§ 37. Столкновения частиц

Законы сохранения энергии и импульса часто позволяют гораздо проще получить ответы на некоторые вопросы, связанные с движением тел, чем непосредственное применение законов динамики. Разумеется, информация, получаемая с помощью законов сохранения, не является такой исчерпывающей, как при использовании законов динамики, но зато и получается она гораздо более легким путем. Особенно ценным здесь является то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Так обстоит дело, например, в физике элементарных частиц.

Законы сохранения энергии и импульса фактически являются единственным средством теоретического изучения процессов столкновения тел, когда характер действующих при столкновении сил неизвестен. Под столкновениями в физике понимают самые разнообразные процессы взаимодействия между телами при условии, что на бесконечно большом расстоянии друг от друга тела являются свободными. Когда тела проходят одно мимо другого, они взаимодействуют между собой, и результаты такого взаимодействия могут быть самыми разнообразными: тела могут соединиться вместе в одно тело (абсолютно неупругий удар), в результате соударения могут возникнуть новые тела, может случиться и так, что после взаимодействия тела вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния (абсолютно упругий удар). Столкновения макроскопических тел всегда в той или иной степени являются неупругими, однако в области физики атомных явлений и процессов с элементарными частицами понятие об упругом ударе играет важную роль, так как благодаря дискретному характеру энергетического спектра сталкивающихся частиц их внутреннее состояние либо не меняется вообще (упругий удар), либо скачком изменяется на конечную величину.

Неупругие столкновения. Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух тел, при котором они соединяются вместе и движутся дальше как одно тело. Слипание вместе пластилиновых шаров, застревание пули в деревянном бруске, захват нейтрона атомным ядром — все это примеры абсолютно неупругого удара. Если сталкивающиеся тела образуют замкнутую систему, в которой действуют только внутренние силы, то полный импульс системы остается неизменным. Это позволяет легко определить скорость тела, образовавшегося в результате неупругого соударения двух тел.

Обозначим скорости тел с массами до удара через и , а скорость образовавшегося при неупругом ударе тела массы через Тогда, приравнивая полные импульсы до и после удара

получаем

Легко видеть, что определяемая формулой (1) скорость есть просто скорость движения центра масс сталкивающихся тел, которая, разумеется, в замкнутой системе остается неизменной (см. формулу (3) § 30).

Приведенная масса. При неупругом ударе кинетическая энергия поступательного движения сталкивающихся тел убывает, частично

превращаясь во внутреннюю энергию. Кинетическая энергия поступательного движения тел системы до удара

после удара

Подставляя в (2) скорость и из (1) и составляя разность кинетических энергий до и после удара, найдем

где

— так называемая приведенная масса двух тел. По существу (2) есть кинетическая энергия поступательного движения системы как целого, которая в замкнутой системе не меняется, ибо остается неизменной скорость центра масс. Поэтому (3) можно рассматривать как кинетическую энергию относительного движения сталкивающихся частиц, которая при неупругом столкновении превращается в другие виды энергии, например в теплоту.

Упругие столкновения. В отличие от неупругого, при абсолютно упругом ударе сохраняется не только импульс, но и механическая энергия, так как внутреннее состояние сталкивающихся частиц после удара остается таким же, каким оно было до удара. Так как частицы до и после столкновения являются свободными, то потенциальная энергия отсутствует, и сохранение механической энергии означает сохранение кинетической энергии сталкивающихся частиц.

При изучении закономерностей упругого столкновения будем для простоты считать, что одна из частиц (массы до столкновения покоится: Назовем эту частицу мишенью, а налетающую частицу с массой и скоростью — снарядом. Скорости частиц, разлетающихся после столкновения, обозначим через Тогда законы сохранения импульса и энергии запишутся в виде

Начнем с некоторых простых частных случаев. Прежде всего рассмотрим «лобовое» столкновение частиц, например шаров, при

котором скорость направлена по линии, соединяющей их центры. Тогда и скорости шаров после удара будут направлены по этой же линии. Проецируя равенство (5) на это направление, получим скалярное уравнение, которое вместе с (6) образует систему уравнений для нахождения проекций скоростей шаров после удара. Решая ее, находим

Если массы шаров одинаковы то первый шар при ударе останавливается, а второй шар после удара движется с такой же скоростью, как и первый шар до удара. Если снаряд легче мишени то согласно т. е. снаряд отскакивает назад, причем при скорость снаряда просто меняет свое направление на противоположное. Если снаряд тяжелее мишени, то после удара снаряд продолжает двигаться в том же направлении с меньшей скоростью.

Все описанные закономерности легко наблюдать на опыте, изучая столкновения движущихся на воздушной подушке тележек, снабженных упругими пружинными бамперами.

Передача энергии при ударе. Рассматривая изменение кинетической энергии шаров в результате удара, можно убедиться, что в случае равных масс происходит полный обмен энергией, в то время как при большой разнице в массах снаряд при столкновении может передать мишени лишь малую часть своей энергии. В самом деле, пусть, например, снаряд много легче мишени: Тогда, пренебрегая в знаменателе формулы (7) для величиной по сравнению с получаем откуда для кинетической энергии мишени после удара имеем

Аналогичный результат получится и в случае, если снаряд значительно тяжелее мишени

В действительности лобовой удар — это большая редкость. Его относительно легко осуществить разве что при игре в бильярд, а при столкновении молекул, атомов и элементарных частиц подавляющее число ударов являются нецентральными.

Если частица налетает на неподвижную частицу такой же массы, то при нецентральном упругом ударе частицы разлетаются под прямым углом друг к другу. Действительно, законы сохранения импульса и энергии (5) и (6) при принимают вид

Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей образуют треугольник, а второе — что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т. е. он прямоугольный: угол между катетами и равен (рис. 129а).

Рис. 129. Векторы скоростей частиц с одинаковыми массами, разлетающихся после упругого удара, направлены под прямым углом друг к другу (а); треки в пузырьковой камере (или камере Вильсона) при столкновении быстрого протона с неподвижным (б)

Однако законов сохранения энергии и импульса недостаточно для определения направления векторов и относительно направления движения налетающей частицы. Для того чтобы определить эти направления, нужно знать закон взаимодействия между частицами и их взаимное положение в момент столкновения.

Система центра масс. В общем случае частиц с разными массами применение законов сохранения к изучению процесса столкновения удобно интерпретировать геометрически. Для этого перейдем из лабораторной инерциальной системы отсчета, в которой частица-мишень до столкновения покоится, в другую инерциальную систему отсчета, в которой центр масс сталкивающихся частиц покоится как до столкновения, так и после. Эта система отсчета движется относительно лабораторной с такой же скоростью, как и центр масс:

так как мишень до столкновения в лабораторной системе отсчета покоится

В системе центра масс движутся обе частицы — как снаряд, так и мишень. Их импульсы равны по модулю и противоположны по направлению, так что полный импульс сталкивающихся частиц в этой системе отсчета равен нулю.

В силу закона сохранения импульса импульсы обеих частиц остаются равными по модулю и противоположными по направлению

и после столкновения, а в силу закона сохранения энергии остаются неизменными и их модули. Тем самым в системе центра масс столкновение сводится к повороту скоростей обеих частиц, остающихся противоположно направленными и неизменными по модулю. Это изображено на рис. 130, где векторы скоростей с индексом «0» относятся к системе центра масс.

Рис. 130. Векторы скоростей частиц до и после столкновения в системе цантра масс

Построение вектора скорости первой частицы после столкновения в лабораторной системе отсчета

Угол в зависимости от взаимного расположения частиц при столкновении может принимать любые значения. Его значение не может быть найдено только из законов сохранения.

Угол рассеяния. Скорость частиц в лабораторной системе отсчета можно получить из рис. 130 следующим графическим построением.

Отложим вектор О А, равный скорости снаряда в системе центра масс до удара (рис. 131). Скорость снаряда в лабораторной системе равна сумме и скорости центра масс т. е. изображается вектором на рис. 131. После столкновения скорость снаряда в системе центра масс имеет такой же модуль, что и , следовательно, изображается некоторым вектором конец которого лежит в какой-то точке окружности радиусом с центром в точке О. Поэтому в лабораторной системе отсчета скорость частицы-снаряда после удара, равная векторной сумме и скорости центра масс, изображается вектором Угол характеризует изменение направления скорости снаряда в лабораторной системе в результате столкновения. Он называется углом рассеяния.

Модуль вектора В А равен а модуль вектора равен поэтому модуль вектора есть Рис. 131 соответствует случаю

т. е. когда снаряд легче мишени. Так как точка В лежит при этом внутри окружности, то угол рассеяния снаряда может принимать любые значения. Если снаряд тяжелее мишени то точка В находится вне окружности (рис. 132).

Рис. 132. Максимальный угол рассеяния при

Видно, что в этом случае угол рассеяния частицы-снаряда не может превышать некоторого максимального значения синус которого равен отношению

Например, при упругом рассеянии дейтронов на неподвижных протонах, когда отношение угол рассеяния не может превышать 30°.

Угол разлета. Наряду с углом рассеяния характеризующим отклонение направления движения частицы-снаряда от первоначального направления, представляет интерес также и угол а, под которым разлетаются частицы после столкновения. Он называется углом разлета. В системе центра масс он, очевидно, всегда равен — частицы разлетаются в противоположные стороны. Выполнив построение еще и вектора скорости частицы-мишени после столкновения, легко увидеть ограничения, которые накладываются законами сохранения энергии и импульса на значения этого угла в лабораторной системе.

Рис. 133. В случае частицы после столкновения разлетаются под углом, превышающим

На рис. 133 такое построение выполнено для случая Видно, что в зависимости от угла , характеризующего поворот векторов скоростей в системе центра масс, угол разлета а может принимать различные значения, которые, однако, всегда превышают векторы скоростей разлетающихся частиц образуют тупой угол. В случае, когда снаряд тяжелее мишени частицы разлетаются после столкновения под острым углом.

Полученные с помощью законов сохранения закономерности процессов столкновений остаются в силе и для тех случаев, когда рассматриваемая система сталкивающихся частиц, строго говоря, не является замкнутой. Необходимо лишь, чтобы внешние силы были малы по сравнению с внутренними силами, действующими во время

столкновения. Тогда импульсом внешних сил за время столкновения можно пренебречь. Например, магнитное поле в камере Вильсона существенно искривляет траектории заряженных частиц до и после столкновения, однако во время столкновения действием магнитного поля можно пренебречь.

Обратимость упругих столкновений. Упругие столкновения частиц, в частности столкновения молекул, обладают замечательным свойством обратимости, присущим всем консервативным системам. Представим себе, что процесс упругого соударения заснят на кинопленку. При просмотре фильма мы увидим, что частицы («молекулы») сначала сталкиваются, а затем разлетаются. Пустим теперь кинопленку в проекторе «задом наперед», т. е. в обратном направлении. Мы увидим, как частицы сходятся по траекториям, по которым они на самом деле разлетались, а затем, столкнувшись, разлетаются по траекториям, по которым они сходились. Здесь все будет происходить по тем же законам, что и в настоящем столкновении. Если заранее не знать, что пленка пущена вспять, т. е. время «обращено», то определить это с помощью законов физики не удастся. Особенно наглядно это проявляется на рисунках, где упругое столкновение изображено в системе центра масс, например на рис. 130.

Отбор нужных решений. Как уже отмечалось, применение законов сохранения энергии и импульса к процессам столкновений позволяет получить ответы на некоторые вопросы даже в тех случаях, когда неизвестен закон, описывающий силы взаимодействия между частицами. Это возможно потому, что уравнения законов сохранения фактически отражают не динамику происходящих процессов, а лишь баланс некоторых физических величин, т. е. своего рода «бухгалтерию», учитывающую «доходы» и «расходы». Поэтому при интерпретации полученных из законов сохранения результатов, как правило, необходим тщательный отбор решений, имеющих физический смысл, т. е. соответствующих именно тем процессам, которые фигурируют в условии задачи. Дело в том, что одни и те же уравнения законов сохранения могут соответствовать разным физическим процессам, и поскольку этим уравнениям «невдомек», какой именно из этих процессов нас интересует, то они и «выдают» ответы для всех мыслимых случаев. Обратите внимание на это обстоятельство при разборе приводимых ниже задач.

Задачи

1. Столкновение альфа-частицы с протоном. Во сколько раз уменьшится скорость альфа-частицы после центрального упругого удара о неподвижный протон, масса которого в четыре раза меньше массы альфа частицы?

Решение. При нахождении интересующего нас отношения скоростей нет необходимости в детальном описании самого процесса столкновения. Скорость альфа-частицы после того, как сталкивающиеся частицы разлетелись, может быть найдена с помощью законов сохранения. Условие задачи позволяет записать уравнения законов сохранения импульса и энергии в следующем виде:

где — скорость налетающей альфа-частицы, а — скорости альфа-частицы и протона после того, как они разлетелись. Учитывая, что отношение масс перепишем их так:

Для нахождения искомого отношения скоростей необходимо прежде всего исключить из системы уравнений (10), (11). Если сделать это стандартным способом, подставив из (10) в (11), получим для квадратное уравнение:

Оно имеет два корня: Описываемому в условии задачи процессу лобового удара соответствует только второй корень Корень соответствует случаю, когда альфа-частица просто пролетает далеко в стороне от неподвижного протона, не взаимодействуя с ним. Конечно, такой процесс тривиален и не представляет для нас интереса, но уравнения законов сохранения для него выглядят точно так же, как и уравнения (8), (9) для лобового удара: в обоих случаях скорости частиц после «удара» направлены вдоль той же прямой, что и скорость налетающей альфа-частицы. Поэтому алгебра просто «обязана» выдать такой корень.

О физическом смысле корней уравнения. Строго говоря, оба корня квадратного уравнения (12) соответствуют еще и обратным процессам. Для корня обратный процесс заключается просто в том, что альфа-частица пролетает вдали от неподвижного протона в противоположном направлении. Обратный процесс для корня состоит в том, что протон догоняет альфа-частицу, движущуюся в ту же сторону, что и он, и после лобового удара останавливается. При этом альфа-частица продолжает движение с большей скоростью.

Избежать появления корня можно, если с самого начала учесть, что после удара скорость альфа-частицы должна измениться: Для этого можно переписать уравнение (11) в виде

и разделить его почленно на уравнение (10), записанное в виде

что допустимо при . В результате получим

Теперь система линейных уравнений (10) и (13) имеет только один корень для Решая эту систему, получаем

2. Лобовой удар. В момент наибольшего сближения частиц при упругом лобовом столкновении их скорости одинаковы и равны V. Каковы скорости этих частиц после разлета, если до столкновения они двигались со скоростями Чему равно отношение их масс?

Решение. Поскольку по условию задачи удар лобовой, то векторы и в лабораторной системе отсчета направлены вдоль одной прямой. Будем обозначать проекции всех скоростей на эту прямую соответствующими буквами без стрелок. В лабораторной системе отсчета не представляет труда записать уравнения закона сохранения импульса и энергии. Поскольку закон сохранения импульса справедлив для всех этапов процесса столкнозения, то можно записать два уравнения, смысл которых очевиден:

Кинетическая энергия частиц имеет одно и то же значение только перед столкновением и после разлета. При сближении частиц кинетическая энергия частично превращается в потенциальную энергию их взаимодействия, которая при упругом столкновении затем снова превращается в кинетическую. Поэтому для закона сохранения энергии в данном случае можно написать лишь одно уравнение:

Обратим внимание на то, что в систему трех уравнений фактически входит только отношение масс частиц Поэтому из нее можно найти все три неизвестные величины. Благодаря симметрии этой системы уравнений относительно замены начальных скоростей на конечные (что отражает обратимость во времени процесса упругого столкновения) сразу видно, что у нее есть решение — произвольное. Это решение, очевидно, не представляет интереса, так как не отвечает процессу лобового столкновения. Нахождение имеющего смысл решения связано с довольно громоздкими алгебраическими преобразованиями. Проделайте их самостоятельно и убедитесь, что в результате получится

Поскольку задаваемые в условии значения скоростей должны удовлетворять условию

В системе центра масс. К ответу можно прийти без утомительных алгебраических выкладок, если решать задачу в системе центра масс.

Уравнение (14) закона сохранения импульса фактически говорит о том, что скорость и представляет собой скорость движения центра масс частиц в лабораторной системе отсчета, а уравнение (15) — о том, что эта скорость остается такой же и после столкновения. Очевидно, что скорости частиц в системе центра масс до столкновения равны ни Так как в системе центра масс в результате лобового столкновения скорости частиц просто меняют свои направления на противоположные, то после столкновения скорости частиц равны и и Чтобы найти теперь их значения в лабораторной системе отсчета, к каждой из них, очевидно, нужно прибавить скорость центра масс. В результате получаем

Обратим внимание на то, что при проведении рассуждений в системе центра масс нам не пришлось явно использовать значение отношения масс частиц у. Для ответа на соответствующий вопрос задачи его проще всего выразить через из уравнения (14).

3. Столкновение автомобилей. Примером неупругого удара может служить столкновение автомобилей. Абсолютно неупругому удару соответствует случай, когда столкнувшиеся искореженные автомобили «сцепляются» друг с другом. Почему при лобовом столкновении тяжелого грузовика с легковым автомобилем гораздо большей опасности подвергаются пассажиры легкового автомобиля? Оцените, какие перегрузки испытывают пассажиры легкового автомобиля и водитель грузового.

Решение. Рассматривая такое столкновение, можно не учитывать взаимодействие автомобилей с покрытием дороги, так как силы сцепления колес с дорогой гораздо меньше сил, возникающих при деформации автомобилей. Другими словами, в этой задаче систему можно считать замкнутой, как если бы все это происходило на обледенелой дороге. Силы взаимодействия колес с дорогой определяют лишь время, в течение которого сцепившиеся автомобили продолжают двигаться до полной остановки. Но для ответа на вопросы задачи важно отнюдь не это время, а время, в течение которого выравниваются скорости сталкивающихся автомобилей.

Попробуем оценить это время. Предположим, что грузовик двигался со скоростью а легковой даже медленнее — со скоростью Обычно при лобовом ударе сильно деформированной оказывается передняя часть автомобиля, занятая мотором. Поэтому для оценки можно принять, что в результате столкновения автомобили «укорачиваются» на 1 м. Относительная скорость автомобилей перед ударом была а после неупругого удара она стала равной нулю. Принимая для простоты, что автомобили замедлялись с постоянным ускорением, найдем необходимое для этого время:

Дальнейшие рассуждения удобно проводить в системе отсчета, связанной с центром масс автомобилей, так как скорость центра масс за время удара с практически не меняется. В этой системе отсчета после удара автомобили неподвижны. Их скорости до удара зависят не от того насколько быстро двигался каждый из них относительно земли, а от их относительной скорости и отношения их масс

Очевидно, что

В справедливости этих выражений можно убедиться, учитывая, что модули импульсов автомобилей в системе центра масс одинаковы. Если различие в массах велико, так что то ил причем скорость ил легкового автомобиля практически совпадает с относительной скоростью (хотя относительно дороги легковой автомобиль движется медленнее грузовика!).

Отсюда видно, что ускорение у легкового автомобиля при ударе будет гораздо больше, чем у грузовика, так как скорости обращаются в нуль за одно и то же время Поэтому и перегрузки, которым подвергаются привязанные ремнями пассажиры, в легковом автомобиле гораздо больше, чем в грузовике. Если, например, то ускорение грузовика а ускорение легкового автомобиля Как видим, даже привязанные пассажиры легкового автомобиля испытывают весьма ощутимые перегрузки.

Роль привязных ремней. Еще большей опасности подвергаются пассажиры, когда привязные ремни не надеты. В этом случае пассажир не почувствует никакой силы, пока не ударится о приборный щиток или ветровое стекло. В результате ему придется остановиться не за , а за еще более короткое время, если только он не вылетит вперед, выбив ветровое стекло. Пассажира травмирует отнюдь не само столкновение автомобиля с препятствием, а второе столкновение, когда он налетает на внутреннее оборудование автомобиля. Автомобили уже почти прекращают свое относительное движение, когда непристегнутый пассажир врезается в приборный щиток. Расстояние, на котором замедляется пассажир, а тем самым и время его остановки в несколько раз меньше, чем у автомобилей. Поэтому и действующая на пассажира останавливающая сила в несколько раз больше, чем в случае надетых привязных ремней, да и приложена она, оказывается, в случайном, не самом подходящем месте — о ветровое стекло обычно ударяются головой.

• Вещество для замедления нейтронов в ядерных реакторах должно быть таким, чтобы его ядра не поглощали нейтронов. В частности, свинец и тяжелая вода почти не поглощают нейтроны. Почему же для замедления быстрых нейтронов используют дорогую тяжелую воду и не используют гораздо более дешевый свинец?

• Какие ограничения накладывают законы сохранения на угол рассеяния и на угол разлета при упругом столкновении движущейся частицы с неподвижной?

• Выполните построение векторов скоростей и частиц в лабораторной системе отсчета после столкновения для случая и докажите, что угол разлета при этом всегда острый .

• Почему при решении задачи 2 в системе центра масс не появляются посторонние решения ?

• При неупругом ударе, например при лобовом столкновении автомобилей, кинетическая энергия частично идет на совершение работы по их

деформации. Докажите, что при большом различии масс автомобилей эта «потерянная» энергия практически совпадает с первоначальной кинетической энергией легкого автомобиля.