§ 36. Космическая динамика и законы сохранения

Аналитическое решение динамической задачи о движении тела в центральном гравитационном поле, например о движении планет вокруг Солнца или искусственных спутников Земли, сопряжено со значительными математическими трудностями. Между тем ответы на многие вопросы, касающиеся этого движения, можно сравнительно просто получить с помощью законов сохранения.

Вторая космическая скорость. Прежде всего определим вторую космическую скорость т. е. минимальную скорость, которую нужно сообщить находящемуся на поверхности Земли телу для того, чтобы оно удалилось на бесконечность (ее часто называют также скоростью освобождения). Для частного случая тела, брошенного вертикально вверх, эта скорость была уже найдена в задаче 1 § 33.

Найдем теперь вторую космическую скорость в общем случае. Проще всего это сделать, используя закон сохранения энергии. Будем

считать, что двигатели ракеты срабатывают непосредственно у поверхности Земли, сообщают ракете необходимую скорость и выключаются. Кинетическая энергия тела при запуске равна а потенциальная энергия вблизи поверхности Земли равна Полная механическая энергия

в свободном полете остается неизменной. В конечном состоянии, когда ракета удалилась от Земли на бесконечность, ее потенциальная энергия равна нулю. Очевидно, что необходимая начальная скорость будет наименьшей, если в конечном состоянии скорость ракеты обратится в нуль. Следовательно, в конечном состоянии полная механическая энергия равна нулю и вследствие закона сохранения энергии

откуда немедленно получаем

Ракета удалится на бесконечность независимо от того, в каком направлении сообщена ей вторая космическая скорость, хотя траектории движения при этом, разумеется, будут разными. Но во всех случаях это будут параболы, хотя и с разным положением оси симметрии и крутизной ветвей.

Особенности движения тела в ньютоновском поле тяготения удобнее всего изучать на конкретных примерах. В этом параграфе будет рассмотрено несколько примеров из космической динамики движения спутников в гравитационном поле Земли на основе законов Кеплера и законов сохранения.

Пример 1. От Земли по разным траекториям. С полюса Земли запускают две ракеты, одну вертикально вверх, другую горизонтально. Начальные скорости обеих ракет равны причем больше первой космической скорости и меньше второй. Выясним, какая из ракет удалится дальше от центра Земли и во сколько раз. Сопротивлением воздуха будем пренебрегать.

Рассмотрим вначале более простой случай, когда ракета запускается вертикально вверх. Поскольку единственная сила, действующая на ракету в свободном полете, есть сила притяжения к Земле, направленная вертикально вниз, то ракета полетит по прямой, проходящей через центр Земли. Так как начальная скорость ракеты меньше второй космической скорости, то ракета на некотором расстоянии от центра Земли остановится и начнет падать назад. Точку максимального удаления проще всего найти из энергетических соображений. Действительно, так как полная механическая

энергия системы ракета—Земля сохраняется, энергия в начале полета равна энергии в точке остановки Отсюда сразу находим расстояние максимального удаления от центра Земли:

Прежде чем вычислять величину максимального удаления ракеты при горизонтальном запуске, выясним вопрос о форме траектории. Поскольку начальная скорость ракеты превышает первую космическую, но меньше второй, ракета движется по эллипсу, у которого фокус находится в центре Земли, а начальная точка полета является перигеем. Большая ось эллипса проходит через эту точку и центр Земли (рис. 125). Интересующая нас точка наибольшего удаления от центра Земли — апогей — лежит на противоположном конце большой оси, и скорость ракеты в этой точке, разумеется, отлична от нуля и направлена перпендикулярно большой оси эллипса.

Рис. 125. Эллиптическая орбита при горизонтальном направлении начальной скорости

Для нахождения значения опять можно воспользоваться законом сохранения энергии:

Уже отсюда легко увидеть, что максимальное удаление ракеты в этом случае будет меньше, чем Уравнение (3) содержит две неизвестные величины и поэтому имеет бесчисленное множество решений. Что бы это могло означать? Перечитав еще раз наши рассуждения, легко заметить, что в уравнение закона сохранения энергии не вошли никакие признаки, которые характеризовали бы точку как точку наибольшего удаления. Точно такое же уравнение мы получили бы и для любой другой точки траектории. Заметим, что в первом случае (при вертикальном запуске ракеты) точка максимального удаления была уже выделена в уравнении закона сохранения энергии, так как только в этой точке кинетическая энергия ракеты обращается в нуль.

Какое же условие следует добавить к уравнению баланса энергии во втором случае, чтобы учесть особенности точки наибольшего удаления, отличающие ее от всех других точек траектории? Мы уже заметили, что в этой точке скорость перпендикулярна направлению на центр Земли. Точно таким же свойством обладает и

начальная точка траектории: по условию начальная скорость ракеты перпендикулярна направлению на центр Земли. Во всех остальных точках траектории это не так. Этот факт позволяет в простом виде применить второй закон Кеплера о постоянстве секторной скорости при движении в центральном поле:

Теперь мы имеем систему уравнений для определения причем из наших рассуждений вытекает, что эта система должна иметь два решения, соответствующих перигею и апогею. Легко убедиться, что после подстановки уравнение баланса энергии превращается в квадратное уравнение относительно корни которого равны и Сравнивая получаем

Обратим внимание на то, что расстояние от центра Земли до апогея оказалось таким же, как высота максимального подъема над поверхностью Земли тела, брошенного вертикально вверх с такой же скоростью Это можно увидеть как из формулы (7) § 33, так и из полученного в данной задаче значения если вычесть из него радиус Земли

Такое совпадение не случайно. Вертикальный подъем с последующим падением можно рассматривать как движение по предельно сжатой эллиптической орбите вокруг того же ньютоновского силового центра. Этой сжатой орбите соответствует такая же энергия, как и рассмотренной орбите при горизонтальном запуске, так как в обоих случаях запуск производится с поверхности Земли с одной и той же начальной скоростью. Здесь мы сталкиваемся с частным случаем общей закономерности движения в центральном поле тяготения, согласно которой все замкнутые орбиты с одной и той же энергией представляют собой эллипсы с одинаковыми большими осями. Напомним, что у выродившегося в отрезок прямой эллипса фокусы расположены на концах этого отрезка.

Пример 2. Маневрирование на орбите. Два космических корабля движутся вокруг Земли по одной и той же круговой орбите на расстоянии друг от друга, считая вдоль траектории. Период их обращения равен Т. Как сблизить корабли на орбите, если одному из них с помощью двигателя можно практически мгновенно сообщить некоторую дополнительную скорость малую по сравнению со скоростью движения по орбите и направленную по касательной к траектории? Как требуемая для сближения кораблей скорость выражается через заданные значения ?

На рис. 126 показана круговая траектория радиуса по которой движутся корабли на расстоянии друг от друга. Если в произвольной точке А кораблю сообщить дополнительную скорость в направлении орбитального движения, то он будет двигаться по эллиптической орбите 1 с фокусом в центре Земли. Период обращения по такой орбите, очевидно, больше, чем по исходной круговой. Если же дополнительную скорость в точке А направить против движения по орбите, то корабль перейдет на эллиптическую орбиту 2, период обращения по которой меньше Т.

Рис. 126. Маневры для сближения кораблей

Отсюда становится ясно, какие маневры следует выполнить для сближения кораблей. Прежде всего отметим, что поскольку круговая и эллиптические орбиты имеют только одну общую точку А, встреча кораблей может произойти только в этой точке. Поэтому такая встреча может произойти только через промежуток времени после срабатывания двигателя, кратный периоду обращения спутника по эллиптической орбите. Если включается двигатель на корабле, идущем впереди (именно этот случай показан на рис. 126, где второй корабль находится в точке В позади первого), то его нужно разогнать, переводя на орбиту 1. Если же включается двигатель на втором корабле, идущем сзади, то его нужно тормозить, переводя на орбиту 2. Обратите внимание на кажущийся парадокс: чтобы догнать, нужно притормозить!

Для определенности рассмотрим первый случай: в момент срабатывания двигателя пассивный корабль находится в точке В, отстоящей на от точки А. Найдем дополнительную скорость которую нужно сообщить активному спутнику, чтобы встреча произошла через один оборот. Обозначим через скорость движения по круговой орбите. Тогда период обращения Т по эллиптической орбите должен быть больше периода обращения Т по круговой на время прохождения дуги по круговой орбите:

Найдем связь между периодом обращения по эллиптической орбите и той добавочной скоростью которая переводит спутник на эту орбиту. В этом нам помогут законы Кеплера. На основании третьего закона Кеплера

где — большая полуось эллипса (рис. 126).

Для того чтобы связать расстояние от центра Земли до апогея эллиптической орбиты с воспользуемся вторым законом Кеплера и законом сохранения энергии: обозначив через скорость корабля в перигее, а через в апогее эллиптической орбиты, имеем

Здесь — масса корабля, — радиус Земли. Выражая из (6) и подставляя в (7), получаем

Замечая, что есть квадрат скорости корабля на круговой орбите радиуса из уравнения (8) получаем

Отсюда большая полуось эллипса

Поскольку по условию добавочная скорость много меньше скорости орбитального движения то

Теперь для большой полуоси имеем Подставим полученное выражение для а в уравнение третьего закона Кеплера (5). Возводя отношение в куб и учитывая, что находим откуда

Сравнивая это выражение с (4), видим, что

Итак, если мы хотим, чтобы встреча кораблей произошла через один оборот, то идущему впереди нужно сообщить добавочную скорость Ли, определяемую соотношением (9). Чтобы встреча произошла через оборотов, нужно сообщить в раз меньшую

добавочную скорость Таким образом, мы можем израсходовать тем меньше топлива для совершения маневра, чем больше времени согласны ждать встречи. После завершения маневра сближения, для того чтобы перевести корабль снова на круговую орбиту, придется погасить сообщенную ему добавочную скорость, т. е. еще раз включить двигатель.

Второй случай, когда требуется догнать идущий впереди корабль, рассматривается совершенно аналогично и приводит к такому же выражению (9) для

Пример 3. Движение метеорита. На большом расстоянии от Земли метеорит движется относительно нее со скоростью

Рис. 127. Траектория метеорита, касающаяся Земли

Если бы земное притяжение отсутствовало, метеорит прошел бы на расстоянии от центра Земли (рис. 127). Выясним, при каком наибольшем значении «прицельного» расстояния метеорит будет захвачен Землей.

На большом расстоянии от Земли, где потенциальную энергию взаимодействия с Землей можно считать равной нулю, метеорит имеет скорость и его полная энергия равна кинетической Если бы начальная скорость метеорита была равна нулю, то, двигаясь только под действием силы притяжения к Земле, он обязательно упал бы на Землю и при падении имел у поверхности Земли скорость, равную второй космической в чем легко убедиться с помощью закона сохранения энергии. Ясно, что траектория метеорита в этом случае — прямая, проходящая через центр Земли.

Если же начальная скорость метеорита отлична от нуля, то он в поле земного тяготения движется по гиперболе и будет захвачен Землей только тогда, когда эта гипербола «заденет» земной шар. Нетрудно сообразить, что при заданном прицельном расстоянии траектория метеорита будет тем меньше искривлена, чем больше его скорость так что достаточно быстрые метеориты благополучно минуют Землю. Очевидно, что наименьшей скорости при которой метеорит еще «проскочит» Землю, соответствует траектория, изображенная на рис. 127. И наоборот, при заданной начальной

скорости эта траектория соответствует наибольшему прицельному расстоянию при котором метеорит будет захвачен Землей. Итак, для получения ответа на поставленный вопрос нужно рассмотреть траекторию, касающуюся земного шара.

При движении метеорита в поле тяжести Земли выполняется закон сохранения механической энергии:

где — скорость метеорита в точке касания, отстоящей от центра Земли на расстояние Второй закон Кеплера о постоянстве секторной скорости при движении тела в поле тяжести справедлив и для разомкнутых траекторий. Поэтому приравняем секторные скорости метеорита в бесконечно удаленной от Земли точке и в точке касания:

Правая часть этого равенства очевидна, поскольку в точке касания вектор скорости перпендикулярен радиусу Земли, а левая часть становится очевидной, если посмотреть на рис. 128 и вспомнить, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Рис. 128. Применение второго закона Кеплера к движению метеорита

Подставляя из уравнения (10) закона сохранения энергии в (11), находим I:

Из полученного ответа видно, что максимальное прицельное расстояние, при котором метеорит будет захвачен Землей, зависит от начальной скорости Если то т. е. первоначально покоившийся относительно Земли метеорит упадет на Землю при любых обстоятельствах (разумеется, это справедливо в предположении, что Солнце и другие планеты практически не влияют на движение метеорита). Если то т. е. в пределе

бесконечно большой скорости траектория прямолинейна, так как за малое время пролета метеорита вблизи Земли сила земного притяжения не успевает вызвать заметного изменения импульса метеорита (т. е. искривить его траекторию), и метеорит упадет на Землю только тогда, когда его прицельное расстояние не превосходит радиуса Земли.

В приведенном примере не учитывалось влияние земной атмосферы на траекторию метеорита. Однако при расчете максимального прицельного расстояния по формуле (12) мы не получим заметной погрешности, так как толщина атмосферы мала по сравнению с радиусом Земли.

• Что такое вторая космическая скорость? Почему ее иногда называют скоростью освобождения? В каком направлении следует сообщить эту скорость телу вблизи поверхности Земли?

• Чем выделены апогей и перигей среди других точек эллиптической орбиты?

• Объясните качественно, почему космический корабль, для того чтобы догнать через один оборот идущий по той же орбите впереди другой корабль, должен уменьшить свою скорость?

• Может ли прилетевший из бесконечности метеорит стать спутником Земли? Объясните качественно, как траектория метеорита зависит от его скорости вдали Земли.

• На поверхности Земли некоторому телу сообщают начальную скорость, меньшую второй космической. При каком ее направлении тело удалится от Земли на наибольшее расстояние?

• При каком условии периоды обращения спутника по круговой и эллиптической орбитам будут одинаковы?

Космические скорости и движение Земли. Во всех рассмотренных примерах из космической динамики Земля считалась не подвижной. Точнее, система отсчета, связанная с Землей, считалась инерциальной, а притяжение Солнца и тем более других планет не учитывалось. Однако использовать именно эту систему отсчета совершенно необязательно. Например, гелиоцентрическая система отсчета является инерциальной с большей степенью точности, чем геоцентрическая.

Рассмотрим, например, вопрос о расчете второй космической скорости в гелиоцентрической системе отсчета в том же приближении, что и раньше, т. е. пренебрегая притяжением к Солнцу. Поскольку притяжение к Солнцу не учитывается, Солнце служит лишь телом, с которым связана система отсчета, а не физическим телом, влияющим на движение.

Обозначим скорость движения Земли через и предположим для простоты, что находящемуся на поверхности Земли телу сообщают начальную скорость относительно Земли в направлении,

совпадающем с Применим закон сохранения энергии, учитывая, что, удалившись от Земли на бесконечность, тело останавливается относительно Земли, т. е. в рассматриваемой гелиоцентрической системе отсчета имеет ту же скорость, что и Земля:

Отсюда находим

что не совпадает с полученным ранее значением (см. формулу

Какому же результату верить? Совершенно очевидно, что формула (14) не может быть верной. В нее входит — относительная скорость двух использованных систем отсчета. Но так как все инерциальные системы отсчета равноправны, то ответ не может зависеть от . В чем же дело? В справедливости закона сохранения энергии в данном случае сомневаться не приходится. Выражение для потенциальной энергии во всех инерциальных системах отсчета одинаково. Значит, в уравнении баланса энергии (13) что-то не учтено. Что же именно? Единственное, что мы могли упустить, — это изменение кинетической энергии Земли. В самом деле, при удалении тела от Земли сила тяготения действует не только на тело, но и на Землю, оказывая влияние на ее движение. Правда, изменение кинетической энергии Земли при этом очень мало, ибо ее масса М много больше, чем масса тела т. Тем не менее попробуем учесть его аккуратно.

Обозначая скорость Земли после удаления тела на бесконечность через запишем закон сохранения энергии в виде

Скорость тела в конечном состоянии теперь равна ибо тело, как и раньше, должно быть неподвижно относительно Земли. Скорость можно найти с помощью закона сохранения импульса, поскольку в отсутствие внешних сил, т. е. в замкнутой системе взаимодействующих тел, полный импульс сохраняется. Поэтому

Находя из уравнения (16) и подставляя в (15), получим

Это выражение уже гораздо ближе к прежнему результату, чем (14), но все-таки отличается от него лишним множителем

Заметим, что если считать массу тела много меньше массы Земли, т. е. то слагаемым можно пренебречь по сравнению с единицей и формула (17) дает прежний результат Нетрудно сообразить, что предположение с самого начала было неявно использовано при решении задачи в системе отсчета, связанной с Землей. Действительно, Земля считалась неподвижной как в начальном, так и в конечном состоянии, несмотря на то, что на нее, как и на тело, действовала сила тяготения. Это возможно, только если

Итак, выражение (17) является более общим, чем (1). Оно дает возможность определить вторую космическую скорость в том случае, когда массы запускаемого тела и Земли сравнимы между собой. Однако теперь возникает другой вопрос. Почему пренебрежение изменением кинетической энергии Земли (при в геоцентрической системе отсчета допустимо, а в гелиоцентрической приводит к явно неверному результату Ведь изменение скорости Земли одинаково в любой инерциальной системе отсчета. В этом легко убедиться, переписав формулу (16) в несколько ином виде:

Видно, что изменение скорости Земли не зависит от ее начальной скорости т. е. от выбора системы отсчета. Однако изменение кинетической энергии Земли в разных системах отсчета будет разным: в геоцентрической системе это а в гелиоцентрической —

При как видно из (18), Далее, поскольку скорость больше второй космической скорости, то первое слагаемое в правой части (19) много больше второго, т. е. изменение кинетической энергии в гелиоцентрической системе много больше этого изменения в геоцентрической и его нельзя не учитывать в уравнении баланса энергии.

Разумеется, формула (17) может быть получена и в геоцентрической системе отсчета, если там учесть изменение кинетической энергии Земли. Разобранный пример поучителен. Он наглядно показывает, с какой осторожностью нужно подходить к вопросу о том, что существенно в рассматриваемом явлении, а чем можно пренебречь. Все инерциальные системы отсчета равноправны в том смысле, что законы природы в них одинаковы. Поэтому при точном решении задачи выбор такой системы безразличен. Однако при нахождении приближенного решения пренебрежения, допустимые в одной системе отсчета, могут оказаться совершенно непригодными в другой.

Третья космическая скорость. Перейдем теперь к определению третьей космической скорости т. е. минимальной скорости, которую нужно сообщить телу вблизи поверхности Земли для того, чтобы оно смогло покинуть пределы Солнечной системы. Будем рассуждать следующим образом. Забудем на время о земном тяготении и найдем минимальную скорость которую нужно сообщить телу, находящемуся от Солнца на расстоянии равном радиусу земной орбиты, чтобы оно смогло преодолеть притяжение Солнца. Эту скорость легко найти, используя закон сохранения энергии.

Поскольку мы пока пренебрегаем полем тяготения Земли, то нужно просто потребовать, чтобы сумма кинетической энергии тела и потенциальной энергии в поле тяготения Солнца равнялась нулю: тело должно остановиться на бесконечно большом расстоянии от Солнца, где потенциальная энергия обращается в нуль. Отсюда

Легко видеть, что эта скорость в раз больше скорости Земли на круговой орбите движения вокруг Солнца Тело удалится на бесконечность независимо от того, в каком направлении сообщена ему скорость Итак, и; равна приблизительно Это очень много, однако, разумеется, мы можем использовать движение Земли и запустить тело в ту же сторону, куда движется Земля по орбите. Тогда телу нужно сообщить добавочную скорость, равную

Теперь нетрудно найти и саму третью космическую скорость. Для этого достаточно только сообразить, что на самом деле скорость тело должно иметь после того, как оно преодолеет притяжение к Земле. Поэтому сумма кинетической энергии тела при запуске и потенциальной энергии на поверхности Земли должна равняться кинетической энергии движения со скоростью после преодоления земного тяготения:

откуда

Этой формуле можно придать другой вид, если вспомнить, что это вторая космическая скорость

Подставляя сюда числовые значения орбитальной скорости Земли и второй космической скорости получаем

Сохранение энергии и системы отсчета. Итак, ответ получен. Но, возможно, возник вопрос: почему рассуждения проводились в два этапа? Другими словами, почему закон сохранения энергии использовался дважды: сначала для процесса выхода тела из поля тяготения Солнца, а затем для выхода из поля тяготения Земли? Нельзя ли применить закон сохранения энергии один раз ко всему процессу в целом, потребовав, чтобы полная энергия тела, т. е. сумма его кинетической энергии и потенциальных энергий в полях тяготения Земли и Солнца, равнялась нулю:

Однако очевидно, что так писать нельзя. Действительно, выразив второе слагаемое в формуле (23) через вторую космическую скорость а третье — через скорость Земли на круговой орбите вокруг Солнца мы не получим для третьей космической скорости формулы (22). И совершенно понятно почему: в выражении (23) мы не учитывали изменения кинетической энергии Земли при удалении от нее запущенного тела. Хотя это изменение и малб, но, как мы видели в предыдущем примере, учет его в гелиоцентрической системе отсчета необходим.

Учтем изменение кинетической энергии Земли. Разумеется, при этом мы будем пренебрегать изменением кинетической энергии Солнца: как при вычислении второй космической скорости можно было пренебречь изменением кинетической энергии Земли при использовании связанной с ней системы отсчета, так и здесь изменением кинетической энергии Солнца можно пренебречь при использовании гелиоцентрической системы отсчета. Его нужно было бы учитывать, если бы мы использовали какую-нибудь инерциальную систему отсчета, в которой Солнце движется, например систему отсчета, связанную с какой-либо галактикой.

С учетом сказанного закон сохранения энергии в гелиоцентрической системе отсчета следует писать в виде

В этом выражении М — масса Земли, — скорость Земли после удаления тела, а остальные обозначения прежние. Третье и четвертое слагаемые в левой части, как и раньше, выразим соответственно через вторую космическую скорость и скорость

Земли на круговой орбите. Перенесем второе слагаемое из левой части уравнения (24) в правую; тогда в правой части будет стоять изменение кинетической энергии Земли, которое представим в виде

Поскольку масса тела много меньше массы Земли, то изменение скорости Земли при удалении тела от нее малб, и сумма приближенно заменена на Нетрудно сообразить, что это соответствует пренебрежению вторым слагаемым в правой части формулы (19).

Для нахождения изменения скорости Земли воспользуемся законом сохранения импульса. Пренебрежем влиянием поля тяготения Солнца на движение Земли и запущенного тела в течение всего времени, которое оно затрачивает на выход из зоны действия земного тяготения. Так как скорость тела при выходе из этой зоны равна имеем

Отсюда

так как Обратим внимание на то, что изменение скорости Земли стремится к нулю при т. е. запуск космических аппаратов практически не влияет на движение самой Земли. Умножая (26) на получаем, согласно (25), изменение кинетической энергии Земли. Подставляя это изменение в уравнение баланса энергии (24), приходим к уравнению для определения третьей космической скорости

Решая это уравнение, находим для прежнее значение, даваемое формулой (22).

О задаче трех тел. Обратим внимание на следующее обстоятельство. Несмотря на то, что закон сохранения энергии (24) был записан для всего процесса в целом, при нахождении изменения скорости Земли нам пришлось воспользоваться законом сохранения импульса в приближенном виде только для определенного этапа процесса, а именно для выхода тела только из зоны действия тяготения Земли. При этом мы считали, что на втором этапе, т. е. при удалении тела из зоны действия солнечного притяжения, скорость Земли уже не менялась по модулю. Таким образом, фактически нам все равно пришлось проводить поэтапное приближенное рассмотрение. Попытка

применить закон сохранения импульса ко всему процессу не привела бы к желаемому результату. Дело в том, что здесь мы сталкиваемся с так называемой задачей трех тел, движущихся под действием сил взаимного притяжения. Точное ее решение возможно лишь в некоторых частных случаях.

При решении практических задач космической динамики обычно используется приближенный подход, основанный на разбиении пространства на так называемые сферы действия отдельных небесных тел. Так, в разобранном примере сначала рассматривалось движение тела только под действием притяжения к Земле. При этом, строго говоря, мы пренебрегаем не влиянием Солнца на движение тела, а разностью во влияниях Солнца на движение Земли и тела, т. е. фактически пренебрегаем неоднородностью поля тяготения Солнца в пределах сферы действия Земли.

После выхода тела из сферы действия Земли рассматривалось его движение только в поле тяготения Солнца. Размер сферы действия Земли определяется тем расстоянием, на котором разность ускорений, сообщаемых Солнцем Земле и запущенному телу, становится сравнимой с ускорением, сообщаемым телу Землей. В отличие от сферы действия «сфера притяжения Земли относительно Солнца», определяемая как область, на границе которой равны по модулю гравитационные ускорения тела от Земли и от Солнца, не играет никакой роли в космической динамике.

• Почему в геоцентрической системе отсчета можно не учитывать влияние спутника на движение Земли, а в гелиоцентрической системе отсчета такой учет необходим?

• В пределах сферы действия Земли можно рассчитывать движение космического аппарата, не учитывая его притяжение другими небесными телами. Чем определяются размеры этой сферы действия?