Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 33. Закон сохранения механической энергииПерейдем теперь к обсуждению закона сохранения механической энергии. Вернемся к теореме о кинетической энергии, согласно которой изменение кинетической энергии системы частиц при переходе из состояния 1 в состояние 2 равно сумме работ всех действующих сил — внешних и внутренних, как потенциальных, так и непотенциальных. Поделив все действующие силы на потенциальные и непотенциальные, можем написать
Работа потенциальных сил
Подставляя выражение (2) в теорему (1) о кинетической энергии системы частиц и перегруппировывая слагаемые, получаем
Механическая энергия. Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется механической энергией (или полной механической энергией):
Теперь равенство (3) перепишется в виде
Равенство (5) означает, что изменение механической энергии системы равно работе всех непотенциальных сил (как внешних, так и внутренних). Это и есть закон изменения механической энергии. Если непотенциальных сил нет или если их работа равна нулю, механическая энергия системы сохраняется. Обладающие таким свойством физические системы называются консервативными. В таких системах возможны лишь взаимные превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас механической энергии системы измениться не может. Потенциальная энергия системы в общем случае включает в себя потенциальную энергию взаимодействия частиц системы и потенциальную энергию этих частиц во внешнем поле (если оно есть). В некоторых случаях работу внешних потенциальных сил бывает удобно рассматривать явно, а не выражать через изменение потенциальной энергии. В этом случае нужно считать, что потенциальная энергия системы состоит только из энергии взаимодействия составляющих ее частиц. Закон изменения энергии при этом формулируется так: изменение механической энергии системы равно работе всех внешних сил и непотенциальных внутренних сил. Задачи1. Максимальная высота подъема. Телу на поверхности Земли сообщают скорость Решение. Эта задача не представляет никаких трудностей, если начальная скорость Если же начальная скорость
учитывая, разумеется, что теперь потенциальную энергию тела на поверхности Земли следует считать равной Полагая
Решая это уравнение относительно
Если
Из формулы (7) видно, что высота подъема неограниченно возрастает, если начальная скорость 2. Груз на стержне. Груз, подвешенный на легком стержне длины
Рис. 119. Силы, действующие на груз, подвешенный на стержне Решение. В рассматриваемой механической системе на груз при свободном движении действуют только две силы: сила тяжести Тем не менее динамическое решение этой задачи затруднительно, ибо сила реакции стержня заранее не задана и изменяется в процессе движения. Однако на поставленный в условии задачи вопрос легко ответить, используя закон сохранения механической энергии. Действительно, данная механическая система консервативна, так как сила тяжести потенциальна, а сила реакции стержня при движении груза работы не совершает, ибо в любой момент направлена перпендикулярно скорости. Поэтому полная механическая энергия системы, включающая кинетическую энергию груза и его потенциальную энергию в поле тяжести, сохраняется. Разумеется, это справедливо, когда можно пренебречь трением. Очевидно, что кинетическая энергия и, следовательно, скорость груза будут максимальны в той точке траектории, где потенциальная энергия минимальна, т. е. при прохождении положения равновесия. Будем отсчитывать потенциальную энергию груза от этой самой низкой точки. Тогда потенциальная энергия груза при отклонении стержня на угол
Приравнивая значения потенциальной энергии неподвижного отклоненного груза и его кинетической энергии при прохождении положения равновесия, имеем
откуда
Из выражения (10) видно, что скорость груза в нижней точке будет по модулю такой же, как и при свободном падении с высоты По своей физической природе сила реакции стержня — это, конечно, упругая сила. Используемая здесь физическая модель, т. е. идеализация свойств стержня, заключается в пренебрежении его возможной деформацией. Другими словами, жесткость стержня считается настолько большой, что при действующих здесь силах деформация практически отсутствует: можно не учитывать изменения длины стержня при подсчете потенциальной энергии груза в поле тяжести и пренебречь потенциальной энергией упругой деформации самого стержня. Отметим, что использование закона сохранения энергии дает возможность легко получить ответы на некоторые интересующие нас вопросы, но не дает исчерпывающей информации о всем движении. Например, мы не можем с помощью закона сохранения энергии найти зависимость угла отклонения стержня от времени. 3. Цепочка в трубке. В причудливо изогну той жесткой трубке с гладкими внутренними стенками находится цепочка длины
Рис. 120. Цепочка внутри изогнутой гладкой трубки Решение. Динамическое решение такой задачи требует задания определенной конфигурации трубки. При пренебрежении трением силы реакции трубки можно считать направленными перпендикулярно поверхности в любой ее точке. Другими словами, такая связь является идеальной. а рассматриваемая механическая система — консервативной. Поэтому можно воспользоваться законом сохранения механической энергии. Допустим, что отпущенная цепочка сместилась вдоль трубки на малое расстояние
где
так как это уменьшение связано с тем, что теперь у верхнего конца цепочки на высоте
Если участок
Заметим, что полученный результат справедлив не только в начальный момент, когда цепочка начинает скользить по трубке. Та же формула (14) дает значение ускорения цепочки для произвольного момента времени, выражая ускорение через разность высот ее верхнего и нижнего концов. Действительно, если при смещении цепочки на
Отсюда, учитывая кинематическое соотношение В частном случае прямолинейной трубки формула (14) описывает поведение тела на наклонной плоскости в отсутствие трения: ускорение тела постоянно и равно 4. Наклонная плоскость. Груз массы Решение. Очевидно, что заданная в условии задачи работа А не может быть меньше Если
Рис. 121. Груз на наклонной плоскости Эту задачу можно решить непосредственно с помощью законов динамики, так как все действующие силы здесь постоянны. Однако использование энергетических представлений облегчает получение ответа, делая выкладки более компактными. Запишем сначала закон изменения энергии для подъема груза на высоту
Работа силы трения здесь отрицательна, так как эта сила направлена противоположно перемещению. Рассмотрим теперь спуск груза. На высоте
Подставляя в
Обратим внимание на то, что соотношение (17) имеет смысл только при выполнении условия
Хотя при Задачи для самостоятельного решения (см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|