§ 5. Одновременные перемещения. Сложение перемещений

Мы знаем, как складываются перемещения, происходящие последовательно. А как складываются перемещения, когда тело одновременно участвует в нескольких движениях? Рассмотрим следующий пример. Паром переправляет пассажиров с одного берега фиорда на другой. Стоящий в его левом углу пассажир совершает вместе с паромом перемещение а относительно берегов и попадает из точки А в точку (рис. 10а). Если бы паром стоял на месте,

а человек пересек бы его наискосок, то он совершил бы относительно берегов перемещение и попал бы из точки А в точку (рис. 10 б). А теперь рассмотрим такую ситуацию: паром пересекает фиорд, а человек в это время пересекает паром наискосок.

Рис. 10. Пример сложения одновременных перемещений (переправа на пароме)

Где он окажется в результате одновременного участия в этих двух движениях? Опыт показывает, что человек попадет в точку т. е. совершит относительно берегов перемещение с, равное сумме векторов а и (рис. 10 в). В физике это утверждение иногда называют принципом независимости перемещений.

Независимость перемещений. Такой же результат получится и в случае, когда сначала паром пересечет фиорд и только после его причаливания пассажир пересечет паром наискосок, и в случае, когда сначала человек пересечет наискосок неподвижный паром и только затем паром переправит его на другой берег. Во всех этих случаях человек попадет в одну и ту же точку Его результирующее перемещение относительно берегов будет одним и тем же независимо от последовательности выполнения отдельных составляющих перемещений. С математической точки зрения это означает, что векторное сложение перемещений коммутативно — его результат не зависит от порядка слагаемых: .

Задача

Переправа на пароме. Ширина фиорда Квадратный паром со стороной переправляется поперек фиорда. За время переправы пассажир, двигаясь из точки А (рис. 11) наискосок парома, успевает дойти до его середины. Найдите перемещение пассажира относительно берегов.

Решение. Если бы паром стоял на месте, то перемещение пассажира изображалось бы вектором проведенным из угла А квадрата в его центр (рис. 11). Очевидно, что он направлен под углом 45° к берегу, а его модуль

равен Перемещение самого парома изображается вектором а, перпендикулярным берегу. Его модуль

Результирующее перемещение пассажира изображается вектором с, проведенным по диагонали параллелограмма, построенного на векторах а и Из рис. 11 видно, что его модуль проще находить не как длину диагонали, а как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами

По теореме Пифагора

Направление вектора с можно определить, вычислив значение синуса угла а (рис. 11), образуемого вектором с и перпендикуляром к береговой линии:

Рис. 11. Сложение перемещений при переправе на пароме

Поскольку то его значение приближенно совпадает с самим углом а в радианной мере. Умножая это значение на находим а

Приведите примеры сложения перемещений, когда тело одновременно участвует в нескольких движениях.

Зависит ли результат сложения трех и большего числа перемещений от последовательности, в которой производится их сложение? Проверьте ваш ответ на каком-либо конкретном примере.

Геометрия и опыт. Зачем нужна была ссылка на опыт при утверждении, что результирующее перемещение тела, участвующего в двух движениях, равно векторной сумме составляющих перемещений? Разве это не очевидно с самого начала? Когда мы говорим о сложении векторов, то имеем в виду правила действий, определяемые в евклидовой геометрии. Опыт, о котором идет речь, фактически служит проверкой того, что геометрия реального физического пространства является евклидовой.

Нужно ли проверять на опыте справедливость евклидовой геометрии? Правильность математической теории, в частности геометрии Евклида, определяется ее внутренней непротиворечивостью, устанавливаемой чисто логическим путем. Ссылки на опыт здесь не нужны. В противоположность «чистой» математике, где величины по определению обладают теми свойствами, которые им произвольно приписаны, в физике необходимо не приписывать, а экспериментально открывать отдельные объективно существующие свойства.

Физические величины определяются прежде всего по тем признакам, по которым мы распознаем их, сталкиваясь с ними при наблюдении окружающего мира. Вместо абстрактных

геометрических понятий точки, прямой линии и т. д. в физике приходится иметь дело с их материальными воплощениями. Например, прямой линии сопоставляется луч света — узкий световой пучок.

Геометрические представления имеют для физики принципиальное значение. С ними связан вопрос о физических свойствах реального мира: можно ли в физических измерениях предполагать, что справедливы аксиомы и теоремы евклидовой геометрии? Такой вопрос не возникал, пока геометрия Евклида была единственной известной геометрией и ее применимость к физическому пространству считалась самоочевидной. Однако уже в XIX веке выяснилось, что возможно существование и других геометрий, основанных на наборах аксиом, отличных от аксиом, на которых зиждется геометрия Евклида.

Искривленное пространство. Для того чтобы понять, в чем могут заключаться отличия геометрии пространства от евклидовой геометрии, вообразим себе, каким представлялся бы мир гипотетическим разумным двумерным существам, живущим во вселенной, которая представляет собой поверхность шара. Трехмерное пространство, в котором находится этот шар, им так же трудно себе представить, как нам — четырехмерное пространство.

Рис. 12. В сферическом треугольнике сумма углов превышает

Что представляет собой геометрия искривленного двумерного пространства, в котором они живут? Аналогом прямых линий служат дуги больших кругов, так как именно они реализуют кратчайшее расстояние на поверхности шара между двумя ее точками: вообразим себе нить, натянутую между двумя точками на глобусе. Из таких «прямых» можно строить треугольники. Легко убедиться в том, что сумма углов в таких треугольниках всегда больше Проще всего это увидеть для треугольника, одна из сторон которого представляет собой часть экватора на рис. 12), а две другие стороны — части меридианов.

Могут ли наши воображаемые существа установить отличие геометрии своего двумерного мира от евклидовой, не «выходя» за его пределы, т. е. в трехмерное пространство? Ответ очевиден: конечно, могут, для этого им достаточно выполнить тщательное измерение углов какого-либо треугольника и убедиться, что сумма этих углов не равна

В геометрии искривленного двумерного мира сумма двух последовательных перемещений зависит от порядка слагаемых. Например, на глобусе из некоторой точки экватора пройдем расстояние, равное одной пятой части меридиана, сначала на север, а затем на восток. Если же сначала пройти такое расстояние на восток, а потом повернуть на север, то в итоге мы попадем в совершенно другую точку глобуса.

Трехмерное пространство, как и рассмотренное двумерное, также может быть искривленным, описываемым неевклидовой геометрией. Поэтому только на опыте может быть решен вопрос о том, какова геометрия реального трехмерного физического пространства. Первым это осознал гениальный немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс, который еще в 1821 — 1823 гг. предпринял попытки с помощью геодезических приборов найти сумму углов треугольника, образованного удаленными вершинами трех гор. Ни в этих, ни во всех последующих экспериментах отклонения геометрии физического пространства от евклидовой не было обнаружено.

• Будет ли для прямоугольного треугольника на двумерной искривленной поверхности справедлива теорема Пифагора?

• При каких условиях нашим двумерным существам было бы трудно обнаружить на опыте искривление своего пространства?

• Мы живем на поверхности земного шара, т. е. фактически в тех же условиях, что и наши воображаемые двумерные существа. Как же мы можем утверждать, что геометрия реального физического пространства евклидова?