§ 10. Неравномерное одномерное движение

Для характеристики неравномерного движения по заданной траектории, т. е. движения с переменной скоростью, удобно ввести ускорение характеризующее быстроту изменения скорости

Когда скорость увеличивается, ускорение При замедлении движения, когда убывает, ускорение . В дальнейшем будем обозначать ускорение через а, опуская значок Нужно, однако, помнить, что оно характеризует только изменение величины скорости, а не ее направления. Поэтому а не следует смешивать с модулем полного ускорения а, который обозначается той же буквой а. При изучении движения по заданной траектории полное ускорение в кинематических задачах обычно не фигурирует, а интерес представляет именно рассматриваемое здесь ускорение характеризующее быстроту изменения скорости прохождения пути.

Равноускоренное и равнозамедленное движения. Самый простой случай неравномерного движения — это движение с постоянным ускорением. Такое движение называют равнопеременным.

Рис. 37. График скорости при постоянном ускорении

Иногда равнопеременное движение называют равноускоренным, если скорость и ускорение направлены в одну сторону и модуль скорости растет, и равнозамедленным, если скорость и ускорение направлены в противоположные стороны и модуль скорости убывает. Нетрудно видеть, что если равнозамедленное движение будет продолжаться с

прежним ускорением и после остановки, т. е. после обращения скорости в нуль, то оно превратится в равноускоренное движение в противоположном направлении.

При постоянном ускорении промежуток времени в формуле (1) можно выбирать любым, так как отношение не зависит от Тогда приращение скорости за любой промежуток времени можно выразить следующим образом:

Применяя эту формулу к промежутку времени от до некоторого момента можно написать выражение для скорости в любой момент времени при движении с постоянным ускорением

Здесь — значение скорости при Графики скорости, соответствующие формуле (3), показаны на рис. 37. Рис. 37а относится к случаю, когда направления начальной скорости и ускорения совпадают (равноускоренное движение), рис. 376 — к случаю, когда направления начальной скорости и ускорения противоположны. За положительное направление выбрано направление начальной скорости До момента времени это равнозамедленное движение, а затем — равноускоренное в противоположном направлении. На рис. 37 в в качестве положительного направления выбрано направление ускорения. Подчеркнем, что во всех этих случаях справедлива одна и та же формула (3). Различаются они только знаками и а.

Путь при равнопеременном движении. Получим формулу, которая дает положение тела в момент времени I при равнопеременном движении. Рассмотрим малый промежуток времени Как следует из определения средней скорости пройденный за промежуток времени путь можно записать в виде

Рис. 38. Определение пути по графику скорости

Рис. 39. График движения с постоянным ускорением

Из рис. 38 видно, что путь численно равен площади прямоугольной полоски с шириной основания и высотой .

Если промежуток времени выбрать достаточно малым, то среднюю скорость на интервале можно заменить на модуль мгновенной скорости в любой точке этого интервала:

Это соотношение выполняется тем точнее, чем меньше промежуток времени

Разбивая полное время движения на такие малые интервалы и учитывая, что полный путь складывается из путей, пройденных за эти интервалы, можно убедиться, что на графике скорости он изображается площадью трапеции, ограниченной осями и графиком скорости и вертикальным отрезком, проходящим через точку на оси времени. Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

Подставляя сюда значение из (3), получаем

График движения, на котором изображается зависимость описываемая формулой (5), представляет собой отрезок параболы (рис. 39).

Скорость и наклон касательной. Наклон касательной к графику движения определяет скорость. Тангенс угла наклона касательной при численно равен начальной скорости: Из графика на рис. 39 видно, что при дальнейшем движении наклон касательной возрастает, что соответствует увеличению скорости в полном согласии с графиком скорости на рис. 38.

При выводе формулы (5) мы предполагали, что движение все время происходит в одну сторону. В этом случае расстояние тела от начальной точки совпадает с пройденным путем. Тем не менее формула (5) дает расстояние от начальной точки и в том случае, когда на промежутке времени от 0 до направление движения изменялось (рис. 40):

Пройденный за это время путь по-прежнему изображается площадью между осью времени и графиком скорости. Эта площадь заштрихована на рис. 40. Но треугольник, лежащий ниже оси времени, соответствует движению в обратном направлении и дает отрицательный вклад в определяемое формулой (5а) расстояние от начальной точки.

Формулу (5а) для расстояния от начальной точки можно записать таким образом, чтобы она не содержала явно времени

движения. Для этого в формулу (5а) следует подставить не скорость а время из формулы Это время будет

Тогда для I получаем

Если направление движения не изменялось, то формула (6), естественно, дает выражение и для пройденного пути при движении с постоянным ускорением.

Формулы получены для равнопеременного движения — движения с постоянным ускорением. Однако геометрические соображения, использовавшиеся при их выводе, справедливы и тогда, когда ускорение при движении изменяется.

Рис. 40. Определение расстояния по графику скорости, когда направление движения изменилось

Рис. 41. Определение расстояния по графику скорости

Во всех случаях пройденный путь численно равен площади между графиком скорости и осью времени (рис. 41). Расстояние от начальной точки дается алгебраической суммой, в которую площади над осью времени входят со знаком «плюс», а лежащие под этой осью — со знаком «минус».

Задачи

1. Разгон автомобиля. Легковой автомобиль способен разогнаться с места до скорости за 16 секунд. Оцените ускорение автомобиля и путь разгона.

Решение. При оценке можно считать ускорение постоянным. Для его нахождения нужно разделить скорость на время разгона. Разделив на 16 с, получаем ускорение, выраженное в километрах в час за секунду: Это внесистемная единица ускорения. В Международной системе единиц где в качестве основных единиц длины и времени выбраны метр и секунда, производная единица ускорения — это метр в секунду за секунду, т. е. Поэтому нужно скорость перевести из

Разделив это значение на 16 с, получим Путь разгона можно оценить как произведение средней скорости на время разгона:

2. Торможение автомобиля. При экстренном торможении автомобиля модуль его ускорения не превышает Оцените тормозной путь автомобиля при скорости движения

Решение. При оценке будем пренебрегать временем реакции водителя, а движение автомобиля будем считать равнозамедленным. Тормозной путь можно найти с помощью формулы (6), подставляя в нее начальную скорость конечную скорость и ускорение

3. Тормозной путь. Во сколько раз возрастает тормозной путь при увеличении скорости в два раза?

Ответ: В четыре раза, если считать ускорение постоянным и пренебречь временем реакции водителя.

4. Время торможения. Во сколько раз возрастает время торможения при увеличении скорости в два раза?

Ответ: В два раза.

Свободное падение. Важный частный случай равнопеременного движения — это свободное падение тела в поле тяжести Земли. Свободным падением называют движение в вакууме, когда сопротивление воздуха отсутствует.

Рис. 42. Падение разных предметов в трубке, из которой выкачан воздух

Такие условия можно создать, откачав воздух из длинной стеклянной трубки (трубка Ньютона, рис. 42). Находящиеся в трубке предметы, такие, как свинцовая дробинка, легкая пробка и перышко, при перевороте трубки вверх дном будут падать с одинаковым ускорением и достигнут нижнего конца одновременно, В воздухе падение этих тел происходит иначе: первой достигает дна дробинка, затем пробка и лишь спустя некоторое время — перышко, которое плавно опускается, двигаясь практически равномерно.

Во многих случаях и при наличии воздуха можно использовать идеализированное представление о свободном падении. Эта идеализация оказывается тем лучше, чем выше плотность тела. Например, свинцовая дробинка падает практически одинаково как в откачанной трубке, так и в трубке, заполненной воздухом. Но применимость данной идеализации, как и любой физической модели, зависит не только от свойств тела (плотность вещества, форма и т. п.), но и от

условий его движения. Так, при затяжном прыжке с парашютом падение можно считать свободным, пока скорость не слишком велика. Однако по мере роста скорости сопротивление воздуха увеличивается и в конце концов даже при нераскрытом парашюте устанавливается равномерное движение со скоростью около С раскрытым парашютом установление скорости происходит значительно быстрее и сама установившаяся скорость не превосходит значения

То, что свободное падение всех тел происходит с одинаковым ускорением, впервые было установлено Галилеем. Значения ускорения свободного падения несколько различаются в зависимости от географического положения, но эти различия невелики. Поэтому обычно считают ускорение свободного падения равным его значению в Париже и обозначают буквой

Направление вектора совпадает с направлением неподвижного отвеса и называется вертикалью в данном месте Земли.

Обратим внимание на то, что свободным падением называют движение с ускорением независимо от того, как при этом направлена скорость. Брошенный вверх или под углом к горизонту камень находится в свободном падении во все моменты своего полета, пока не упадет на Землю.

Задачи

5. Время подъема. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью Сколько времени оно будет подниматься? Какой максимальной высоты достигнет?

Решение. Скорость в высшей точке полета обращается в нуль. Отсюда время подъема Подставляя это значение в выражение (5), получаем

6. Время падения. Сколько времени длится свободное падение брошенного вертикально вверх тела обратно с максимальной высоты Какова его скорость в момент удара о Землю?

Решение. Время свободного падения определяется из выражения что дает Время падения равно времени подъема. Скорость в момент удара находится из выражения при подстановке в него что дает — конечная скорость падения равна начальной скорости подъема. Эта скорость связана с высотой , с которой падает тело, соотношением .

• В каких случаях при равноускоренном движении вектор полного ускорения постоянен?

Чем равнозамедленное движение отличается от равноускоренного?

• Как по заданному графику скорости неравномерного движения определить пройденный путь? Приведите обоснование такой геометрической интерпретации. Каким образом по этому графику определить положение тела, т. е. его расстояние от начальной точки?

• Каким образом пройденный путь может равняться площади, ограниченной графиком скорости? Ведь путь измеряется в метрах, а площадь — в квадратных метрах. Объясните.

Задачи

1. Весенняя капель. С крыши падают две капли с интервалом времени с. Какое расстояние будет между каплями через с после отрыва первой капли? Какой будет в этот момент скорость первой капли относительно второй?

Решение. Поскольку движение капли после отрыва происходит без начальной скорости и с постоянным ускорением то в соответствии с формулой (5) пройденное первой каплей расстояние от крыши в момент времени дается выражением

Вторая капля начинает движение позже первой. Поэтому к моменту времени она находилась в движении в течение времени и пройденное ею расстояние

Очевидно, что расстояние Я между каплями равно

Подставляя сюда значения с и принимая находим .

Скорость и первой капли относительно второй легко найти как разность скоростей с которыми движутся капли в момент времени . С помощью формулы (3) имеем

Отсюда следует, что скорость первой капли относительно второй не зависит от времени:

Видно, что эта относительная скорость равна скорости первой капли, которую она успела набрать к моменту отрыва второй. В дальнейшем обе капли падают с одинаковым ускорением и их скорости растут, но разность скоростей остается неизменной.

С помощью известной относительной скорости можно найти расстояние Н между каплями другим способом. К моменту отрыва второй капли первая успевает удалиться от нее на расстояние С этого момента их относительное движение происходит с постоянной скоростью Поэтому расстояние Н в любой момент времени равно

Подставляя сюда значения и получаем прежний результат (7). Из этого способа решения становится совершенно ясным, почему расстояние между каплями увеличивается со временем по линейному закону, несмотря на то что пути, проходимые каждой каплей, зависят от времени квадратично.

Задумаемся над тем, всегда ли полученное здесь решение задачи имеет смысл. В условии ничего не было сказано о высоте крыши над поверхностью земли. Между тем очевидно, что для низкой крыши первая капля может упасть на землю раньше, чем оторвется вторая. Чтобы обе капли одновременно находились в воздухе, как это предполагалось в приведенном решении задачи, нужно, чтобы высота крыши была не меньше чем . А поставленный в задаче вопрос имеет смысл, только если высота крыши не меньше чем — расстояние, пройденное первой каплей за 2 с.

Итак, мы видим, что некоторые не указанные в условии задачи параметры, формально не входящие в ответ, могут решающим образом влиять на условие его применимости. Так, в данной задаче полученный ответ имеет смысл только при условии, что высота крыши не меньше

Что касается интервала между моментами падения капель на землю, то он, очевидно, равен интервалу между моментами отрыва капель независимо от высоты крыши. Приведите различные способы обоснования этого факта!

2. Гонки у светофора. Автомобиль, стоящий у светофора, может разогнаться с места до максимальной разрешенной скорости за время с. В тот момент, когда загорается зеленый свет и автомобиль трогается с места, его обгоняет грузовик, движущийся с постоянной скоростью Сколько времени понадобится, чтобы обогнать грузовик, не нарушая правил движения? На каком расстоянии от светофора это произойдет? Какова будет в этот момент скорость автомобиля?

Решение. Ясно, что в принципе здесь имеются две возможности: автомобиль может догнать грузовик, либо еще продолжая разгоняться, либо уже достигнув максимальной разрешенной скорости и двигаясь равномерно. Конечно, полезно было бы с самого начала увидеть, которая из этих возможностей реализуется в данном случае. Это зависит от числовых значений приведенных в условии задачи параметров.

Рис. 43. Площади под графиками скорости для двух движений, рассматриваемых в задаче 2

Рассмотрим построенные на одном чертеже графики скорости автомобиля и грузовика (рис. 43). Пройденный каждым из них путь к моменту времени определяется площадью под соответствующим графиком. Легко видеть, что автомобиль могбы поравняться с грузовиком, продолжая при этом разгоняться, только при условии, что он может достичь скорости Именно при достижении такой скорости в некоторый момент времени 1 площадь треугольника будет равна площади прямоугольника Однако

что превосходит максимальную разрешенную скорость. Поэтому автомобиль догонит грузовик, уже закончив разгон и двигаясь с постоянной скоростью

Момент времени , когда это произойдет, можно найти, представив пройденный автомобилем путь как сумму пути на участке разгона, равного и пути при равномерном движении и приравнивая эту сумму пути пройденному грузовиком:

Отсюда

Отметим еще раз, что этот результат справедлив только при

Расстояние от светофора в момент времени равно

При подстановке в эту формулу значений необходимо согласовать единицы, т. е. либо выразить скорость в метрах в секунду, либо время — в часах.

3. Вверх и вниз. Подброшенное вертикально вверх тело пролетает через расположенную на высоте точку А дважды с интервалом времени . С какой скоростью тело упадет на землю? Сколько времени оно находилось в полете?

Решение. Высота , на которой находится тело в момент времени выражается формулой (5). Поскольку начальная скорость направлена вертикально вверх, а ускорение — вертикально вниз, то для нашего случая формула (5) принимает вид

Подчеркнем, что это соотношение описывает весь полет брошенного вверх тела — как подъем, так и спуск. Это квадратное уравнение относительно момента времени в который тело находится на высоте . Решая его, находим

По условию задачи тело побывало на высоте дважды, поэтому корни должны быть вещественными. Это значит, что дискриминант положителен:

откуда При меньшей начальной скорости тело вообще не достигло бы высоты Из (8) видно, что один из корней меньше величины равной времени подъема тела до максимальной высоты Он соответствует прохождению тела через точку А при подъеме. Второй корень, как легко видеть, больше, чем но в силу (9) меньше полного времени полета,

равного Очевидно, что заданный в условии задачи промежуток времени х равен разности корней (8):

Отсюда для начальной скорости тела имеем

С такой же по модулю скоростью тело упадет на землю. Для полного времени полета отсюда получаем значение

Эту задачу можно решить проще, не прибегая к уравнению движения (5), если воспользоваться тем, что время подъема на максимальную высоту и время падения с нее до прежнего уровня одинаковы. Очевидно, что тело поднималось от высоты до максимальной в течение и столько же времени падало обратно. Поэтому, достигнув высоты при спуске, оно имело там скорость Применяя к дальнейшему падению с высоты до поверхности земли формулу (6), можем написать выражение для скорости в момент падения:

В предельном случае эта формула переходит в известное выражение для скорости падения с высоты

Формулы равноускоренного движения. Как и раньше, ускорение определяемое формулой (1), можно выразить, используя понятие производной:

Как отмечалось выше, при любой зависимости скорости от времени расстояние от начальной точки изображается площадью между графиком скорости и осью времени (см. рис. 41). В математике такая площадь под графиком функции дается определенным интегралом:

В тех случаях, когда на всем интервале от 0 до скорость (т. е. движение происходит все время в одном направлении), этот интеграл получается положительным Если же направление движения изменялось, то промежуток времени, на котором (т. е. движение происходит в обратную сторону) дает отрицательный вклад в значение интеграла (11). Для нахождения пути, пройденного телом за все время движения от 0 до достаточно заменить в формуле под интегралом на

При движении с постоянной скоростью интеграл дает площадь прямоугольника . В случае равноускоренного движения, когда интеграл дает площадь трапеции:

что совпадает с формулой (5а).

Аналогично формуле (11) может быть записано выражение для мгновенной скорости при неравномерном движении с произвольным ускорением Это можно увидеть из аналогии между формулами Поэтому приращение скорости за промежуток времени от 0 до записывается в виде

Геометрически это приращение скорости изображается площадью под графиком зависимости ускорения от времени . В частном случае движения с постоянным ускорением формула (12) дает

что совпадает с формулой (3).

Задача

4. Путь как площадь под графиком скорости. График зависимости скорости тела от времени имеет вид трети окружности (рис. 44), причем максимальное значение скорости равно Найдите пройденный путь если время движения равно

Решение. Пройденный телом путь изображается площадью под графиком скорости. В данном случае это площадь сегмента с центральным углом Обозначив через радиус окружности, дуга которой представляет собой график скорости, для площади сегмента можно написать следующее выражение, рассматривая ее как разность площадей сектора и треугольника (рис. 44):

Рис. 44. Путь, геометрически изображаемый площадью под графиком скорости

Из соображений размерности очевидно, что ответ должен иметь вид , где k — некоторый безразмерный (числовой) коэффициент. Поэтому в формуле (13) нужно выразить в одно через а другое — через Из рис. 44 видно, что можно выразить либо через

как либо через как Таким образом, для пройденного пути получаем

Проделанная процедура восстановления правильной размерности в формуле (14) на первый взгляд кажется весьма искусственной. Однако она необходима всегда, когда пройденный путь подсчитывается не как интеграл от скорости по формуле (11), а как площадь геометрической фигуры, выражаемая через какой-либо один ее линейный размер. Ведь изменение масштаба графика по одной из осей изменяет форму геометрической фигуры. В нашем случае вместо дуги окружности график скорости при этом превратился бы в часть эллипса. Поэтому формула (13) справедлива только при вполне определенном соотношении масштабов по осям .

Рис. 45. Путь как площадь под графиком скорости при равиозамедленном движении

Сказанное можно пояснить на более простом примере, когда график скорости имеет вид, показанный на рис. 45.

Пройденный путь равен, очевидно, Однако если в условии задачи указать, что график скорости образует с осями равнобедренный треугольник, то может возникнуть соблазн записать пройденный путь как либо как , что, разумеется, нельзя рассматривать как окончательный ответ в физической задаче. При изменении масштаба по одной из осей треугольник перестает быть равнобедренным и подобное искушение уже не возникает.