§ 33. Закон сохранения механической энергии

Перейдем теперь к обсуждению закона сохранения механической энергии. Вернемся к теореме о кинетической энергии, согласно которой изменение кинетической энергии системы частиц при переходе из состояния 1 в состояние 2 равно сумме работ всех действующих сил — внешних и внутренних, как потенциальных, так и непотенциальных. Поделив все действующие силы на потенциальные и непотенциальные, можем написать

Работа потенциальных сил равна разности значений потенциальной энергии системы в начальном и конечном состояниях:

Подставляя выражение (2) в теорему (1) о кинетической энергии системы частиц и перегруппировывая слагаемые, получаем

Механическая энергия. Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется механической энергией (или полной механической энергией):

Теперь равенство (3) перепишется в виде

Равенство (5) означает, что изменение механической энергии системы равно работе всех непотенциальных сил (как внешних,

так и внутренних). Это и есть закон изменения механической энергии.

Если непотенциальных сил нет или если их работа равна нулю, механическая энергия системы сохраняется. Обладающие таким свойством физические системы называются консервативными. В таких системах возможны лишь взаимные превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас механической энергии системы измениться не может.

Потенциальная энергия системы в общем случае включает в себя потенциальную энергию взаимодействия частиц системы и потенциальную энергию этих частиц во внешнем поле (если оно есть). В некоторых случаях работу внешних потенциальных сил бывает удобно рассматривать явно, а не выражать через изменение потенциальной энергии. В этом случае нужно считать, что потенциальная энергия системы состоит только из энергии взаимодействия составляющих ее частиц. Закон изменения энергии при этом формулируется так: изменение механической энергии системы равно работе всех внешних сил и непотенциальных внутренних сил.

Задачи

1. Максимальная высота подъема. Телу на поверхности Земли сообщают скорость направленную вертикально вверх. На какую наибольшую высоту над поверхностью Земли оно поднимется?

Решение. Эта задача не представляет никаких трудностей, если начальная скорость мала настолько, что максимальная высота подъема много меньше радиуса Земли. В таком случае действующая на тело сила тяжести постоянна на всем пути, движение происходит с постоянным ускорением и максимальная высота подъема определяется известной формулой кинематики Эту формулу можно сразу получить и с помощью закона сохранения энергии. Так как единственная действующая на тело сила (сила тяжести) потенциальна, то полная механическая энергия во все моменты движения одинакова. В начальный момент это только кинетическая энергия в точке наибольшего подъема, где скорость обращается в нуль, — это только потенциальная энергия Приравнивая эти значения, снова получаем

Если же начальная скорость велика настолько, что не учитывать зависимости силы тяжести от высоты уже нельзя, то решение задачи непосредственно с помощью законов Ньютона наталкивается на серьезные математические трудности. Однако использование закона сохранения энергии позволяет сразу найти интересующую нас максимальную высоту подъема. Все приведенные выше рассуждения справедливы и теперь, только для потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли нужно вместо приближенной формулы взять точную формулу (6) предыдущего параграфа:

учитывая, разумеется, что теперь потенциальную энергию тела на поверхности Земли следует считать равной

Полагая и приравнивая значения механической энергии тела на поверхности Земли и в точке максимального подъема, получаем

Решая это уравнение относительно , находим

Если то вторым слагаемым в знаменателе правой части (7) можно пренебречь и мы сразу приходим к прежнему результату: Можно получить поправку к этому ответу, обусловленную зависимостью силы тяжести от высоты. Используя приближенную формулу , из (7) при получаем

Из формулы (7) видно, что высота подъема неограниченно возрастает, если начальная скорость приближается к значению Такая скорость называется скоростью освобождения или второй космической скоростью Подставляя значения км, находим Если такую скорость сообщить находящемуся вблизи земной поверхности телу, оно навсегда покинет Землю.

2. Груз на стержне. Груз, подвешенный на легком стержне длины который может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси, отвели из равновесного положения так, что стержень образует с вертикалью угол 9 (рис. 119). Какую максимальную скорость приобретет груз, если его отпустить?

Рис. 119. Силы, действующие на груз, подвешенный на стержне

Решение. В рассматриваемой механической системе на груз при свободном движении действуют только две силы: сила тяжести и сила реакции стержня

Тем не менее динамическое решение этой задачи затруднительно, ибо сила реакции стержня заранее не задана и изменяется в процессе движения. Однако на поставленный в условии задачи вопрос легко ответить, используя закон сохранения механической энергии.

Действительно, данная механическая система консервативна, так как сила тяжести потенциальна, а сила реакции стержня при движении груза работы не совершает, ибо в любой момент направлена перпендикулярно скорости. Поэтому полная механическая энергия системы, включающая кинетическую энергию груза и его потенциальную энергию в поле тяжести, сохраняется. Разумеется, это справедливо, когда можно пренебречь трением.

Очевидно, что кинетическая энергия и, следовательно, скорость груза будут максимальны в той точке траектории, где потенциальная энергия минимальна, т. е. при прохождении положения равновесия. Будем отсчитывать потенциальную энергию груза от этой самой низкой точки. Тогда потенциальная энергия груза при отклонении стержня на угол от вертикали равна где как видно из рис. 119, определяется выражением

Приравнивая значения потенциальной энергии неподвижного отклоненного груза и его кинетической энергии при прохождении положения равновесия, имеем

откуда

Из выражения (10) видно, что скорость груза в нижней точке будет по модулю такой же, как и при свободном падении с высоты Это значит, что роль силы реакции стержня свелась только к изменению направления скорости. Такие силы называют силами реакции идеальных связей.

По своей физической природе сила реакции стержня — это, конечно, упругая сила. Используемая здесь физическая модель, т. е. идеализация свойств стержня, заключается в пренебрежении его возможной деформацией. Другими словами, жесткость стержня считается настолько большой, что при действующих здесь силах деформация практически отсутствует: можно не учитывать изменения длины стержня при подсчете потенциальной энергии груза в поле тяжести и пренебречь потенциальной энергией упругой деформации самого стержня.

Отметим, что использование закона сохранения энергии дает возможность легко получить ответы на некоторые интересующие нас вопросы, но не дает исчерпывающей информации о всем движении. Например, мы не можем с помощью закона сохранения энергии найти зависимость угла отклонения стержня от времени.

3. Цепочка в трубке. В причудливо изогну той жесткой трубке с гладкими внутренними стенками находится цепочка длины которая может скользить сквозь трубку, не изменяя своей длины (рис. 120). В начальный момент цепочку удерживают, причем ее верхний конец находится на высоте над нижним. Каким будет ускорение цепочки сразу после того, как ее отпустить?

Рис. 120. Цепочка внутри изогнутой гладкой трубки

Решение. Динамическое решение такой задачи требует задания определенной конфигурации трубки. При пренебрежении трением силы реакции трубки можно считать направленными перпендикулярно поверхности в любой ее точке. Другими словами, такая связь является идеальной.

а рассматриваемая механическая система — консервативной. Поэтому можно воспользоваться законом сохранения механической энергии.

Допустим, что отпущенная цепочка сместилась вдоль трубки на малое расстояние Поскольку скорости всех звеньев цепочки одинаковы, то цепочка приобретет при этом кинетическую энергию

где — масса цепочки в расчете на единицу ее длины (линейная плотность). Эта энергия появилась за счет того, что на такую же величину уменьшилась потенциальная энергия цепочки в поле тяжести. Легко сообразить, что потенциальная энергия цепочки уменьшится на

так как это уменьшение связано с тем, что теперь у верхнего конца цепочки на высоте нет кусочка длины опустившегося вниз. Приравнивая правые части выражений (11) и (12), получаем

Если участок выбран настолько малым, что на его протяжении ускорение а можно считать постоянным, то справедлива формула кинематики равноускоренного движения Подставляя это значение в левую часть (13), находим ускорение а цепочки в начальный момент:

Заметим, что полученный результат справедлив не только в начальный момент, когда цепочка начинает скользить по трубке. Та же формула (14) дает значение ускорения цепочки для произвольного момента времени, выражая ускорение через разность высот ее верхнего и нижнего концов. Действительно, если при смещении цепочки на ее скорость изменяется от до то закон сохранения энергии записывается в виде

Отсюда, учитывая кинематическое соотношение снова получаем выражение (14): ускорение не зависит от скорости цепочки и определяется только разностью высот ее концов. Когда начало и конец цепочки находятся на одном уровне, ее ускорение равно нулю, как бы причудливо ни была изогнута трубка.

В частном случае прямолинейной трубки формула (14) описывает поведение тела на наклонной плоскости в отсутствие трения: ускорение тела постоянно и равно , так как отношение равно синусу угла а наклона плоскости к горизонту.

4. Наклонная плоскость. Груз массы медленно втаскивают по наклонной плоскости на высоту за трос, параллельный наклонной плоскости (рис. 121). Сила натяжения троса совершает при этом некоторую работу А. Какую скорость наберет груз в конце наклонной плоскости, если отпустить трос?

Решение. Очевидно, что заданная в условии задачи работа А не может быть меньше В противном случае оказался бы нарушенным закон сохранения энергии.

Если то система консервативна, трение в ней отсутствует и, спустившись до конца наклонной плоскости, груз наберет такую же по модулю скорость, как и при свободном падении с высоты Если то механическая система не является консервативной и, применяя к ней закон изменения механической энергии, необходимо учитывать работу сил трения.

Рис. 121. Груз на наклонной плоскости

Эту задачу можно решить непосредственно с помощью законов динамики, так как все действующие силы здесь постоянны. Однако использование энергетических представлений облегчает получение ответа, делая выкладки более компактными. Запишем сначала закон изменения энергии для подъема груза на высоту Так как по условию задачи скорость груза мала, то его кинетической энергией можно пренебречь. Поэтому

Работа силы трения здесь отрицательна, так как эта сила направлена противоположно перемещению.

Рассмотрим теперь спуск груза. На высоте груз обладал потенциальной энергией а в конце, у основания наклонной плоскости, он обладает только кинетической энергией Изменение полной механической энергии груза равно работе сил трения. Эта работа будет такой же, как и при подъеме, ибо здесь такая же по модулю сила трения направлена противоположно перемещению. Поэтому

Подставляя в из (15), получаем

Обратим внимание на то, что соотношение (17) имеет смысл только при выполнении условия Поэтому приведенный ответ (17) справедлив, когда

Хотя при выражение (17) формально сохраняет смысл, оно дает конечную скорость что невозможно. Подумайте над тем, какой физической картине соответствует случай для которого ответ (17) теряет смысл.

Задачи для самостоятельного решения

(см. скан)

(см. скан)