§ 13. Траектории

Рассмотренное выше описание движения частицы с помощью понятия радиуса-вектора изменяющегося со временем,

валось на использовании определенной системы отсчета. Решение получавшихся векторных уравнений для перемещения частицы проводилось путем привлечения соответствующих им геометрических образов. В рассмотренных случаях при равномерном и равнопеременном движениях эти образы сводились к треугольникам, образованным складываемыми векторами.

Для многих задач, однако, интерес представляют не только перемещения частиц в пространстве, но и траектории их движения. Для исследования криволинейных траекторий удобно использовать другой математический аппарат, связанный с проецированием векторных уравнений на оси системы координат.

Системы координат. Наиболее простой и распространенной является так называемая декартова система координат, образованная тремя взаимно перпендикулярными осями. С помощью такой системы положение точки в пространстве можно задать, указав три ее координаты (рис. 53). Для нахождения декартовых координат х, у, z точки А нужно опустить из нее перпендикуляры на оси х, у, z (или на их продолжения). Координаты оснований этих перпендикуляров, т. е. точек — это и есть декартовы координаты точки А. Иногда это проецирование бывает удобно выполнить в два этапа: сначала опустить из точки А перпендикуляр на одну из координатных плоскостей, например (рис. 53), а затем из точки А, т. е. проекции точки А на эту плоскость, опустить перпендикуляры на соответствующие оси.

Рис. 53. Декартова система координат

Проекциями вектора, т. е. направленного отрезка, соединяющего две точки, называют разности координат точек конца и начала этого вектора.

Зафиксируем некоторую систему координат, связав ее начало и направления осей с определенным телом отсчета. Тогда для задания положения частицы в физическом пространстве вместо радиуса-вектора можно рассматривать три его проекции х, у, z на оси выбранной системы координат. Поскольку начало радиуса-вектора по определению всегда находится в начале координат, проекции радиуса-вектора просто совпадают с координатами х, у, z частицы.

Координаты как проекции радиуса-вектора. Таким образом, для описания движения частицы можно задавать либо одну векторную

функцию времени либо три скалярных функции При этом любое векторное равенство, например

эквивалентно трем скалярным, получаемым путем почленного проецирования его на оси выбранной системы координат:

где буквами с индексами обозначены проекции векторов на соответствующие оси координат.

Подчеркнем, что одному и тому же векторному равенству (1) могут соответствовать различные системы равенств (2), потому что положение начала координат и ориентация осей координат в пространстве могут быть выбраны по-разному: с одной и той же физической системой отсчета можно связать различные системы координат. Их конкретный выбор определяется исключительно соображениями удобства.

Траектория — плоская кривая. Как мы видели, при движении с постоянным ускорением, которое описывается уравнением (1), траектория движения представляет собой плоскую кривую, т. е. все ее точки лежат в одной плоскости. Положение в пространстве плоскости, в которой происходит движение, задается векторами ускорения а и начальной скорости Поэтому ориентацию осей координат всегда можно выбрать так, чтобы эта плоскость совпадала с одной из координатных плоскостей, например с плоскостью Тогда векторное уравнение (1) сводится к двум скалярным — первым двум уравнениям системы (2). При этом еще остается произвол в выборе ориентации осей х и у, от которого зависит конкретный вид этих уравнений.

Напомним, что проекция вектора на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между направлением вектора и положительным направлением этой оси.

Сопоставим исследование векторного уравнения (1), описывающего движение с постоянным ускорением, двумя рассмотренными способами — опираясь на геометрический образ этого уравнения и проецируя его на оси выбранной системы координат. Для этого вернемся к задачам 1 и 2 § 12 и рассмотрим их решение вторым способом.

Поместим начало координат в точку, откуда бросают тело, и направим ось х по горизонтали, а ось у — вертикально вверх так, чтобы вектор начальной скорости лежал в плоскости Тогда проекции на оси х и у будут равны соответственно где — угол, образованный вектором с осью х. Проекции

вектора ускорения на оси равны соответственно 0 и Таким образом, вместо векторного уравнения получим

Полное время полета камня находится из второго уравнения, если положить в нем — упавшее на землю тело находится на том же уровне, что и в момент бросания:

Подставляя это значение в первое уравнение (3), находим дальность I по горизонтали (см. задачу 2):

Для ответа на вопрос задачи 1, когда в условии задано время полета, а не направление начальной скорости, нужно выразить из второго уравнения (3), положив в нем

Теперь для нахождения дальности полета остается подставить в первое уравнение выразив его через из (5):

В результате для дальности I полета получим

что, разумеется, совпадает с приведенным в предыдущем параграфе ответом.

Рассмотренные примеры показывают эквивалентность обоих методов, хотя использование проекций на оси координат иногда приводит к более громоздким алгебраическим преобразованиям.

Рекомендуем попытаться решить этим методом еще и задачу 3 § 12 и обе приведенные там задачи для самостоятельного решения.

Удобство использования координат проявляется, как уже отмечалось, при исследовании формы траектории.

Уравнение траектории. Будем опять для определенности рассматривать свободное движение вблизи поверхности земли. В таком случае зависимость координат тела от времени дается уравнениями (3). Чтобы получить уравнение траектории нужно исключить время из этих уравнений. Выражая из первого уравнения:

и подставляя во второе, получаем

Здесь мы воспользовались тем, что

Соотношение (6) представляет собой уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее ветви направлены вниз, так как коэффициент при отрицателен. Найдем положение вершины траектории. Выделим в правой части (6) квадрат разности, рассматривая член, содержащий как квадрат первого слагаемого, а член, содержащий х, — как удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Для этого нужно прибавить и вычесть некоторый свободный член, не содержащий х:

Легко видеть, что выражение в скобках представляет собой квадрат разности

Очевидно, что максимум правой части (7) достигается при том значении х, при котором выражение (8) обращается в нуль:

Соответствующее максимальное значение правой части (7), т. е. высота вершины параболы, есть

Координаты вершины параболической траектории (9) и (10) можно найти и более простым путем. Поскольку парабола — это симметричная кривая, ее вершина лежит посередине между точками пересечения с осью х. Одна из этих точек — начало координат а другая соответствует максимальной дальности полета из формулы (4). Поэтому вершина параболы находится при что совпадает с (9). При этом ее высота получается подстановкой этого значения х в уравнение траектории (6).

Независимость движений. Соотношения (9) и (10) можно получить и на основе принципа независимости движений. Рассматривая второе уравнение (3) как уравнение движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью , найдем максимальную высоту подъема совпадающую с высотой

вершины параболы из (10). Подставляя время подъема в первое уравнение (3), описывающее равномерное движение по горизонтали со скоростью , найдем значение координаты этой вершины, совпадающее с (9). Но чтобы убедиться в том, что траектория представляет собой параболу, все равно необходимо обратиться к формуле (6).

Если интересоваться тем, как будет меняться траектория при изменении направления начальной скорости, т. е. угла а, то удобнее преобразовать уравнение траектории (6) таким образом, чтобы оно содержало только какую-нибудь одну тригонометрическую функцию угла а. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством Тогда

Подставляя это значение в (6), находим

Уравнение (11) описывает семейство параболических траекторий, зависящее от двух параметров: модуля начальной скорости и угла а. Решение кинематических задач о свободном падении в однородном поле тяжести фактически сводится к исследованию этого семейства.

Граница достижимых целей. В качестве примера рассмотрим баллистическую задачу о стрельбе из ружья, пренебрегая сопротивлением воздуха. Прежде всего зададимся вопросом, как следует стрелять, чтобы попасть в цель, находящуюся на расстоянии по горизонтали и на высоте над горизонтальной плоскостью, проходящей через ружье (рис. 54). Стреляя в цель, мы можем менять наклон ствола ружья а, но, разумеется, мы не в силах менять значение начальной скорости так как она зависит от заряда патронов и устройства ружья. Будем считать известной заданной величиной. Под каким же углом к горизонту следует направить ствол ружья?

Рис. 54. Стрельба в цель, находящуюся на расстоянии и высоте

Чтобы ответить на этот вопрос, потребуем, чтобы траектория, описываемая уравнением (11), проходила через цель, т. е. точку с координатами

Это квадратное уравнение относительно . Решая его, получаем для корней следующее выражение:

Если дискриминант неотрицателен, т. е.

то уравнение имеет вещественные корни и, следовательно, при данной начальной скорости пули в цель попасть можно. Если при этом дискриминант положителен, т. е. уравнение (12) имеет два различных вещественных корня, то в цель пуля может попасть по двум различным траекториям. Траектория с меньшим значением угла а называется настильной, с большим — навесной. При равном нулю дискриминанте, когда корни (13) совпадают, в цель при данном значении начальной скорости можно попасть единственным образом.

Если же дискриминант отрицателен, то уравнение (12) не имеет вещественных корней и в цель при данном значении попасть нельзя ни при каком значении угла а: ни одна из траекторий семейства (11) не «дотягивает» до этой цели. Отсюда ясно, что равенство нулю дискриминанта определяет ту минимальную начальную скорость при которой еще можно попасть в данную цель:

Для тангенса угла наклона ствола ружья при равном нулю дискриминанте имеем из (13)

С другой стороны, при заданном значении равенство нулю дискриминанта определяет координаты наиболее удаленных целей, в которые еще можно попасть, т. е. границу области, простреливаемой из данного ружья. Выражая из (14) А в случае равенства, находим

Эта формула определяет наибольшую высоту цели, находящейся на расстоянии от ружья по горизонтали, в которую еще можно попасть при данном значении С ее помощью легко получить уравнение границы простреливаемой области, если заменить координаты определенной наиболее удаленной цели и на переменные величины — координаты точек искомой границы:

Это уравнение параболы с вершиной при Ее ветви направлены вниз и пересекают горизонтальную ось в точках Все траектории с данным при разных значениях а, т. е. семейство парабол (11), целиком лежат под этой границей, и каждая из траекторий касается границы в одной точке. Другими словами, граница является огибающей для семейства таких траекторий. Через каждую цель, расположенную ниже границы, проходят две траектории, причем навесная касается границы до попадания в цель.

Рис. 55. Граница простреливаемой области

Фактически граница простреливаемой области представляет собой некоторую поверхность, а парабола (16) есть сечение этой поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через начало координат. Вся поверхность может быть получена вращением параболы (16) вокруг оси у.

Другой способ нахождения границы. Если с самого начала интересоваться только границей простреливаемой области, то ее можно найти сразу с помощью уравнения траектории (11). Действительно, рассмотрим цели, находящиеся на одной вертикали, отстоящей от ружья на расстояние х, и найдем на этой вертикали самую высокую точку, в которую еще может попасть пуля. Эта точка, очевидно, принадлежит границе. Таким образом, задача сводится к нахождению максимума у при заданном х, т. е. максимума квадратного трехчлена (11) относительно а. Квадратный трехчлен имеет максимум при Соответствующее максимальное значение у получается подстановкой в (11). Результат совпадает с формулой (16).

Полученные выше результаты, как нетрудно убедиться, содержат все хорошо известные частные случаи. Так, например, максимальная высота подъема получается из уравнения (16) при , а наибольшая дальность полета пули по горизонтали при условии, что ружье и цель находятся на одной высоте, получается из (16) при

Задачи для самостоятельного решения

(см. скан)

(см. скан)

• Почему траектория движения частицы с постоянным ускорением представляет собой плоскую кривую? Как расположена в пространстве плоскость, в которой лежит траектория?

• Сформулируйте правило нахождения проекции вектора на ось системы координат. В каком случае проекция будет положительной? отрицательной? равной нулю?

• В какой точке параболической траектории тела, брошенного под углом к горизонту, его скорость минимальна?

• Требуется попасть в цель, находящуюся на высоте и расстоянии от точки бросания. На первый взгляд кажется, что требуемая начальная скорость будет наименьшей, если высшая точка траектории совпадает с целью. Опровергните это утверждение.

Нахождение экстремумов. Нахождение координат вершины траектории можно выполнить с помощью известных правил исследования функции на экстремум на основе дифференциального исчисления. Положение максимума функции задаваемой выражением (6), определяется приравниванием нулю производной по х. Вычисляя эту производную, имеем

откуда для х получаем значение, даваемое формулой (9).

Аналогично можно поступать и в других случаях, где требуется нахождение экстремальных значений. Например, для определения минимального значения начальной скорости обеспечивающей попадание в цель, находящуюся на высоте и расстоянии следует выразить из как функцию переменной , продифференцировать функцию по и приравнять производную нулю. Рассматривать следует только ту область значений где При этом получается квадратное относительно уравнение, у которого один

из корней (положительный) дает направление начальной скорости, при котором ее модуль минимален. Второй корень физического смысла не имеет.

Обратимость движения. Используя представление о траектории, можно конкретизировать смысл обратимости механического движения, о которой упоминалось еще в самом начале при обсуждении свойств симметрии пространства и времени.

Рассмотрим движение частицы в заданном силовом поле, когда ее ускорение в каждой точке имеет определенное значение, не зависящее от скорости. Каким будет движение этой частицы, если в какой-либо точке ее траектории изменить направление скорости на противоположное? Математически это эквивалентно замене на во всех уравнениях. В уравнение траектории время не входит, и частица будет двигаться «вспять» по той же самой траектории. Более того, промежутки времени между прохождением двух любых точек траектории будут одинаковы как при прямом, так и при обратном движении. Каждой точке траектории соответствует определенное значение модуля скорости частицы независимо от направления движения по данной траектории.

Указанные свойства особенно наглядны для совершающего колебания маятника.

Все это справедливо, разумеется, лишь тогда, когда можно пренебречь трением — сопротивлением движению. Другими словами, обратимость движения имеет место тогда, когда выполняется закон сохранения механической энергии.

Задача

Обратимость движения. Стальной упругий шарик свободно падает без начальной скорости с некоторой высоты Н.

Рис. 56. Отражение падающего шарика от наклонной плиты

На какой высоте и под каким углом а к горизонту следует подставить мраморную плиту (рис. 56), чтобы упруго отскочивший от нее шарик улетел как можно дальше по горизонтали? Чему равна эта максимальная дальность?

Решение. Эту задачу можно решить вообще практически без всяких расчетов, если воспользоваться обратимостью механического движения. Будем рассуждать следующим образом. Пусть мы нашли такие значения Л и а, при которых горизонтальная дальность полета отскочившего шарика оказалась максимальной. Скорость шарика в момент падения на землю равна и не зависит от значения Л и а. (Проще всего это увидеть, учитывая закон сохранения энергии.) Если в точке падения шарика на землю направление его скорости изменить на противоположное, то он проделает весь свой полет в обратном направлении и после отражения от плиты поднимется на прежнюю высоту. Естественно, что и в этом обращенном движении дальность его полета по горизонтали будет наибольшей. Но мы знаем, что наибольшая горизонтальная дальность полета при данной начальной скорости получается, если ее направление составляет угол 45° с горизонтом при условии, что точка падения находится на одном горизонтальном уровне с начальной точкой. При более высоком расположении точки падения горизонтальная дальность полета может только уменьшиться.

Рис. 57. Расположение плиты для наибольшей дальности полета шарика

Поэтому подставить плиту нужно как можно ниже, т. е. при и ориентировать ее так, чтобы вектор скорости отскочившего шарика составлял угол 45° с горизонтом (рис. 57). Итак, плиту нужно наклонить на 22,5° к горизонту. В соответствии с формулой (4) максимальная дальность полета равна

Из приведенных рассуждений ясно, что горизонтальную дальность полета можно было бы увеличить еще больше, если бы условие задачи позволяло расположить плиту ниже уровня земли. При этом, разумеется, плиту нужно наклонить на несколько меньший угол.

Задача для самостоятельного решения

В условии разобранной выше задачи плита, от которой отскакивает шарик, расположена на глубине ниже уровня земли. Под каким углом а к горизонту следует наклонить плиту, чтобы получить максимальную горизонтальную дальность полета шарика? Какова эта максимальная дальность?

• Нарисуйте годограф вектора скорости тела, брошенного под углом к горизонту.

• Докажите, что в рассмотренной выше задаче дальность полета по горизонтали можно сделать больше если поместить плиту ниже уровня земли и ориентировать ее должным образом.

• Докажите, что при наличии трения обратимость движения отсутствует.