§ 12. Равнопеременное движение в пространстве

Рассмотрим движение частицы, при котором вектор ускорения а постоянен. Примером такого движения может служить свободный полет брошенного с произвольной начальной скоростью тела в поле тяжести Земли, когда сопротивление воздуха несущественно.

При постоянном ускорении в формуле, определяющей ускорение, промежуток времени может быть любым, и поэтому приращение скорости за промежуток можно записать в виде

Выбирая в качестве промежуток времени от 0 до для скорости в момент времени получаем

где — скорость при

Перемещение в пространстве. Формулу (2) можно интерпретировать как результат сложения скоростей двух независимых прямолинейных движений, в которых одновременно участвует частица: равномерного движения с постоянной скоростью в направлении вектора и равноускоренного движения с ускорением а без начальной скорости в направлении вектора а.

Если бы тело участвовало только в одном из этих движений, то легко было бы написать выражения для его перемещений. В первом случае это был бы вектор, равный , а во втором случае — вектор, равный . В самом деле, в этих случаях траектория движения — прямая, а расстояние вдоль нее от начальной точки равно соответственно . В полном согласии с принципом независимости перемещений при одновременном участии тела в этих двух движениях его перемещение равно векторной сумме . Если поместить начало отсчета в точку, где находилось тело при то вектор перемещения за промежуток времени от 0 до совпадает с его радиусом-вектором в момент времени Поэтому

Нетрудно видеть, что скорость тела в момент если ее найти с помощью формулы (3), совпадает с выражением (2). В частном

случае движения тела, брошенного под углом к горизонту в поле тяжести Земли, формула (3) принимает вид

где — вектор ускорения свободного падения, направленный вертикально вниз и равный по модулю приблизительно

Хотя каждое из двух рассматриваемых при получении формулы (3) движений происходит по прямой, результирующее движение тела происходит по криволинейной траектории, если, разумеется, направления векторов и а не совпадают. Эта криволинейная траектория, однако, лежит в той же плоскости, в которой лежат векторы и а.

Задачи

I. Дальность полета. Тело брошено с поверхности земли под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью и упало на землю через время с. На каком расстоянии от начальной точки оно упало?

Решение. Для рассматриваемого движения справедлива формула (4):

Найдем геометрический образ этого векторного уравнения. Попробуем нарисовать треугольник, соответствующий равенству (5). Так как по условию задачи точка А падения тела находится на поверхности земли, проведенный в нее из начальной точки О вектор направлен горизонтально (рис. 49). Вектор выходит из начальной точки О и направлен вдоль под некоторым углом к горизонту. Вектор направлен вертикально вниз и заканчивается в той же точке А, что и вектор Поэтому получившийся треугольник прямоугольный. Расстояние равное модулю вектора можно найти с помощью теоремы Пифагора:

Рис. 49. Перемещение как сумма двух слагаемых

Подставляя в (6) заданные значения находим искомую дальность полета:

Обратим внимание на то, что формально при заданном времени полета дальность не зависит от угла, под которым брошено тело. Дело в том, что данные условия задачи однозначно определяют этот угол. Из рис. 49 видно, что Подставляя значения находим

Значения и в условии задачи не могут быть произвольными. В самом деле, время полета не может превышать значения

соответствующего вертикальному направлению начальной скорости. Это условие можно, разумеется, получить и непосредственно из выражения (6), если учесть, что физический смысл ответ имеет только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Можно получить его и из очевидного требования

2. Максимальная дальность. Камень брошен с поверхности земли с начальной скоростью направленной под углом к горизонту. Найдите дальность полета по горизонтали, т. е. расстояние до точки его падения на землю. При каком значении угла а дальность полета максимальна?

Решение. Очевидно, что полет камня описывается тем же уравнением (5), которому соответствует треугольник векторов, показанный на рис. 49. Выразив катет через гипотенузу и синус угла а, можно найти время полета камня:

Теперь легко найти горизонтальный катет, который и равен искомой дальности полета камня:

При заданном значении начальной скорости дальность полета зависит от угла а. Наибольшая дальность полета достигается при , так как в при этом принимает свое максимальное значение, равное единице.

Из формулы (7) следует, что любая дальность полета, меньшая максимальной дальности получается при двух значениях угла а, дополняющих друг друга до 90°.

Рис. 50. Настильная и навесная (2) траектории, проходящие через одну и ту же точку

Значению угла меньшему 45°, соответствует пологая траектория, называемая настильной, а углу симметрично отклоняющемуся от 45° вверх, — крутая траектория, называемая навесной (рис. 50).

3. Полет над склоном. Камень бросают со склона горы с начальной скоростью направленной под углом а к склону горы, образующему угол Р с горизонтом. На каком расстоянии вдоль склона от точки бросания упадет камень?

Решение. Движение камня по-прежнему описывается уравнением (5), но соответствующий ему треугольник векторов уже не будет прямоугольным (рис. 51). Вектор соответствующий моменту падения, направлен вдоль склона горы в конечную точку А, вектор направлен вдоль вектор вертикально вниз и заканчивается в точке А. Чтобы установить соотношение между сторонами этого треугольника, опустим из его вершины В перпендикуляр на сторону соответствующую склону горы. Выражая высоту треугольника через гипотенузы двух примыкающих к ней прямоугольных треугольников, приходим к равенству

откуда находим время полета

Рис. 51. Результируюущее перемещение как сумма векторов

Если подставить найденное значение в то получим значения модулей соответствующих векторов, т. е. длины сторон и рассматриваемого треугольника. Теперь искомое расстояние вдоль склона горы можно найти как сумму длин отрезков и выразив их как катеты соответствующих прямоугольных треугольников. После простых преобразований получаем

Видно, что при значение I переходит в найденное в предыдущей задаче значение дальности полета по горизонтали (7). Другой предельный случай, допускающий непосредственную проверку правильности ответа, — это что соответствует бросанию камня вертикально вверх. При этом , что дает — камень упадет в ту же точку.

Задачи для самостоятельного решения

1. Мячик падает отвесно без начальной скорости на наклонную плоскость, образующую угол а с горизонтом, и упруго отражается от нее (при упругом ударе мячик отражается от плоскости подобно лучу света, сохраняя модуль своей скорости). На каком расстоянии вдоль плоскости от точки отражения мячик снова ударится о наклонную плоскость, если из начальной точки до плоскости он пролетел расстояние ?

Рис. 52. Траектория над склоном горы

2. Камень брошен со склона горы с некоторой начальной скоростью, направленной под углом а к склону, образующему угол с горизонтом. На каком расстоянии вдоль склона от точки бросания упадет камень, если известно, что он пролетает через

точку А, положение которой задано высотой над склоном горы и расстоянием вдоль склона от начальной точки (рис. 52)?

• Приведите соображения, подтверждающие справедливость уравнений (3) и (4). Сформулируйте условия их применимости.

• При каком направлении начальной скорости дальность полета брошенного тела будет наибольшей? Обеспечит ли такое направление начальной скорости наибольшую дальность при броске из точки, находящейся на некоторой высоте над землей?

• Что такое настильная и навесная траектории?

Векторные формулы при a=const. Из определения скорости как производной радиуса-вектора по времени:

следует, что приращение радиуса-вектора за промежуток времени от 0 до может быть выражено через с помощью определенного интеграла:

При движении с постоянной скоростью формула (8) дает

В случае равноускоренного движения, когда вычисление интеграла в формуле (8) дает

В случае неравномерного движения с произвольным ускорением для приращения скорости за промежуток времени от 0 до можно написать

При равноускоренном движении, когда выражение (11) приводит, естественно, к формуле (2):