§ 20. Силы в природе. Трение

В динамике Ньютона природа сил, входящих в основные уравнения, несущественна. Второй закон Ньютона определяет ускорение тела независимо от природы сил, сообщающих это ускорение. Разумеется

это не означает, что вопрос о физической природе сил вообще не представляет интереса.

Все многообразие встречающихся в природе взаимодействий в современной науке удается свести всего к трем различным типам. Это гравитационное, сильное (ядерное) и электрослабое взаимодействия. Электрослабое взаимодействие объединяет электромагнитное и так называемое слабое взаимодействия. Слабое взаимодействие, как и сильное, свойственно лишь элементарным частицам и проявляется на очень малых расстояниях, когда законы механики Ньютона уже неприменимы.

В мире макроскопических явлений электромагнитное взаимодействие проявляется независимо от слабого и описывается законами классической электродинамики — уравнениями Максвелла. Гравитационное взаимодействие в классической физике описывается законом всемирного тяготения Ньютона.

В отличие от короткодействующих сильного и слабого взаимодействий гравитационное и электромагнитное взаимодействия — дальнодействующие: их действие проявляется на очень больших расстояниях. По этой причине именно электромагнитное и гравитационное взаимодействия определяют все крупномасштабные явления, начиная от явлений на молекулярном уровне и кончая движением небесных тел. На самом деле только для электромагнитного и гравитационного взаимодействий и можно использовать понятие силы в смысле механики Ньютона и измерять ее на опыте.

Все механические явления в окружающем нас макроскопическом мире определяются исключительно гравитационными и электромагнитными силами. Проявления сил электромагнитной природы настолько многообразны, что было бы совершенно безнадежно пытаться описать их все единым образом. В дальнейшем при изучении законов электромагнетизма будут рассмотрены некоторые виды таких сил. Пока же, изучая механику, мы ограничимся только силами трения и упругими силами.

Возникновение сил трения и упругих сил обусловлено электрическими силами, действующими между заряженными частицами, из которых построены все макроскопические тела. При описании проявлений этих сил в механике мы ограничимся так называемым феноменологическим подходом: не вникая в природу этих сил, выясним условия, при которых они проявляются, и, опираясь на опыт, установим их количественные закономерности.

Виды трения. «Сухое» трение возникает на поверхностях соприкосновения твердых тел. Сила трения всегда направлена вдоль поверхности соприкосновения, в отличие от силы упругости, направленной перпендикулярно этой поверхности. Различают три вида трения при контакте твердых тел: трение покоя, трение скольжения и трение качения.

Трение покоя. Познакомимся сначала с проявлениями силы трения покоя. Пусть, например, на горизонтальной поверхности лежит брусок. Подействуем на него некоторой горизонтальной силой используя для ее измерения динамометр (рис. 75). Опыт показывает, что, пока эта сила меньше некоторого значения брусок не приходит в движение. В соответствии со вторым законом Ньютона это может означать только одно: одновременно с приложенной внешней силой на брусок со стороны поверхности подставки начинает действовать равная ей и противоположно направленная сила которую и называют силой трения покоя. Эти силы уравновешивают друг друга. Когда приложенная сила достигает критического значения брусок приходит в движение. Действующая на движущийся брусок сила трения направлена противоположно его скорости и называется силой трения скольжения.

Рис. 75. Изменение минимальной силы, сдвигающей брусок

На опыте можно установить, от чего зависит максимальное значение силы трения покоя Помещая на брусок дополнительные грузы и тем самым увеличивая силу, прижимающую его к поверхности подставки, убеждаемся, что максимальная сила трения покоя пропорциональна этой силе. Иначе об этом можно сказать, что максимальная сила трения покоя пропорциональна нормальной силе реакции опоры. Действительно, поскольку брусок не имеет ускорения в направлении, перпендикулярном поверхности, прижимающая сила уравновешивается действующей на брусок нормальной силой реакции. Таким образом, для модуля максимальной силы трения покоя можно написать

где коэффициент пропорциональности не зависит от прижимающей силы. Он называется коэффициентом трения покоя. Опыт показывает, что значение коэффициента трения не зависит от размеров соприкасающихся поверхностей. В описанном выше опыте брусок можно положить на поверхность любой из его граней: при одной и той же прижимающей силе нужно одинаковое усилие, чтобы сдвинуть брусок (рис. 76). При этом поверхность может и не быть горизонтальной, важно лишь значение прижимающей силы.

Коэффициент трения покоя зависит от сочетания материалов, из которых сделаны соприкасающиеся тела. Он будет разным при трении дерева о сталь и дерева о дерево. В технических справочниках приводятся значения для многих различных комбинаций. Но и для каждой такой комбинации коэффициент трения зависит от характера обработки поверхностей и их состояния.

В рассмотренном опыте трение покоя препятствовало возникновению движения. Благодаря трению покоя обеспечивается равновесие

многих технических конструкций и строительных сооружений. Однако в ряде случаев именно сила трения покоя необходима для возникновения движения. Так, например, при ходьбе сила трения покоя, действующая на подошву, сообщает нам ускорение. Ведь подошва не скользит назад, и, значит, трение между ней и дорогой — это трение покоя.

Рис. 76. Во всех трех положениях бруска на горизонтальной плоскости нужна одна и та же сила, чтобы сдвинуть его

Трудно указать какую-либо машину, в движении которой по земле трение покоя не играло бы принципиальной роли. Шины ведущих колес автомобилей как бы отталкиваются от асфальта, и в отсутствие пробуксовки толкающая автомобиль сила — это сила трения покоя.

Трение скольжения. Сила трения скольжения также направлена вдоль поверхности соприкосновения тел, но в отличие от силы трения покоя, которая противоположна внешней силе, стремящейся сдвинуть тело, сила трения скольжения всегда направлена противоположно относительной скорости.

Модуль силы трения скольжения, как и максимальной силы трения покоя, тоже пропорционален прижимающей силе, а значит, и нормальной силе реакции опоры:

Рис. 77. Зависимость силы сухого трения от скорости

Коэффициент трения скольжения как и при трении покоя, не зависит от прижимающей силы и площади соприкосновения, но сильно зависит от характера поверхностей, их обработки и степени чистоты. В общем случае коэффициент трения скольжения зависит от скорости скольжения (т. е. от относительной скорости). Обычно сила трения скольжения вначале уменьшается с увеличением скорости, а затем начинает постепенно возрастать. Типичный характер зависимости модуля силы сухого трения от модуля скорости показан на рис. 77. Эта характеристика силы трения передает также и особенности силы трения покоя: при равной нулю относительной

скорости сила трения может иметь любое значение, не превосходящее Этому соответствует вертикальный участок характеристики, совпадающий с осью координат.

В некоторых практически важных случаях сила трения скольжения оказывается очень слабо зависящей от относительной скорости и примерно равной максимальной силе трения покоя. Обычно зависимостью коэффициента трения скольжения от скорости вообще пренебрегают, считая его постоянным в широком интервале изменения относительной скорости и равным коэффициенту трения покоя. Именно поэтому коэффициенты трения в формулах (1) и (2) обозначены одной и той же буквой

Интересно отметить, что даже при неизменной относительной скорости значение силы трения скольжения не остается постоянным, а испытывает небольшие случайные колебания около среднего значения, определяемого формулой (2). Амплитуда таких колебаний зависит от обработки соприкасающихся поверхностей и, например, при скольжении отшлифованного алюминиевого бруска по полированной стальной поверхности не превышает 0,5% среднего значения силы трения. Подчеркнем, что коэффициент трения не поддается теоретическому вычислению на основе представлений о строении поверхностей, а определяется экспериментально.

Полная сила реакции. Строго говоря, полная сила с которой одно тело действует на поверхность другого, направлена под некоторым углом к поверхности. Это показано на рис. 78а. Точка приложения силы может быть перенесена внутрь тела (рис. 78б) в том случае, когда тело рассматривается как материальная точка.

Во многих случаях силу удобно рассматривать как сумму двух сил: силы направленной по нормали к поверхности соприкосновения (нормальной силы реакции опоры), и силы направленной по касательной.

Рис. 78. Полная сила с которой поверхность действует на тело, направлена под углом к нормали

Удобство такого представления, как ясно из изложенного, заключается в том, что модули этих составляющих одной и той же силы при скольжении одного тела по поверхности другого связаны между собой соотношением (2). Это значит, что угол

9, образуемый полной силой с нормалью к поверхности, для каждой пары поверхностей всегда имеет одно и то же значение, определяемое только коэффициентом трения. Из рис. 78б и соотношения (2) следует, что

Проиллюстрируем применение изложенных выше закономерностей трения на следующих примерах.

Задачи

1. Наклонная плоскость. Коэффициент трения между доской и лежащим на ней бруском равен Доску наклоняют на угол а к горизонту. С каким ускорением соскальзывает брусок?

Решение. На рис. 79 показаны действующие на брусок силы. Согласно второму закону Ньютона векторная сумма этих сил равна та:

Относительно силы трения заранее известно только то, что она направлена вдоль поверхности доски (наклонной плоскости): Поэтому естественно записать уравнение (3) в проекциях на направления вдоль и поперек наклонной плоскости. Поскольку брусок может перемещаться только вдоль наклонной плоскости, то проекция его ускорения а на направление нормали к ней равна нулю, и уравнение (3) дает

Рис. 79. Силы, действующие на брусок, соскальзывающий с наклонной плоскости

Отсюда следует, что нормальная сила реакции не зависит от того, движется брусок или нет, и равна а.

Значение силы трения, напротив, зависит от того, движется брусок или нет: это может быть либо трение скольжения, либо трение покоя. Рассмотрим сначала случай, когда брусок покоится относительно доски. Тогда вторая проекция его ускорения а (проекция на направление вдоль наклонной плоскости) тоже равна нулю, и уравнение (3) дает

откуда Видно, что значение силы трения покоя возрастает с увеличением наклона доски, т. е. угла а. Однако сила трения покоя не может превышать значения Значение силы равное , убывает с ростом угла а. Поэтому ясно, что существует некоторый предельный угол при котором неподвижный относительно доски брусок начнет соскальзывать с нее. Этот критический угол наклона доски находится из условия

откуда

Критический угол не зависит от массы бруска. Измерение этого угла позволяет на опыте определить коэффициент трения без использования приборов для измерения сил.

При постепенном увеличении наклона доски брусок остается неподвижным, пока угол а не достигнет значения При сила трения — это сила трения скольжения, и ее значение равно . Направлена она в сторону, противоположную скорости бруска. В этом случае проекция уравнения (3) на направление вдоль наклонной плоскости

служит не для определения силы трения, а для нахождения ускорения бруска. Подставляя в это равенство , находим

Отметим, что при выражение (7) формально дает отрицательное значение проекции ускорения, что не имеет физического смысла при условии, что вначале брусок был неподвижен. Однако этот результат имеет физический смысл, если брусок движется вниз по наклонной плоскости благодаря скорости, которую он уже имел в начальный момент. Действительно, при получении результата (7) использовалось не то, что а лишь то, что сила трения скольжения направлена вверх вдоль наклонной плоскости. Именно так и будет, если, например, толчком сообщить бруску некоторую начальную скорость, направленную вниз. Отрицательное значение проекции ускорения при означает, что брусок будет двигаться вниз равнозамедленно, пока не остановится.

Если же толчком сообщить бруску начальную скорость вверх вдоль наклонной плоскости, то сила трения скольжения будет сначала направлена вниз и ускорение бруска, как легко убедиться, будет даваться выражением

Брусок будет двигаться вверх равнозамедленно, пока его скорость не обратится в нуль. Дальше он либо останется лежать неподвижно, если либо начнет соскальзывать вниз с ускорением, даваемым формулой (7), если

Рис. 80. Силы, действующие на ящик, передвигаемый волоком

2. Передвижение волоком. Под каким углом а нужно тянуть за веревку тяжелый ящик массы для того, чтобы передвигать его волоком по горизонтальной шероховатой поверхности с наименьшим усилием, если коэффициент трения равен Каково значение этой минимальной силы?

Решение. Будем считать, что внешняя сила приложена так, что ящик движется поступательно. В этом случае его можно рассматривать как материальную точку. Действующие на ящик силы показаны на рис. 80.

Ясно, что внешняя сила будет минимальной, когда ящик движется равномерно. При этом равнодействующая всех приложенных к ящику сил

согласно второму закону Ньютона равна нулю:

Для исследования соотношения (8) запишем его в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:

Задача заключается в том, чтобы исследовать зависимость силы от угла а. Для этого необходимо исключить из уравнений (9) и (10) силу реакции и силу трения так как их значения тоже зависят от угла а. При скольжении ящика сила трения выражается через нормальную силу реакции с помощью соотношения (2): Выражая силу из соотношения (10): , получаем

Подстановка этого выражения в (9) дает

Числитель в правой части (11) не зависит от а, поэтому сила будет наименьшей, когда знаменатель максимален. Следовательно, нужно найти максимум выражения

Это можно сделать разными способами, например приравняв нулю его производную по а. В результате найдем, что значение максимально при

Рис. 81. Замена сил и одной силой

Рис. 82. К определению наименьшей силы

При этом а и минимальная сила, как видно из (11), равна

Итак, тянуть за веревку следует так, чтобы она составляла с горизонтом угол Значение минимальной силы дается формулой (12).

К ответам на вопросы этой задачи можно прийти гораздо быстрее, если с самого начала рассматривать силу равную векторной сумме и (рис. 81). Как было выяснено, она всегда направлена под углом к нормали с поверхностью. Теперь условие равномерного движения ящика по горизонтальной шероховатой поверхности запишется в виде

Это уравнение удобно исследовать графически. Прежде всего изобразим на чертеже известную по модулю и направлению силу (рис. 82). Что касается слагаемого то нам заранее известно лишь его направление (см. рис. 81). Поэтому через конец вектора проводим прямую, составляющую угол с вертикалью. На этой прямой будем откладывать силу совмещая ее начало с концом вектора Положение конца вектора пока неизвестно. В соответствии с (13) сила должна замыкать треугольник сил, т. е. соединять конец вектора с началом вектора Как видно из рис. 82, сила будет наименьшей, когда ее направление перпендикулярно направлению т. е. образует угол с горизонтом. Ее значение при этом, как видно из того же рисунка, есть

3. Перемещение волоком с ускорением. В условиях предыдущей задачи найдите наименьшую силу, сообщающую ящику заданное ускорение а по горизонтали.

Решение. Рассматривая сумму нормальной силы реакции опоры и силы трения как одну силу направленную под углом к нормали с поверхностью, запишем второй закон Ньютона в виде

Это уравнение, как и уравнение (13), удобно исследовать графически (рис. 83). Чтобы модуль силы был минимален, и в этом случае сила должна быть перпендикулярной силе т. е. должна составлять тот же самый угол с горизонтом.

Выражая модуль силы как сумму гипотенузы верхнего треугольника на рис. 83 и одного из катетов нижнего, после элементарных преобразований получаем

Легко видеть, что этот результат удовлетворяет двум очевидным предельным случаям: при из (15) получается ответ (12) предыдущей задачи, а при отсутствии трения

Рис. 83. Сложение сил при перемещении ящика с ускорением

При достаточно большом ускорении а, когда перпендикуляр, опущенный из конца вектора а, пересечет направление ниже конца вектора и, поскольку сила не может быть направлена вниз, наименьшая по модулю сила замыкает треугольник векторов , т. е. В этом случае перемещаемый ящик просто не соприкасается с горизонтальной поверхностью, по которой его

передвигают. Из рис. 84 видно, что

4. Блок и наклонная плоскость. В системе, показанной на рис. 85, в начальный момент тела покоятся. Определите их ускорение и силу натяжения нити в последующие моменты времени.

Рис. 84. Сложение сил при

Рис. 85. Система с трением между бруском и наклонной плоскостью

Массой блока и нити, а также трением в оси блока можно пренебречь.

Решение. Очевидно, для решения этой задачи следует рассмотреть действующие в системе силы и составить уравнения второго закона Ньютона для бруска на наклонной плоскости и подвешенного к нити груза. Здесь, однако, мы столкнемся с трудностью: для решения уравнений нужно знать, как направлены все действующие силы. Но как направлена действующая на брусок сила трения? Это зависит от направления его движения. Получается порочный круг: чтобы найти ускорение бруска, нужно знать направление этой силы, а чтобы найти ее направление, надо знать, в какую сторону будет двигаться неподвижный вначале брусок, т. е. знать направление его ускорения.

Можно, разумеется, перебрать последовательно все возможные варианты и отбросить те, что приводят к нелепому результату. Но проще для исключения подобных проблем сначала рассмотреть эту задачу, предположив, что трения нет. При наличии трения покоившиеся вначале бруски будут либо продолжать покоиться, либо придут в движение в ту же сторону, что и в отсутствие трения. Проделайте самостоятельно соответствующее исследование. Приведем ответ.

Тела покоятся при выполнении условия

Сила натяжения нити при этом равна

Если, например, , то груз опускается; при этом

Задачи для самостоятельного решения

(см. скан)

(см. скан)

• Что имеют в виду, когда говорят, что некоторый физический процесс описывается в рамках феноменологического подхода?

• Опишите различия между трением покоя и трением скольжения. Чем определяется направление силы трения покоя и силы трения скольжения?

• Как может быть направлена полная сила взаимодействия тела с поверхностью, к которой оно прижато? На какой максимальный угол может эта сила отклоняться от нормали к поверхности при сухом трении?

• Какой способ перемещения ящика по шероховатому горизонтальному полу требует меньших усилий: когда ящик толкают или когда его тянут?