинуто от старого вниз на Таким образом,

Для нахождения амплитуды колебаний, в принципе, не было необходимости обращаться к упомянутой формуле (3). Выяснив, что в системе возникают собственные гармонические колебания с частотой (1), можно непосредственно записать общее выражение для смещения из нового положения равновесия:

Значение скорости в любой момент времени получается из (3) дифференцированием функции по времени:

Для нахождения амплитуды А и начальной фазы а следует подставить в (3) и (4) начальные условия, т. е. смещения и скорости при соответствующему моменту прилипания падающего кольца к диску. Если ось х направлена вниз, то начальное смещение равно, очевидно,

Начальное значение скорости можно, как и раньше, определить, применяя закон сохранения импульса для неупругого удара кольца о диск:

Таким образом, для нахождения А и а получаем следующую систему уравнений:

Возводя эти уравнения в квадрат и складывая почленно, приходим с учетом (1) к формуле (2) для амплитуды колебаний. Разделив почленно второе из уравнений (7) на первое, получаем значение тангенса начальной фазы:

2. Осциллятор с двумя пружинами. С какой частотой будет совершать малые вертикальные колебания в поле тяжести груз массы от, подвешенный на двух одинаковых пружинах жесткости к, образующих в равновесии углы Р с вертикалью (рис. 173)?

Рис. 173. Колебания груза на двух пружинах

Решение. Интуитивно ясно, что при смещении груза из положения равновесия по вертикали вниз или вверх в системе возникнут колебания около положения равновесия. Чтобы найти частоту этих колебаний, нужно установить связь между смещением груза из положения равновесия и возникающей при этом возвращающей силой.

Пусть, например, груз смещен вниз на малое расстояние х. Из рис. 173 видно, что дополнительное удлинение каждой из пружин при этом будет связано со смещением х груза по вертикали соотношением

Возникающая при таком растяжении дополнительная сила упругости к в каждой из пружин направлена вдоль ее оси, а их равнодействующая направлена вертикально вверх и по модулю равна

Подставляя сюда из (9), получаем связь возвращающей силы со смещением х груза. Поскольку равнодействующая сила направлена противоположно смещению, эта связь имеет вид

Мы видим, что при малых смещениях возвращающая сила направлена к положению равновесия и пропорциональна смещению. Поэтому для частоты колебаний можно написать

Отметим, что рассмотренная простейшая физическая модель данной системы в действительности содержит ряд тонких моментов, заслуживающих более подробного обсуждения.

Условия применимости модели. В приведенном выше решении был рассмотрен случай малых колебаний. В каких пределах справедливо это приближение, или, другими словами, при каких максимальных амплитудах колебания еще остаются гармоническими и их частота определяется формулой

Прежде всего, обратим внимание на то, что для применимости принятой модели при колебаниях груза пружины должны все время оставаться в растянутом состоянии. В противном случае, когда при движении вверх от положения равновесия растяжение пружин сменяется их сжатием, возможно отклонение системы из вертикальной плоскости, сопровождающееся поперечными раскачиваниями. Ограничения на амплитуду колебаний, накладываемые этой причиной, оценить очень просто. Очевидно, что смещения груза вверх при колебаниях не должны превосходить первоначального сдвига положения равновесия вниз под действием силы тяжести. Если растяжение пружин весом груза мало по сравнению с их длиной в недеформируемом состоянии, то вызванный весом груза сдвиг вниз можно оценить по той же формуле подставляя в нее в качестве действующей силы:

Другое ограничение на допустимую амплитуду колебаний связано с применимостью линейного по смещению х выражения (11) для возвращающей силы. Для исследования этих ограничений будем считать, что груз может скользить без трения по вертикальным направляющим (чтобы не думать об ограничениях, накладываемых условием (13)), и рассмотрим вертикальные смещения груза, не считая их малыми (см. рис. 173).

Обозначив через длину растянутой пружины при смещении груза на расстояние х вниз, а через — длину пружины, когда груз находится в положении равновесия, с помощью теоремы косинусов можно написать

Здесь х может быть любым. Будем, однако, считать, что смещение х все же мало по сравнению с длиной пружины в положении равновесия. А именно, предположим, что

Тогда в (14) можно пренебречь в подкоренном выражении слагаемым , используя приближенную формулу записать удлинение пружины в виде

Это выражение совпадает с (9), записанным в предположении «малых» смещений х.

Таким образом, условие малости смещений, при которых справедливо выражение (9), дается формулой (15). При выполнении условия (15) связь между возвращающей силой и смещением можно считать линейной (формула (11)), а осциллятор — гармоническим. Значения смещений при которых справедливо (15), не должны превосходить значения даваемого формулой (13). В противном случае реальное поведение груза на пружинах кроме гармонических колебаний в плоскости пружин будет включать в себя поперечное раскачивание.

3. Туннель сквозь земной шар. В земном шаре прорыт прямой туннель, соединяющий две точки на его поверхности. Сколько времени будет двигаться в таком туннеле от одного конца до другого поезд с выключенными двигателями, если пренебречь трением и влиянием вращения Земли?

Рис. 174. Движение в туннели, прорытом сквозь земной шар

Решение. Характер движения поезда в отсутствие трения определяется лишь проекцией силы тяжести на направление туннеля. Если считать Землю однородным шаром, то, как было установлено ранее, сила тяжести в глубине направлена к центру Земли и пропорциональна расстоянию от центра:

где — сила тяжести на поверхности Земли, — ее радиус.

Пусть туннель прорыт так, как показано на рис. 174. Очевидно, что в точке О, расположенной посередине туннеля, сила тяжести направлена «вниз», перпендикулярно туннелю. В произвольной точке А туннеля, отстоящей на расстояние от его середины, сила тяжести направлена под некоторым углом. Ее составляющую вдоль туннеля можно найти, рассматривая подобные треугольники на рис. 174:

где — расстояние от точки А до центра Земли С. Отсюда Подставляя сюда из (17), получаем

Таким образом, сила определяющая движение поезда с выключенными двигателями в отсутствие трения, пропорциональна смещению х от

положения равновесия О и направлена к этому положению равновесия. Это значит, что свободное движение поезда в туннеле имеет характер гармонического колебания с периодом

где k — коэффициент пропорциональности между смещением х и возвращающей силой Из (18) видно, что поэтому

Обратим внимание на то, что ответ не зависит от того, какие две точки земной поверхности соединяет этот прямой туннель, т. е. от того, на каком расстоянии от центра Земли он проходит. В частности, туннель может проходить через центр Земли. Время движения от одного конца до другого в любом таком туннеле одно и то же и составляет половину периода колебаний, определяемого формулой (19). Подчеркнем, что этот результат справедлив для модели однородного шара и к реальной Земле, строго говоря, неприменим.

Отметим, что период колебаний (19) равен периоду обращения спутника Земли по низкой круговой орбите, проходящей у самой поверхности Земли. Он составляет примерно 1,5 часа.

4. Два положения равновесия. Железный шарик подвешен на нити между полюсами электромагнита (рис. 175). В отсутствие тока в электромагните период колебаний маятника равен

Рис. 175. Колебания железного шарика между полюсами магнита

Когда через электромагнит пропускают ток и появляется горизонтальная магнитная сила, период колебаний становится равным Т. На какой угол будет отклонена от вертикали нить после того, как эти колебания затухнут?

Решение. В отсутствие тока малые колебания шарика на нити происходят под действием силы тяжести и их частота определяется длиной нити I и ускорением свободного падения

При включении электромагнита под действием боковой силы положение равновесия смещается от вертикали на некоторый угол а. Именно

под этим углом и будет расположена нить после того, как колебания затухнут. При малых колебаниях около нового положения равновесия действующую на шарик горизонтальную магнитную силу можно считать постоянной. Шарик теперь совершает колебания в эффективном силовом поле, напряженность которого определяется векторной суммой силы тяжести и магнитной силы и направлена под углом а к вертикали (рис. 176).

Частота малых колебаний со около нового положения равновесия в этом эффективном силовом поле будет, очевидно, определяться выражением

Косинус угла а, определяющего новое положение равновесия, как видно из рис. 176, равен отношению к

Выражая и из (20) и (21), получаем

Из (22) видно, что решение существует, если период Т новых колебаний меньше периода в отсутствие магнитного поля.

Рис. 176. Равновесие шарика в эффективном силовом поле с напряженностью

Сложные колебания. Можно ли быть уверенным в том, что, измеряя на опыте период колебаний после включения электромагнита, мы действительно обнаружим, что Оказывается, нет. Может случиться, что шарик будет совершать явно негармонические колебания, причем его движение будет весьма замысловатым. Попробуем разобраться, в чем здесь дело.

Прежде всего, обратим внимание на то, что при включении электромагнита появляется не одно, а два новых устойчивых положения равновесия, расположенных симметрично по обе стороны от старого положения равновесия в поле тяжести Земли. Само старое положение равновесия, когда маятник расположен отвесно посередине между полюсами электромагнита, также сохраняется, что ясно из соображений симметрии. Однако теперь это положение равновесия будет неустойчивым: если включить электромагнит, то висевший неподвижно маятник от ничтожного случайного толчка «свалится» или в одну, или в другую сторону.

Теперь ясно, что потенциальная энергия маятника как функция угла его отклонения от вертикали будет иметь вид, схематически показанный на рис. 177. Среднему неустойчивому положению соответствует локальный максимум потенциальной энергии, а углам отклонения определяемым соотношением (22), — симметрично расположенные минимумы. Характер колебаний маятника в такой сложной потенциальной яме зависит от полной энергии, которая, в свою очередь, определяется начальными условиями.

Фазовая траектория. Если полная энергия Е маятника меньше высоты потенциального барьера разделяющего положения устойчивого

равновесия, то маятник будет совершать колебания около одного из них. Таким колебаниям соответствуют замкнутые (в отсутствие трения) кривые I и на фазовой диаграмме в нижней части рис. 177. Эти колебания будут гармоническими только при достаточно малых амплитудах, когда асимметричную потенциальную яму около бокового положения равновесия можно с хорошей точностью аппроксимировать параболой. Именно этим изохронным малым колебаниям и соответствует период Т, входящий в выражение (22).

Рис. 177. Фазовый «портрет» маятника с двумя устойчивыми положениями равновесия

Если полная энергия маятника больше высоты потенциального барьера То колебаниям маятника будет соответствовать фазовая траектория 2 на рис. 177. Маятник проходит с некоторой скоростью через вертикальное положение, преодолевая потенциальный барьер, разгоняется по мере приближения к одному из боковых положений равновесия, проскакивает его, останавливается в крайней точке, движется обратно, разгоняясь, к положению равновесия, опять проскакивает его, замедляется, приближаясь к вертикальному положению, но не останавливается, а проскакивает его, и дальше все повторяется около другого положения равновесия.

Хотя и в этом случае движение маятника будет периодическим, но далеко не изохронным: период очень сильно зависит от значения полной энергии. В частности, когда энергия Е равна высоте потенциального барьера, маятник медленно, «с трудом» взбирается на его вершину, практически «замирая» на ней. Такому движению маятника соответствует сепаратриса 3 на фазовой диаграмме, отделяющая траектории, соответствующие колебаниям около одного из положений равновесия, от траекторий, охватывающих оба положения равновесия. К таким колебаниям формула (22) не имеет никакого отношения.

Показанный на рис. 177 фазовый портрет соответствует полному пренебрежению трением и другими диссипативными процессами. С учетом трения при любых начальных условиях фазовая траектория будет постепенно закручиваться и в конце концов придет к одному из двух возможных состояний равновесия.

• Нарисуйте графики описывающие колебания груза из задачи 1. Постройте соответствующую фазовую траекторию. Укажите на ней точку, изображающую начальное состояние осциллятора. Какой геометрический смысл на этой диаграмме имеют амплитуда А и начальная фаза а?

• Почему колебания груза, подвешенного на наклонных пружинах, будут гармоническими только при достаточно малых амплитудах? В каком смысле следует здесь понимать малость амплитуд?

• Поясните, почему сила, определяющая движение поезда в прорытом в Земле прямом туннеле, пропорциональна расстоянию от середины туннеля.

• Нарисуйте примерные графики колебаний маятника между полюсами электромагнита (задача 4) для разных энергий маятника.