§ 44. Вынужденные колебания. Резонанс

До сих пор мы рассматривали собственные колебания, т. е. колебания, происходящие в отсутствие внешних воздействий. Внешнее воздействие было нужно лишь для того, чтобы вывести систему из состояния равновесия, после чего она предоставлялась самой себе. Дифференциальное уравнение собственных колебаний вообще не содержит следов внешнего воздействия на систему: это воздействие отражается лишь в начальных условиях.

Установление колебаний. Но очень часто приходится сталкиваться с колебаниями, которые происходят при постоянно присутствующем внешнем воздействии. Особенно важен и в то же время достаточно прост для изучения случай, когда внешняя сила имеет периодический характер. Общей чертой вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической внешней силы, является то, что спустя некоторое время после начала действия внешней силы система полностью «забывает» свое начальное состояние, колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Начальные условия проявляются только в период установления колебаний, который обычно называют переходным процессом.

Синусоидальное воздействие. Рассмотрим вначале наиболее простой случай вынужденных колебаний осциллятора под действием внешней силы, изменяющейся по синусоидальному закону:

Рис. 178. Возбуждение вынужденных колебаний маятника

Такое внешнее воздействие на систему можно осуществить различными способами. Например, можно взять маятник в виде шарика на длинном стержне и длинную пружину с малой жесткостью и прикрепить ее к стержню маятника недалеко от точки подвеса, как показано на рис. 178. Другой конец горизонтально расположенной пружины следует заставить двигаться по закону ? с помощью кривошипно-шатунного механизма, приводимого в движение электромотором. Действующая

на маятник со стороны пружины вынуждающая сила будет практически синусоидальна, если размах движения левого конца пружины В будет много больше амплитуды колебаний стержня маятника в точке закрепления пружины С.

Уравнение движения. Уравнение движения для этой и других подобных систем, в которых наряду с возвращающей силой и силой сопротивления на осциллятор действует вынуждающая внешняя сила, синусоидально изменяющаяся со временем, можно записать в виде

Здесь левая часть в соответствии со вторым законом Ньютона, является произведением массы на ускорение. Первый член в правой части представляет собой возвращающую силу, пропорциональную смещению из положения равновесия. Для подвешенного на пружине груза это упругая сила, а во всех других случаях, когда ее физическая природа иная, эту силу называют квазиупругой. Второе слагаемое есть сила трения, пропорциональная скорости, например сила сопротивления воздуха или сила трения в оси. Амплитуду и частоту со раскачивающей систему вынуждающей силы будем считать постоянными.

Разделим обе части уравнения (2) на массу и введем обозначения

Теперь уравнение (2) принимает вид

В отсутствие вынуждающей силы правая часть уравнения (4) обращается в нуль и оно, как и следовало ожидать, сводится к уравнению собственных затухающих колебаний.

Опыт показывает, что во всех системах под действием синусоидальной внешней силы в конце концов устанавливаются колебания, которые также происходят по синусоидальному закону с частотой вынуждающей силы со и с постоянной амплитудой а, но с некоторым сдвигом по фазе относительно вынуждающей силы. Такие колебания называются установившимися вынужденными колебаниями.

Установившиеся колебания. Рассмотрим вначале именно установившиеся вынужденные колебания, причем для простоты пренебрежем трением. В этом случае в уравнении (4) не будет члена, содержащего скорость:

Попробуем искать решение соответствующее установившимся вынужденным колебаниям, в виде

Вычислим вторую производную и подставим ее вместе с в уравнение (5):

Чтобы это равенство было справедливо в любой момент времени, коэффициенты при слева и справа должны быть одинаковы. Из этого условия находим амплитуду колебаний а:

Исследуем зависимость амплитуды а от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 179. При формула (8) дает Подставив сюда значения видим, что постоянная во времени сила просто смещает осциллятор в новое положение равновесия, сдвинутое от старого на Из (6) следует, что при смещение

как, очевидно, и должно быть.

Рис. 179. График зависимости

Фазовые соотношения. По мере роста частоты вынуждающей силы от 0 до установившиеся колебания происходят в фазе с вынуждающей силой а их амплитуда постоянно увеличивается, сначала медленно, а по мере приближения со к — все быстрее и быстрее: при амплитуда колебаний неограниченно возрастает

При значениях со, превосходящих частоту собственных колебаний формула (8) дает для а отрицательное значение (рис. 179). Из формулы (6) ясно, что при колебания происходят в противофазе с вынуждающей силой: когда сила действует в одну сторону, осциллятор смещен в противоположную. При неограниченном увеличении частоты вынуждающей силы амплитуда колебаний стремится к нулю.

Амплитуду колебаний во всех случаях удобно считать положительной, чего легко добиться, вводя сдвиг фаз между вынуждающей

силой и смещением:

Здесь а по-прежнему дается формулой (8), а сдвиг фазы равен нулю при и равен при Графики зависимости от частоты вынуждающей силы показаны на рис. 180.

Рис. 180. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний

Резонанс. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы имеет немонотонный характер. Резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте осциллятора называется резонансом.

Формула (8) дает выражение для амплитуды вынужденных колебаний в пренебрежении трением. Именно с этим пренебрежением связано обращение амплитуды колебаний в бесконечность при точном совпадении частот Реально амплитуда колебаний в бесконечность, конечно же, обращаться не может.

Это означает, что при описании вынужденных колебаний вблизи резонанса учет трения принципиально необходим. При учете трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе получается конечной. Она будет тем меньше, чем больше трение в системе. Вдали от резонанса формулой (8) можно пользоваться для нахождения амплитуды колебаний и при наличии трения, если оно не слишком сильное, т. е. Более того, эта формула, полученная без учета трения, имеет физический смысл только тогда, когда трение все же есть. Дело в том, что само понятие установившихся вынужденных колебаний применимо только к системам, в которых есть трение.

Если бы трения совсем не было, то процесс установления колебаний продолжался бы бесконечно долго. Реально это означает, что полученное без учета трения выражение (8) для амплитуды вынужденных колебаний будет правильно описывать колебания в системе только спустя достаточно большой промежуток времени после начала действия вынуждающей силы. Слова «достаточно большой промежуток времени» означают здесь, что уже закончился переходный процесс, длительность которого совпадает с характерным временем затухания собственных колебаний в системе.

При малом трении установившиеся вынужденные колебания происходят в фазе с вынуждающей силой при и в противофазе при как и в отсутствие трения. Однако вблизи резонанса фаза меняется не скачком, а непрерывно, причем при точном совпадении частот смещение отстает по фазе от вынуждающей силы на (на четверть периода). Скорость изменяется при этом в фазе с вынуждающей силой, что обеспечивает наиболее благоприятные условия для передачи энергии от источника внешней вынуждающей силы к осциллятору.

• Какой физический смысл имеет каждый из членов в уравнении (4), описывающем вынужденные колебания осциллятора?

• Что такое установившиеся вынужденные колебания?

• При каких условиях можно использовать формулу (8) для амплитуды установившихся вынужденных колебаний, полученную без учета трения?

• Что такое резонанс? Приведите известные вам примеры проявления и использования явления резонанса.

• Опишите сдвиг по фазе между вынуждающей силой и смещением при разных соотношениях между частотой со в вынуждающей силы и собственной частотой осциллятора.

• Чем определяется длительность процесса установления вынужденных колебаний? Дайте обоснование ответа.

Векторные диаграммы. Убедиться в справедливости приведенных выше утверждений можно, если получить решение уравнения (4), описывающее установившиеся вынужденные колебания при наличии трения. Поскольку установившиеся колебания происходят с частотой вынуждающей силы со и некоторым сдвигом по фазе то решение уравнения (4), соответствующее таким колебаниям, следует искать в виде

При этом скорость и ускорение, очевидно, тоже будут изменяться со временем по гармоническому закону:

Амплитуду а установившихся вынужденных колебаний и сдвиг фазы удобно определять с помощью векторных диаграмм. Воспользуемся тем обстоятельством, что мгновенное значение любой изменяющейся по гармоническому закону величины можно представить как проекцию вектора на некоторое заранее выбранное направление, причем сам вектор равномерно вращается в плоскости с частотой со, а его неизменная длина равна

амплитудному значению этой осциллирующей величины. В соответствии с этим сопоставим каждому члену уравнения (4) вращающийся с угловой скоростью вектор, длина которого равна амплитудному значению этого члена.

Поскольку проекция суммы нескольких векторов равна сумме проекций этих векторов, то уравнение (4) означает, что сумма векторов, сопоставляемых членам, стоящим в левой части, равна вектору, сопоставляемому величине стоящей в правой части. Чтобы построить эти векторы, выпишем мгновенные значения всех членов левой части уравнения (4), учитывая соотношения

Из формул (13) видно, что вектор длины сопоставляемый величине опережает на угол вектор сопоставляемый величине Вектор длины сопоставляемый члену х, опережает на вектор длины т. е. эти векторы направлены в противоположные стороны.

Взаимное расположение этих векторов для произвольного момента времени показано на рис. 181. Вся система векторов вращается как целое с угловой скоростью со против часовой стрелки вокруг точки О.

Рис. 181. Векторная диаграмма вынужденных колебаний

Рис. 182. Вектор сопоставляемый внешней силе

Мгновенные значения всех величин получаются проецированием соответствующих векторов на заранее выбранное направление Вектор, сопоставляемый правой части уравнения (4), равен сумме векторов, изображенных на рис. 181. Это сложение показано на рис. 182. Применяя теорему Пифагора, получаем

откуда находим амплитуду установившихся вынужденных колебаний а:

Сдвиг фазы между вынуждающей силой и смещением как видно из векторной диаграммы на рис. 182, отрицателен, так как вектор длины отстает от вектора Поэтому

Итак, установившиеся вынужденные колебания происходят по гармоническому закону (10), где а и определяются формулами (14) и (15).

Рис. 183. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы

Резонансные кривые. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы Исследуем зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы. При малом затухании у эта зависимость имеет очень резкий характер. Если то при стремлении со к частоте свободных колебаний амплитуда вынужденных колебаний а стремится к бесконечности, что совпадает с полученным ранее результатом (8). При наличии затухания амплитуда колебаний в резонансе уже не обращается в бесконечность, хотя и значительно превышает амплитуду колебаний под действием внешней силы той же величины, но имеющей частоту, далекую от резонансной. Резонансные кривые при разных значениях постоянной затухания у приведены на рис. 183. Для нахождения частоты резонанса сорез, нужно найти, при каком со подкоренное выражение в формуле (14) имеет минимум. Приравнивая производную этого выражения по со нулю (или дополняя его до полного квадрата), убеждаемся, что максимум амплитуды вынужденных колебаний имеет место при

Резонансная частота оказывается меньше частоты свободных колебаний системы. При малых 7 резонансная частота практически совпадает с При стремлении частоты вынуждающей силы к бесконечности, т. е. при амплитуда а, как видно из (14), стремится к нулю. При т. е. при действии постоянной внешней силы, амплитуда Если подставить сюда и получим Это есть статическое смещение осциллятора из положения равновесия под действием постоянной силы

Максимальная амплитуда. Амплитуду вынужденных колебаний в резонансе ярез находим, подставляя частоту сорез из (16) в выражение (14):

Амплитуда колебаний в резонансе тем больше, чем меньше постоянная затухания у. При изучении вынужденных колебаний вблизи резонанса трением пренебрегать нельзя, как бы мало оно ни было: только при учете затухания амплитуда в резонансе ярез получается конечной.

Интересно сравнить значение арез со статическим смещением под действием силы Составляя отношение получаем при малом затухании

Подставляя сюда и учитывая, что есть время жизни собственных затухающих колебаний для той же системы в отсутствие внешних сил, находим

Но есть число колебаний, совершаемых затухающим осциллятором за время жизни колебаний т. Таким образом, резонансные свойства системы характеризуются тем же параметром, что и собственные затухающие колебания.

Фазовые соотношения. Формула (15) дает возможность проанализировать изменение сдвига фазы между внешней силой и смещением при вынужденных колебаниях. При значение близко к нулю. Это означает, что при низких частотах смещение осциллятора происходит в фазе с внешней силой. При медленном вращении кривошипа на рис. 178 маятник движется в такт с правым концом шатуна.

Если то стремится к нулю со стороны отрицательных значений, т. е. сдвиг фазы равен и смещение осциллятора происходит в противофазе с вынуждающей силой. В резонансе, как видно из (15), смещение отстает по фазе от внешней силы на Вторая из формул (13) показывает, что при этом внешняя сила изменяется в фазе со скоростью т. е. все время действует в направлении движения. Что именно так и должно быть, ясно из интуитивных соображений.

Резонанс скорости. Из формулы (13) видно, что амплитуда колебаний скорости при установившихся вынужденных колебаниях равна . С помощью (14) получаем

Рис. 184. Амплитуда скорости при установившихся вынужденных колебаниях

Зависимость амплитуды скорости от частоты внешней силы показана на рис. 184. Резонансная кривая для скорости хотя и похожа на резонансную кривую для смещения, но отличается от нее в некоторых отношениях. Так, при т. е. при действии постоянной силы, осциллятор испытывает статическое смещение из положения равновесия и скорость его после того, как закончится переходный процесс, равна нулю. Из формулы (19) видно, что амплитуда скорости при обращается в нуль. Резонанс скорости имеет место при точном совпадении частоты внешней силы с частотой свободных колебаний

Как строятся векторные диаграммы для установившихся вынужденных колебаний при синусоидальном внешнем воздействии?

• Чем определяется частота, амплитуда и фаза установившихся вынужденных гармонических колебаний?

• Опишите различия резонансных кривых для амплитуды смещения и амплитуды скорости. Какими характеристиками колебательной системы определяется острота резонансных кривых?

• Как связан характер резонансной кривой с параметрами системы, определяющими затухание ее собственных колебаний?