§ 23. Движение в поле тяготения

Рассмотрим некоторые примеры движения тел, когда единственная действующая на тело сила — это сила тяготения. В случаях, когда речь идет о движении брошенного камня или снаряда, выпущенного из пушки, поле тяготения Земли в пределах траектории можно считать однородным. При этом действующая на тело сила всюду одинакова и в соответствии со вторым законом Ньютона движение происходит с постоянным ускорением Фактически это соответствует приближению «плоской Земли», когда вектор ускорения всюду направлен одинаково, вертикально вниз, а его модуль принимается равным значению напряженности гравитационного поля вблизи поверхности Земли. Такое движение было подробно изучено ранее в главе, посвященной кинематике. Напомним, что траектория в этом случае представляет собой параболу с вертикальной осью симметрии.

Приближение «плоской Земли» справедливо лишь при сравнительно небольших скоростях, пока перемещение тела мало по сравнению с радиусом Земли. В противном случае необходимо учитывать изменение вектора напряженности гравитационного поля либо по модулю (при движении в радиальном направлении), либо по направлению (при движении вдоль поверхности шарообразной Земли), либо то и другое вместе.

Выясним сначала, возможно ли свободное движение тела параллельно земной поверхности. Очевидно, что в приближении «плоской Земли» это невозможно, так как параболическая траектория непременно пересечет плоскую поверхность Земли. Если же принять во внимание кривизну земной поверхности, то при некотором (достаточно большом) значении горизонтальной скорости движение вдоль поверхности становится возможным.

Рис. 94. Движение по низкой круговой орбите

Первая космическая скорость. В этом случае траектория тела представляет собой окружность, стелющуюся параллельно земной поверхности (рис. 94), а соответствующая скорость движения тела называется первой космической скоростью

Ее значение легко найти из условия, что в рассматриваемом случае в соответствии со вторым законом Ньютона центростремительное ускорение телу сообщает сила тяжести

откуда

Приведенное значение первой космической скорости получается при подстановке в формулу значения ускорения свободного падения и радиуса Земли км.

В действительности такое движение, разумеется, невозможно из-за сопротивления воздуха. Движение спутника Земли по круговой орбите возможно только тогда, когда орбита пролегает выше атмосферы. Самые низкие круговые орбиты спутников проходят на высоте более 100 км.

Круговая скорость. Скорость на такой круговой орбите радиуса называется круговой, и ее значение зависит от высоты орбиты над поверхностью Земли. Для ее определения в правую часть уравнения второго закона Ньютона (1) следует вместо подставить значение силы тяготения на расстоянии от центра Земли:

откуда

Формуле (4) можно придать другой, несколько более удобный вид, если выразить через ускорение свободного падения поверхности Земли: Тогда

С увеличением высоты орбиты круговая скорость уменьшается. Для высот , малых по сравнению с радиусом Земли выражение для можно упростить, используя приближенную формулу

В этом случае из (5) получаем

Из (6) видно, что для круговой орбиты на высоте, например, 200 км скорость меньше первой космической приблизительно на 1/64 ее часть, т. е. на 124 м/с.

Задачи

1. Расстояние до Луны. Звездный месяц, т. е. период Т обращения Луны вокруг Земли в гелиоцентрической системе отсчета, равен 27,32 суток. Зная радиус Земли км и ускорение свободного падения у ее поверхности найдите расстояние до Луны.

Решение. Считая, что Луна движется вокруг Земли по круговой орбите радиуса и применяя второй закон Ньютона к ее движению под действием силы притяжения к Земле, получаем, аналогично (5), для скорости Луны

Скорость связана с радиусом орбиты Луны и периодом обращения Т соотношением Подставляя ил в (7), находим

2. Плотность солнечного вещества. Зная радиус Солнца км, радиус земной орбиты км и период обращения Земли вокруг Солнца год, найдите среднюю плотность солнечного вещества. Найдите также минимально возможный период обращения спутника Солнца.

Решение. Применяя второй закон Ньютона к движению Земли по круговой орбите вокруг Солнца, аналогично (4) получаем

где — масса Солнца. Подставляя сюда значение скорости для массы Солнца находим

Отсюда для средней плотности солнечного вещества получаем

Минимальный период обращения был бы у спутника Солнца, обращающегося по орбите, стелющейся над его поверхностью, так как именно у такого спутника длина орбиты наименьшая, а скорость наибольшая. Это ясно и непосредственно из третьего закона Кеплера. Искомый минимальный период можно выразить через среднюю плотность солнечного вещества прямо из формулы (9), положив в ней

что составляет менее трех часов. Обратим внимание на то, что период обращения спутника по стелющейся орбите зависит только от средней плотности вещества, из которого состоит центральное притягивающее тело, и не зависит от его размеров.

Кеплерово движение. Круговое движение под действием ньютоновской силы притяжения представляет собой частный случай так называемого кеплерова движения, описываемого законами Кеплера. Чтобы спутник, поднятый на некоторую высоту, двигался по круговой орбите, ему нужно сообщить вполне определенную горизонтальную скорость. Если в какой-либо точке сообщить спутнику горизонтальную скорость, несколько большую круговой, он будет двигаться по эллиптической орбите, у которой данная точка будет перигеем, т. е. ближайшей к Земле точкой орбиты, а наиболее удаленная точка — апогей — будет лежать на противоположном конце прямой, проведенной из перигея через фокус эллипса, в котором находится центр Земли (рис. 95).

Рис. 95. Круговая и эллиптические орбиты при разных значениях начальной скорости

Рис. 96. Эллиптическая орбита в случае начальной скорости, меньшей круговой

Перигей и апогей находятся на противоположных концах большой оси эллипса.

Если же спутнику сообщить горизонтальную скорость, меньшую круговой, то он будет двигаться по эллиптической орбите, у которой начальная точка будет не перигеем, а апогеем, и, следовательно, центр Земли будет расположен в дальнем от нее фокусе эллипса (рис. 96). Периодическое движение по такой орбите возможно, разумеется, лишь тогда, когда она не пересекает поверхности Земли.

Существование замкнутых орбит — это замечательная особенность поля, в котором сила изменяется по закону обратных квадратов. Закономерности движения по эллиптическим орбитам будут подробнее рассмотрены после изучения законов сохранения.

Кроме замкнутых орбит в ньютоновском поле тяготения возможно движение по незамкнутым орбитам, когда тело приближается из бесконечности и, изменив направление движения под действием силы тяготения, снова уходит в бесконечность. Траектория в этом случае представляет собой гиперболу. Траектория, отделяющая замкнутые орбиты от незамкнутых, представляет собой параболу (эта парабола не имеет никакого отношения к параболе, по которой движется брошенное тело в приближении «плоской Земли»),

Конические сечения. Любое движение в поле тяготения как по замкнутым, так и по незамкнутым траекториям происходит по одному из так называемых конических сечений — кривых, которые получаются при пересечении кругового конуса с плоскостью (рис. 97).

Рис. 97. Конические сечения

В зависимости от наклона плоскости к оси конуса могут получиться окружность, эллипс, парабола и гипербола.

Незамкнутые траектории возможны не только тогда, когда тело приходит из бесконечности, но и тогда, когда ему сообщают достаточно большую начальную скорость в точке, находящейся на конечном расстоянии. Этот вопрос будет рассмотрен подробнее после изучения законов сохранения.

Сила тяжести внутри Земли. Закон обратных квадратов справедлив для поля тяготения, создаваемого точечной массой или шарообразным телом вне его пределов. Внутри шара поле тяготения будет совсем другим. Каким же именно? Будем, например, считать, что Земля представляет собой сплошной однородный шар. Выясним, как действующая на пробное тело сила тяжести зависит от его положения в стволе воображаемой шахты, прорытой от поверхности до центра Земли.

Очевидно, что в центре Земли эта сила равна нулю. Это непосредственно следует из симметрии: если бы сила вдруг оказалась

там отлична от нуля, то куда бы она была направлена? Ведь ни одному из направлений нельзя отдать предпочтение. Чтобы найти силу тяжести в произвольной точке на некотором расстоянии от центра Земли разобьем мысленно земной шар на тонкие сферические концентрические слои вокруг центра Земли (рис. 98). Согласно принципу суперпозиции полная сила тяжести, действующая на пробное тело на расстоянии от центра, равна векторной сумме сил, действующих на него со стороны отдельных концентрических слоев.

Рис. 98. К расчету силы тяготения на расстоянии от центра Земли

Легко убедиться в том, что сила тяготения, действующая со стороны любого слоя на тело, находящееся внутри этого слоя, равна нулю. Это сразу видно из построения, показанного на рис. 98. Малые части сферической оболочки с массами притягивают пробное тело массы с силами, пропорциональными этим массам и обратно пропорциональными квадратам расстояний Но сами массы как видно из рисунка, пропорциональны квадратам соответствующих расстояний. Действительно, показанные на этом рисунке треугольники подобны, а площади участков оболочки с массами пропорциональны квадратам их линейных размеров. В результате силы тяготения, действующие со стороны выделенных участков сферического слоя, уравновешиваются, что и доказывает сделанное утверждение, так как вся оболочка может быть разбита на такие пары элементов.

Подобными рассуждениями отсутствие силы тяготения внутри сферической оболочки было установлено еще Ньютоном.

Таким образом, на тело в стволе шахты в точке А (рис. 99) действует сила тяжести только со стороны заштрихованного шара, на поверхности которого находится это тело. Так как масса однородного заштрихованного шара пропорциональна кубу его радиуса а сила тяготения пропорциональна массе и в то же время обратно пропорциональна квадрату радиуса, то эта сила в конечном счете оказывается просто пропорциональна радиусу шара: . Коэффициент пропорциональности проще всего найти, учитывая, что на поверхности Земли, когда сила тяжести равна . На произвольном расстоянии от центра при очевидно,

Так как при сила тяжести убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, график зависимости силы тяжести имеет вид, показанный на рис. 100.

Совсем иной характер зависимости силы тяготения от внутри Земли означает, что при движении тела со скоростью, меньшей круговой, движение по пересекающей Землю эллиптической траектории с дальним фокусом в центре Земли невозможно, даже если прорыть туннель вдоль этой траектории и выкачать из него воздух.

Рис. 99. Сила тяготения в точке А обусловлена действием только заштрихованной части земного шара

Рис. 100. Зависимость силы тяготения от расстояния до центра Земли

• Современные астрономические средства наблюдений позволяют измерить скорость разных участков кольца планеты Сатурн. Можно ли из таких наблюдений установить, является ли кольцо сплошным?

• Почему из наблюдений за движением планеты под действием силы притяжения к Солнцу невозможно определить ее массу? Как найти массу планеты по наблюдениям за ее спутниками?

• Когда телу над Землей сообщена горизонтальная скорость, меньшая круговой, то, как было сказано, оно движется по траектории, представляющей собой часть эллипса с дальним фокусом в центре Земли. Как согласовать этот факт с известным утверждением, что брошенное горизонтально тело движется в поле тяжести Земли по параболе?

• Может ли прилетевший из бесконечности метеор, не задевший земной атмосферы, стать спутником Земли?

• Как стало бы двигаться тело, которое уронили в воображаемый туннель, прорытый по диаметру Земли?

• Решите задачу 1, учитывая, что в действительности Земля и Луна обращаются вокруг их общего центра масс.