§ 31. Механическая работа. Кинетическая энергия

Наряду с временнбй характеристикой действия силы — ее импульсом — в механике столь же важную роль играет и пространственная

характеристика действия силы, называемая механической работой. Работа силы при перемещении тела, к которому она приложена, определяется как скалярное произведение и

где а — угол между направлениями и Из определения (1) следует, что работа некоторой силы равна произведению проекции силы на направление перемещения и модуля этого перемещения, или наоборот: произведению модуля силы и проекции перемещения на направление действия силы.

Свойства работы. Если на тело действуют сразу несколько сил, то можно говорить о работе каждой из них в отдельности и о работе равнодействующей этих сил, т. е. их векторной суммы. Из определения работы следует, что работа суммы сил равна сумме работ каждой из них: когда имеем

так как проекция суммы векторов равна проекции результирующего вектора

Работа силы — это скалярная алгебраическая величина, которая, как следует из (1), может быть положительной (когда сила направлена вдоль перемещения или образует с ним острый угол), отрицательной (когда сила направлена противоположно перемещению или образует с ним тупой угол) и равной нулю (если сила направлена перпендикулярно перемещению или если перемещения тела, на которое она действует, вообще не происходит).

Рассмотрим, например, работу сил, действующих на ящик при его перемещении по горизонтальному полу, когда его тянут за веревку, направленную под углом к горизонту (рис. 111).

Сила натяжения веревки при перемещении ящика вправо на расстояние совершает положительную работу, равную Работа силы трения отрицательна и равна так как угол между равен а его косинус равен —1. При равномерном движении ящика, когда сумма работ сил и равна нулю. Если же ящик разгоняется, т. е. сумма работ этих сил положительна. Сила реакции опоры и сила тяжести при горизонтальном перемещении ящика работы не совершают, так как они перпендикулярны перемещению и косинусы соответствующих углов равны нулю.

Приведенное определение (1) работы как скалярного произведения векторов силы и перемещения справедливо при условии, что сила постоянна на всем перемещении Подчеркнем, что участок

траектории между начальной и конечной точками перемещения может быть любым, в том числе и криволинейным.

Рис. 111. Работа, совершаемая разными силами, при перемещении ящика

Рис. 112. Работа силы на перемещении равна сумме работ на разных участках

Единственным условием, определяющим выбор является требование неизменности силы (как по модулю, так и по направлению) на всем протяжении этого участка траектории.

Действительно, полное перемещение можно представить как векторную сумму более «мелких» перемещений (рис. 112): Подставляя эту сумму в выражение (1) для работы, получаем

где — работа силы на отдельном «мелком» перемещении Таким образом, при постоянной силе работа на всем перемещении распадается на сумму работ этой силы на отдельных участках, причем сумма не зависит от того, каким образом все перемещение разбито на отдельные части.

Работа переменной силы. Если при перемещении тела действующая на него сила изменяется, то для вычисления ее работы траекторию нужно разбить на малые участки, в пределах которых силу можно считать постоянной. Тогда работа на отдельном участке траектории, характеризуемом вектором перемещения определяется той же формулой (1):

где — значение силы на этом участке. Полная работа рассматриваемой силы на всей траектории определяется как алгебраическая сумма работ на отдельных участках:

Соотношение (3) означает, что работа силы на всей траектории выражается интегралом, вычисляемым вдоль траектории:

где 1 и 2 — начальная и конечная точки траектории.

Мощность. Отношение работы к промежутку времени в течение которого она совершена, называется средней мощностью за время

Мгновенной мощностью или просто мощностью Р называется предел этого отношения при

Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость. Мощность — это основная характеристика любой машины или устройства, используемого для совершения работы.

Единицы работы и мощности. Напомним, что в СИ работа измеряется в джоулях: джоуль (Дж) — это работа, совершаемая силой в 1 ньютон при перемещении тела на 1 метр в направлении действия силы: 1 Дж

Мощность измеряется в джоулях в секунду. Такая единица мощности называется ваттом . В технике используются также единицы в тысячу и в миллион раз больше ватта, имеющие названия соответственно киловатт и мегаватт .

В системе единиц СГС работа измеряется в эргах: дин -1 см. Мощность измеряется в эргах в секунду Специального названия эта единица мощности не имеет.

Кинетическая энергия. Временная характеристика действия силы, т. е. импульс силы, определяет, как мы видели, изменение импульса тела, на которое она действует. Пространственная характеристика действия силы, т. е. работа силы, определяет изменение кинетической энергии тела.

Кинетической энергией материальной точки массы движущейся со скоростью называется скалярная величина, пропорциональная массе и квадрату скорости:

Покажем, что изменение этой величины при движении тела равно работе векторной суммы всех действующих на тело сил.

Начнем с простейшего случая, когда на покоившееся тело начинает действовать постоянная сила Тело будет двигаться в направлении действующей силы с постоянным ускорением Поэтому для работы силы учитывая, что угол между и равен нулю, имеем

Так как кинетическая энергия покоившегося тела равна нулю, то совершенная при разгоне работа равна изменению кинетической энергии тела.

Пусть теперь в начальный момент тело имеет скорость а действующая на него с этого момента постоянная сила может и не совпадать по направлению со скоростью. В этом случае для работы силы с помощью второго закона Ньютона имеем

Видно, что и в этом случае изменение кинетической энергии тела равно работе всех действующих на него сил. Это утверждение называется теоремой о кинетической энергии. Оно представляет собой следствие второго закона Ньютона.

Теорема о кинетической энергии. Докажем теорему о кинетической энергии для общего случая, когда в процессе перемещения тела сила не остается постоянной. Перемещение всегда можно разбить на столь малые участки, чтобы силу в пределах каждого участка можно было считать постоянной. Тогда для каждого участка будет справедливо соотношение (7). Сложим почленно все выражения (7), записанные для каждого из участков. В левой части получим полную работу на всем перемещении. При сложении правых частей следует учесть, что конечная скорость на каждом участке совпадает с начальной скоростью на следующем. В результате в правой части останутся только два слагаемых, соответствующих конечной скорости на последнем участке и начальной скорости на первом:

Использование теоремы о кинетической энергии облегчает решение многих механических задач.

Задача

Выскальзывающая доска. На конце доски длины и массы М находится маленький брусок массы (рис. 113). Доска может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения бруска о

поверхность доски равен Какую горизонтальную скорость нужно толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула из-под бруска?

Решение. При сообщении доске горизонтальной скорости резким толчком или ударом брусок не получает скорости относительно земли, так как действующая на него со стороны доски сила трения не превосходит значения и за короткое время удара не может сообщить бруску заметного импульса.

После толчка в системе отсчета, связанной с землей, из-за сил взаимного трения брусок движется равноускоренно, а доска — равнозамедленно. Если начальная скорость доски невелика, то может наступить такой момент, когда скорости доски и бруска примут одинаковые значения. В этот момент проскальзывание прекращается, далее доска и брусок движутся равномерно с одинаковой скоростью как одно тело, и доска, разумеется, уже не выскользнет из-под бруска. Если же начальная скорость доски достаточно велика, то скорости доски и бруска могут не успеть сравняться за то время, пока брусок скользит вдоль всей доски. В этом случае доска выскользнет из-под бруска.

Обозначим расстояние, которое брусок должен пройти по доске до момента прекращения проскальзывания, через I. Очевидно, что при выполнении неравенства доска не выскользнет из-под бруска. В противном случае доска выскользнет.

Поскольку по условию задачи между доской и горизонтальной плоскостью трения нет, то направленный горизонтально полный импульс системы остается без изменения. Так как после прекращения относительного проскальзывания брусок и доска движутся с одинаковой скоростью то

Применим теорему о кинетической энергии для каждого из тел. Действующие по вертикали силы тяжести и силы реакции работы не совершают, ибо направлены перпендикулярно перемещениям доски и бруска.

Рис. 113. К определению условий выскальзывания доски

Рис. 114. Перемещение доски и бруска

Поэтому нужно рассматривать только работу сил трения. Перемещения доски и бруска относительно земли показаны на рис. 114. Разгоняющая брусок до скорости сила трения совершает положительную работу поэтому

Тормозящая доску сила трения совершает отрицательную работу, равную

Обратим внимание на то, что точки приложения сил трения, действующих на брусок и на доску, совершают одинаковые перемещения относительно земли, равные перемещению бруска Однако в выражениях (10) и (11), в соответствии с определением работы (1), фигурируют перемещения самих тел, на которые действуют эти силы, а не перемещения точек приложения сил.

Складывая почленно выражения (10) и (11), получаем

где, как следует из рис. 114, представляет собой перемещение бруска относительно доски. Равенство (12) означает, что изменение кинетической энергии всей системы равно суммарной работе действующих в ней сил трения. Выражая конечную скорость и из уравнения (9) и подставляя в (12), находим

Если вычисленное по формуле (13) значение окажется больше то это и будет означать, что при такой начальной скорости доски она выскользнет из-под бруска. Отсюда находим необходимое для этого значение «0:

Задача для самостоятельного решения

(см. скан)

(см. скан)