§ 42. Затухающие колебания

Свободные колебания, рассмотренные в предыдущем параграфе, представляют собой некоторую идеализацию. В реальных системах механическое движение всегда сопровождается трением. Наличие трения приводит к рассеянию, или, как говорят, к диссипации механической энергии. Диссипация энергии колебаний происходит в любых реальных колебательных системах, вызывая затухание собственных колебаний.

Осциллятор с затуханием. Рассмотрим затухающие механические колебания подробнее. Часто при движении тела в среде действующую на него силу сопротивления при малых скоростях можно считать пропорциональной скорости:

Эту силу следует учесть в уравнении второго закона Ньютона, описывающего движение тела. Например, уравнение (3) предыдущего параграфа, описывающее вертикальные колебания груза, подвешенного на пружине, при наличии трения будет иметь вид

где через к обозначена производная смещения х по времени, т. е. проекция скорости тела. Вводя обозначения

перепишем уравнение (2) следующим образом:

Такой же вид имеет уравнение, описывающее малые собственные колебания в любой физической системе, затухающие из-за силы сопротивления, пропорциональной скорости.

Диссипация энергии. Не будем пока решать уравнение (4), а попробуем выяснить, как влияет наличие сопротивления на колебательное движение. Будем при этом считать, что затухание мало настолько, что связанная с ним потеря энергии системы за период колебания мала по сравнению с энергией колебаний. Согласно закону сохранения энергии изменение механической энергии системы равно работе силы трения:

Подставляя сюда силу трения из (1) и учитывая, что получаем

Из соотношения (5) в пределе при видно, что скорость изменения энергии колебаний пропорциональна квадрату скорости и поэтому может быть выражена через кинетическую энергию

Из формулы (6) видно, что диссипация энергии в течение периода колебаний происходит неравномерно, так как кинетическая энергия осциллирует. Но мы хотим составить уравнение, описывающее монотонное убывание энергии за время, содержащее много периодов колебаний. Очевидно, что это уравнение будет иметь такой же вид, как и (6), только в правой его части следует взять не мгновенное, а среднее за период значение кинетической энергии

Подчеркнем, что это уравнение уже нельзя применять для промежутков времени, меньших периода колебаний. Ввиду малости затухания можно считать, что среднее за период значение кинетической энергии, как и при свободных колебаниях, равно половине полной энергии осциллятора: Подставляя это значение в (7) и используя обозначения (3), получаем

Формула (8) показывает, что скорость изменения энергии характеризующая «сглаженное» поведение энергии колебаний, когда нас не интересуют детали ее изменения на протяжении одного периода колебаний, пропорциональна самой энергии Е.

Рис. 167. График затухающих колебаний

Решение уравнения (8) показывает, что энергия осциллятора убывает по экспоненциальному закону:

Здесь значение энергии системы в начальный момент времени. Но энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому изменение амплитуды колебаний за большие по сравнению с периодом промежутки времени дается выражением

где — начальная амплитуда колебаний. Зависимость амплитуды от времени показана штриховой линией на рис. 167.

Время жизни колебаний. Как видно из (10), амплитуда убывает в раз за время равное , независимо от начального значения амплитуды. Это время носит название времени жизни колебаний, хотя, как видно из формулы (10), колебания продолжаются бесконечно долго. Использованное нами предположение о малости затухания означает, что время жизни колебаний велико по сравнению с периодом Т: Другими словами, за время происходит большое число колебаний. Отметим, что в данном случае движение, строго говоря, не является периодическим. Под периодом колебаний Т здесь условно понимают промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями от равновесия.

Фазовая траектория. Фазовая траектория затухающего колебания при наличии трения, пропорционального скорости, приведена на рис. 168. Она представляет собой незамкнутую кривую — спираль, закручивающуюся вокруг начала координат. При малом затухании, когда осциллятор за время жизни успевает совершить большое число колебаний, такое же число витков накручивает спираль на фазовой плоскости.

Рис. 168. Фазовая траектория затухающего осциллятора

Затухание колебаний влияет и на период, приводя к его возрастанию по сравнению с периодом свободных колебаний в той же системе. Однако при малом затухании увеличение периода колебаний очень мало. При сильном затухании колебаний вообще может не быть: выведенная из равновесия система вследствие большого трения будет апериодически, т. е. без осцилляций, приближаться к положению равновесия. Так будет при

Точное решение. Уравнение затухающих колебаний (4) имеет точное решение. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что оно имеет вид

где и а — произвольные постоянные, значения которых определяются из начальных условий. При малом затухании, когда частота практически совпадает с частотой свободных колебаний а стоящий перед косинусом множитель можно рассматривать как медленно меняющуюся со временем амплитуду колебаний.

Экспоненциальный характер затухания колебаний связан с тем, что вызывающая это затухание сила трения пропорциональна скорости. При другой зависимости силы трения от скорости закон затухания колебаний будет иным.

Сухое трение. Рассмотрим случай сухого трения, когда от скорости зависит только направление силы трения, а ее модуль практически постоянен. Пусть на горизонтальный стержень насажен просверленный по диаметру шар массы прикрепленный к пружине жесткости к (рис. 169). Сила трения, равная направлена в сторону, противоположную скорости к. Поэтому уравнение движения шара записывается следующим образом:

Рис. 169. Осциллятор с сухим трением

Таким образом, для нахождения движения шара необходимо решать два уравнения, которые сменяют друг друга, когда меняется направление движения шара, т. е. знак проекции скорости к. Пусть в начальный момент шар смещен из положения равновесия влево на некоторое расстояние А, а скорость его равна нулю. Если при этом упругая сила пружины меньше, чем максимально возможное значение силы трения покоя то шар будет оставаться в покое и дальше.

Область застоя. Итак, вблизи положения равновесия соответствующего ненапряженной пружине, существует область «застоя» шириной в любой точке которой шар может находиться в покое. Если же начальное смещение сдвинутого влево шара А больше, чем то отпущенный шар начнет двигаться направо и его движение будет определяться первым из уравнений (12). Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой Наличие постоянной силы в правой части этого уравнения, не меняя частоты колебаний, приводит к сдвигу положения равновесия (вспомним, что в разобранном выше примере колебаний груза на пружине в поле тяжести колебания происходят

с той же частотой, что и в невесомости, но около нового положения равновесия).

Записывая первое из уравнений (10) в виде

находим, что сдвиг положения равновесия т. е. средней точки, относительно которой происходят описываемые этим уравнением колебания, равен

Так как то положение равновесия смещено влево. Оно совпадает с левой границей области застоя. После того как шар дойдет до крайнего правого положения и его скорость обратится в нуль, он начнет двигаться налево, проекция скорости х станет меньше нуля и движение шара будет определяться вторым из уравнений (12). Это уравнение, в свою очередь, описывает гармонические колебания с той же частотой происходящие около другого положения равновесия, сдвинутого относительно точки на то же расстояние в противоположную сторону. После того как шар придет в крайнее левое положение, дальнейшее его движение будет снова описываться первым из уравнений (12) и т. д.

Сшивание решений. Зависимость смещения шара от времени показана на рис. 170. Сначала шар идет слева направо, чему соответствует отрезок синусоиды изображающий незатухающие колебания около среднего положения —

Рис. 170. График затухающих колебаний при сухом трении

Движение справа налево изображается отрезком синусоиды соответствующим колебанию около среднего положения . В результате чередования кусков синусоид, описывающих незатухающие колебания около двух чередующихся положений равновесия, получается кривая, описывающая затухающее движение.

Очевидно, что рано или поздно скорость шара обратится в нуль в тот момент, когда он будет находиться внутри области застоя (точка Е на рис. 170), и на этом его движение прекратится. В отличие от затухающих колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости, где амплитуда убывает экспоненциально и колебания, строго говоря, продолжаются бесконечно долго, здесь амплитуда убывает линейно и колебания полностью прекращаются за конечное время.

Фазовая траектория. Наглядное представление о рассмотренных колебаниях при наличии сухого трения можно получить и с помощью фазовой диаграммы (рис. 171). Начальное состояние изображается точкой А на оси х. Движению шара слева направо соответствует часть фазовой траектории представляющая собой половину окружности, центр которой находится на оси х в точке Дальнейшему движению справа налево соответствует половина окружности центр которой находится в точке на оси х, и т. д. Вся фазовая траектория состоит из таких половинок окружностей с чередующимися центрами. Она обрывается в точке Е на оси х, как только достигнет области застоя.

Рис. 171. Фазовая траектория затухающих колебаний при сухом трении

Погрешности стрелочных приборов. Рассмотренные особенности затухающих колебаний позволяют понять происхождение погрешностей у стрелочных измерительных приборов, связанных с успокоением их подвижной системы при измерениях. Неизбежно присутствующее сухое трение приводит к существованию области застоя около положения равновесия стрелки прибора при проведении измерения. Из рис. 170 и 171 видно, что остановка после колебаний может произойти в любой точке области застоя в зависимости от начальных условий. Поэтому остановка стрелки прибора происходит не точно на том делении шкалы, которое соответствует измеряемой величине, а в какой-либо точке области застоя вблизи этого деления.

Для уменьшения погрешности измерений сухое трение стремятся свести к минимуму. Один из способов уменьшения сухого трения — применение смазки. При этом трение становится пропорциональным скорости и затухание происходит в соответствии с законом (11). Стрелка при этом должна остановиться в положении равновесия. Чтобы успокоение подвижной системы прибора не происходило слишком долго, применяются так называемые демпфирующие устройства, гасящие колебания. Эти устройства не должны

ухудшать точность прибора, поэтому вводимое ими трение должно быть пропорционально скорости.

• Покажите, что при собственных колебаниях осциллятора с трением, пропорциональным скорости, амплитуда колебаний убывает экспоненциально.

• Какой физически смысл имеет параметр называемый временем жизни колебаний?

• При каком соотношении между коэффициентами в уравнении (4), описывающем осциллятор с трением, пропорциональным скорости, движение будет апериодическим?

• Каков характер последовательностей, которые образуют последовательные максимальные смещения из положения равновесия для затухающих колебаний при трении, пропорциональном скорости, и при сухом трении? Что можно сказать о полном числе колебаний до остановки в каждом из этих случаев?

• Опишите различие фазовых траекторий затухающего осциллятора, изображенных на рис. 168 и 171.

Идеализации в принятой модели. При изучении колебаний, как и любого другого физического явления, мы всегда вынуждены упрощать рассматриваемую систему, стремясь, тем не менее, сохранить в выбранной идеализированной модели наиболее важные черты явления. Однако никакую идеализацию нельзя продолжать до бесконечности, нужно всегда отдавать себе отчет, до каких пределов остается справедливой выбранная модель. Но и в рамках выбранной модели иногда еще остаются вопросы, связанные с условиями применимости приближений, использованных при конкретных расчетах.

Проанализируем с этой точки зрения те приближения, которые были использованы выше при изучении колебаний груза, подвешенного на упругой пружине. Задумаемся над вопросом, в чем смысл сделанного там предположения о малости массы пружины по сравнению с массой груза. Ведь при выводе уравнения движения груза (5) предположение об этом, казалось бы, нигде не использовалось. Действительно, мы воспользовались вторым законом Ньютона для груза (2), в который входит масса груза но не входит масса пружины. Однако уравнение колебаний груза (5) все-таки справедливо лишь тогда, когда масса пружины достаточно мала.

На первый взгляд может показаться, что дело здесь только в том, что массивная пружина будет растянута еще и под действием собственной тяжести, так что действующая на груз со стороны пружины сила уже не будет равна как в уравнении (2). Однако это совсем не так. И при горизонтальном расположении пружины (см. рис. 169) в отсутствие трения уравнение (5)

справедливо лишь тогда, когда масса пружины мала по сравнению с массой груза. В противном случае нужно учитывать движение самой пружины. В самом деле, при получении закона движения (5) предполагается, что если конец пружины оттянут на расстояние х, то действующая на груз сила равна Но это верно только в статическом случае, если пружина растягивается достаточно медленно.

При ускоренном движении груза (а следовательно, и пружины) пружина в разных своих частях растянута по-разному и ее растяжение уже не пропорционально силе. Пружина уже не ведет себя квазистатически: она сама может колебаться как система с распределенными параметрами. Но если масса пружины мала по сравнению с массой прикрепленного к ней груза, то можно не считаться с этими колебаниями, так как они «быстрые» по сравнению с колебаниями груза на пружине и очень скоро затухают.

В самом деле, частота колебаний груза, как видно из (4), пропорциональна квадратному корню из отношения жесткости пружины к массе груза. При оценке частоты собственных колебаний пружины можно считать, что ее зависимость от жесткости пружины и массы имеет такой же вид. Поэтому при малой массе пружины частота колебаний велика по сравнению с частотой колебаний груза. Если для простоты предположить, что число колебаний за время их жизни одинаково по порядку величины как для колебаний груза, так и для колебаний пружины, то затухание высокочастотных колебаний пружины происходит за значительно меньшее время, чем затухание колебаний груза. Поэтому такие колебания пружины могли бы сыграть роль только в первый момент, когда они еще не затухли.

Если в начальный момент пружина деформирована однородно, то эти колебания вообще не возникают (разумеется, при условии, что масса пружины много меньше массы груза). Если же в начальный момент пружина деформирована неоднородно, то такие быстрые колебания пружины как распределенной системы обязательно возникнут, но быстро затухнут, так что за время существования этих колебаний груз еще не успеет заметно сдвинуться с места. Что же может произойти в системе из-за этих колебаний?

Неоднородная деформация пружины. Проделаем такой опыт. Захватим пружину, изображенную на рис. 169, за середину и растянем ее левую половину на некоторое расстояние (рис. 172). Вторая половина пружины остается в недеформированном состоянии, так что груз в начальный момент смещен из положения равновесия вправо на расстояние и покоится. Затем пружину отпустим. К каким особенностям приведет то

обстоятельство, что в начальный момент пружина деформирована неоднородно?

Рис. 172. В начальный момент растянута только левая половина пружины

Если бы при смещении груза на пружина была деформирована однородно, движение груза в отсутствие трения представляло бы собой гармоническое колебание около положения равновесия с частотой и амплитудой

Начальная фаза колебаний в формуле (14) равна нулю, поскольку при груз смещен из положения равновесия на расстояние равное амплитуде колебаний. Однако в нашем случае пружина в начальный момент деформирована неоднородно — разные части пружины деформированы по-разному.

Энергия осциллятора и быстрые колебания. При однородной начальной деформации пружины запас механической энергии системы равен При начальных условиях нашей задачи, когда растянута на половина пружины, запас энергии равен ибо, как нетрудно сообразить, жесткость половины пружины равна После затухания быстрых колебаний сила натяжения в пружине перераспределяется, а смещение груза остается приблизительно равным так как груз за это время не успевает заметно сдвинуться. Деформация пружины становится однородной, а энергия системы становится равной

Таким образом, роль быстрых колебаний пружины свелась к тому, что запас энергии системы уменьшился до того значения, которое соответствует однородной начальной деформации пружины. Ясно, что дальнейшие процессы в системе не отличаются от случая однородной начальной деформации. Зависимость смещения груза от времени выражается той же самой формулой (14). Напомним еще раз, что приведенное рассуждение справедливо при условии, что время затухания быстрых колебаний пружины много меньше периода колебаний груза на пружине.

Теперь представим себе, что, не разобравшись в особенностях начальных условий, мы прямо применили закон сохранения механической энергии! Закон механической энергии универсален. Но для его правильного применения нужна исчерпывающая «бухгалтерия»: необходимо тщательно разобраться, какие превращения энергии возможны в рассматриваемом явлении.

Таким образом, использованная при рассмотрении колебаний груза на пружине модель правильно описывает систему лишь в отсутствие колебаний пружины как распределенной системы. Несмотря на то, что эти колебания быстро прекращаются и не влияют на дальнейшее движение груза, они могут сильно отразиться на энергетических превращениях в системе.

• В чем проявляется неоднородность начальной деформации пружины при собственных колебаниях подвешенного на ней груза?

• Придумайте пример такой начальной деформации пружины, при которой большая часть энергии ее деформации превращается в теплоту, а не в энергию колебаний.