§ 6. Средняя скорость

Вернемся к рис. 6, где было введено понятие радиуса-вектора и траектории. Видно, что радиус-вектор соответствующий положению частицы в момент времени равен векторной сумме радиуса-вектора Гц соответствующего положению частицы в момент и вектора перемещения за промежуток времени Обозначив это перемещение через можем написать

С равенствами, содержащими в качестве своих членов векторы, можно обращаться по тем же правилам, что и с равенствами, содержащими обычные числа. В частности, отдельные слагаемые можно переносить в другую часть равенства, изменяя перед ними знак на противоположный. Знак «минус» перед обозначением некоторого вектора (т. е. умножение на —1) означает, что его направление изменяется на противоположное.

Вектор средней скорости. Перенесем в равенстве в левую часть. Тогда

Таким образом, перемещение за промежуток времени можно рассматривать как разность радиусов-векторов частицы в моменты Отношение перемещения к промежутку времени в течение которого оно произошло, называется средней скоростью на промежутке

Рис. 13. Вектор средней скорости за промежуток времени

Вектор направлен в ту же сторону, что и перемещение так как — момент времени по определению более поздний, нежели Длина отрезка, изображающего вектор на рис. 13, никак не связана с длиной вектора Эти физические величины, как говорят, имеют разную размерность, и длины соответствующих векторов измеряются в совершенно разных единицах: — в метрах, — в метрах в секунду. Поэтому и масштабы для изображения длин и скоростей выбираются независимо.

Средняя скорость характеризует быстроту, с которой совершается перемещение. Эта характеристика движения относится к определенному промежутку времени. Поэтому даже для одного и того же движения она может быть совершенно различной, если выбирать разные промежутки времени. Например, средняя скорость бегуна на длинную дистанцию равна нулю, если определять за время пробегания целого круга стадиона, и отлична от нуля за половину круга. Так будет и в том случае, когда спортсмен бежит равномерно.

Пройденный путь. Обращение в нуль средней скорости за целое число кругов связано с векторным характером этой физической величины. Наряду с ней рассматривают и среднюю скорость прохождения траектории. Будем называть пройденным частицей путем длину отрезка траектории между двумя ее последовательными положениями. Путь — это скалярная положительная величина.

Сравним между собой пройденный за некоторый промежуток времени путь с модулем перемещения за то же время. В случае криволинейной траектории путь больше модуля соответствующего перемещения, так как длина дуги всегда больше длины стягивающей ее хорды (рис. 13). Путь и модуль перемещения совпадают только при прямолинейном движении в одном направлении.

Средняя скорость прохождения пути определяется как отношение пройденного пути к соответствующему промежутку времени:

Именно эту физическую величину имеют в виду, когда говорят, например, что спортсмен пробежал дистанцию со средней скоростью

Задачи

1. Средняя скорость на всем пути. Первую половину пути автомобиль прошел со средней скоростью вторую половину пути — со средней скоростью Чему равна средняя скорость за весь путь?

Решение. Первым побуждением может быть желание сложить эти средние скорости и поделить сумму пополам, что дало бы значение Однако это неверно! По определению (3) для нахождения нужно весь путь поделить на полное время движения

Автомобиль по-разному движется на двух одинаковых половинах пути и потому проходит их за разные промежутки времени Полное время движения Очевидно, что и можно выразить через средние скорости V) и прохождения первой и второй половин пути:

Подставляя полное время движения в исходное выражение для средней скорости, находим

2. Средняя скорость за все время. В течение первого часа движения средняя скорость автомобиля составила а в течение второго часа Чему равна средняя скорость за все время движения?

Решение. Средняя скорость и здесь, разумеется, определяется той же формулой (3): Но в данном случае время движения на каждом участке одинаково и составляет половину полного времени движения Пути проходимые автомобилем, будут различными:

Подставляя в выражение для средней скорости полный путь находим

В этом случае значение средней скорости оказывается равным среднему арифметическому скоростей на отдельных участках.

• Сформулируйте правило, по которому геометрически можно находить разность двух векторов.

• В каком случае при прямолинейном движении пройденный путь не будет совпадать с модулем перемещения? Которая из этих величин при этом больше? Во сколько раз могут они отличаться?

Задачи для самостоятельного решения

1. Десятую часть пути автомобиль прошел со средней скоростью а остальной путь — со средней скоростью Найдите среднюю скорость за весь путь.

2. Полчаса автомобиль двигался со средней скоростью а следующие полтора часа — со скоростью Найдите среднюю скорость за все время движения.

3. Десятую часть пути автомобиль прошел за полчаса, а оставшиеся 45 км — со скоростью Найдите среднюю скорость автомобиля за весь путь.