§ 38. Фазовая плоскость. Адиабатические инварианты

Наглядное представление об общем характере движения механической системы дают так называемые фазовые диаграммы.

Рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы, положение которой полностью определяется заданием единственной координаты. Это может быть координата точки на оси или на кривой при одномерном движении (т. е. движении по заданной траектории), угол отклонения от вертикали стержня, который может поворачиваться вокруг оси, и т. д. Механическое состояние такой системы определяется заданием двух величин — координаты и импульса (или скорости). Для описания движения таких систем используются графики, изображающие зависимость координаты от времени и скорости от времени. Наряду с ними можно рассматривать график зависимости импульса (или скорости) от координаты. Этот график легко построить, отталкиваясь от графиков .

Фазовые траектории. Введем на плоскости систему координат и отложим координату х по оси абсцисс и импульс по оси ординат. Механическое состояние системы в каждый момент времени будет изображаться точкой на этой плоскости, соответствующей значениям в этот момент времени. При изменении механического состояния изображающая его точка будет двигаться в этой плоскости по некоторой линии. Если рассматриваемая система возвращается в исходное состояние, то соответствующая такому движению линия замыкается. Плоскость или называется фазовой плоскостью, а кривая, по которой движется изображающая точка при изменении механического состояния системы, — фазовой траекторией.

Рис. 134. Шарик, упруго отражающийся от стенок, и его фазовая траектория

Построим фазовые траектории для некоторых простых систем.

Простейший пример — это движущийся без трения по горизонтали упругий шарик, поочередно отражающийся от двух параллельных вертикальных стенок (рис. 134). Если удар о стенку считать абсолютно упругим, то неизменная по модулю скорость шарика практически скачком меняет

направление у стенки. Фазовая траектория движения шарика радиуса показана на нижней части рис. 134. Она представляет собой прямоугольник, верхняя горизонтальная сторона которого соответствует движению шарика с постоянной скоростью на всем интервале от левой стенки до правой, а нижняя — обратному движению от правой стенки до левой, когда проекция скорости равна —V. Вертикальные стороны фазовой траектории соответствуют изменению скорости при неизменном значении координаты от до —V у правой стенки и от до и у левой. Изображающая механическое состояние шарика точка обходит фазовую траекторию в направлении по часовой стрелке. По горизонтальным участкам фазовой траектории эта точка движется равномерно, а вертикальные проскакивает мгновенно в соответствии с выбранной моделью упругого удара о стенки.

Другой пример — шарик, свободно падающий в поле тяжести и упруго отражающийся от горизонтальной плиты. При пренебрежении потерями механической энергии шарик будет совершать периодическое движение, поднимаясь до некоторой высоты и свободно падая обратно. Период движения шарика зависит от максимальной высоты подъема которая определяется начальными условиями, и равен, очевидно, суммарному времени падения и подъема, т. е. Зависимость скорости шарика от его высоты проще всего найти с помощью закона сохранения энергии:

откуда для получаем

Два знака перед квадратным корнем соответствуют движению шарика вверх и вниз.

Рис. 135. Фазовая траектория шарика, отскакивающего от горизонтальной упругой плиты в поле тяжести

Фазовая траектория этого движения, изображенная на рис. 135, состоит из вертикального участка, соответствующего мгновенному изменению направления скорости шарика при ударе о плиту, и части параболы с горизонтальной осью симметрии, определяемой уравнением (2). Для удобства начало отсчета высоты шарика выбрано на уровне над плитой, где — радиус шарика. Точка, изображающая механическое состояние шарика, движется по фазовой траектории по часовой стрелке. На верхней ветви параболического участка изображающая точка замедляется, что соответствует уменьшению скорости шарика по мере его подъема, а на нижнем — разгоняется. Вертикальный участок фазовой траектории изображающая точка проскакивает мгновенно.

Фазовая траектория и потенциальная энергия. Уравнение фазовой траектории консервативной системы фактически представляет собой уравнение закона сохранения энергии. В данном случае, например, зависимость выражаемая соотношением (2), была получена из (1). Так как в выражение для механической энергии системы входит слагаемым ее потенциальная энергия то интересно сопоставить фазовую траекторию с графиком потенциальной энергии (рис. 136).

Рис. 136. График потенциальной энергии и фазовая траектория для шарика в поле тяжести, отскакивающего от горизонтальной упругой плиты

В верхней части рисунка приведен график потенциальной энергии шарика. Этот график представляет собой «потенциальную яму», состоящую из наклонной правой стенки, соответствующей линейному увеличению потенциальной энергии в однородном поле тяжести с высотой, и вертикальной левой стенки, соответствующей выбранной модели упругого отражения шарика от горизонтальной плиты. Эта ветвь графика соответствует потенциальной энергии упругой деформации. Она получается вертикальной при бесконечно большой жесткости (модуле Юнга) деформируемого материала. На графике потенциальной энергии отложено также значение полной механической энергии

На нижней части рисунка показана фазовая траектория движения шарика с таким значением полной энергии. Скорость обращается в нуль в тех точках оси где потенциальная энергия становится равной полной энергии. Это границы движения с такой энергией, или точки поворота. В данном случае это точка соответствующая максимальной высоте подъема, и точка За пределами этих точек движение при данной полной энергии невозможно.

Фазовая траектория дает наглядное представление о движении в целом, позволяя восстановить его полную картину. Фазовую траекторию, разумеется, можно построить, решив уравнения динамики и найдя функции Но, как мы видели, ее можно построить, имея только выражение для механической энергии системы. Метод фазовых траекторий оказывается очень эффективным при изучении сложных движений, когда не удается получить аналитическое решение уравнений динамики.

Математический маятник. В качестве примера рассмотрим математический маятник — точку массы прикрепленную к концу легкого жесткого стержня длины который может поворачиваться вокруг горизонтальной оси, проходящей через другой ее конец (рис. 137). Потенциальная энергия такой системы в поле тяжести зависит от угла отклонения стержня от вертикального равновесного положения. Ее можно записать в виде

График приведен в верхней части рис. 138. Минимум потенциальной энергии соответствует устойчивому положению равновесия при Максимумы в точках соответствуют одному и тому же вертикальному перевернутому неустойчивому положению равновесия маятника.

Рис. 137. Маятник в поле тяжести

Рис. 138. Потенциальная энергия и фазовая плоскость тяжелого маятника в поле тяжести

Точка массы может двигаться только по дуге окружности радиуса Поэтому ее скорость можно записать как

где угловая скорость, а кинетическую энергию — как В отсутствие трения механическая энергия маятника Е сохраняется. Уравнение закона сохранения энергии имеет вид

Значение полной энергии Е определяется начальными условиями. Можно, например, возбуждать маятник, находящийся в нижнем положении, сообщая ему толчком некоторую начальную скорость . В этом случае Характер движения маятника зависит от значения этой полной энергии Е. Если Е превышает максимальное возможное значение потенциальной энергии маятник совершает непрерывное неравномерное вращение в одну сторону с периодически изменяющейся угловой скоростью. Если же маятник совершает колебания около положения устойчивого равновесия, отклоняясь от него вправо и влево на одинаковые углы.

Фазовый портрет маятника. Наглядную картину возможных движений маятника дает фазовая плоскость, показанная в нижней части рис. 138, где по оси абсцисс отложен угол отклонения из равновесия, а по оси ординат — угловая скорость Непрерывному вращению маятника соответствуют незамкнутые фазовые траектории: верхняя траектория относится к вращению против часовой стрелки (в положительном направлении отсчета угла а нижняя — к вращению по часовой стрелке. Видно, что при прохождении нижней точки маятник движется быстро, а в верхней точке — замедляется.

Замкнутые фазовые траектории соответствуют периодическим колебаниям около устойчивого положения равновесия. Изображающая механическое состояние точка обходит эти траектории по часовой стрелке вокруг точки О на фазовой плоскости, соответствующей состоянию покоя в положении устойчивого равновесия. В положении равновесия скорость максимальна. Она убывает по модулю по мере приближения к точкам поворота в которых потенциальная энергия сравнивается с полной. В этих точках скорость обращается в нуль, а направление движения маятника изменяется на противоположное.

Фазовые траектории, показанные на диаграмме жирными линиями, — это так называемые сепаратрисы, которые отделяют замкнутые фазовые траектории от разомкнутых. Уравнения сепаратрис получаются из (4), если положить там

Точка, изображающая механическое состояние системы с полной энергией движется на фазовой плоскости по сепаратрисе. Подходя, например, к точке А, соответствующей перевернутому положению маятника, она постепенно замедляется и в точке А «застревает» — останавливается в положении неустойчивого равновесия. Формально приближение к этому состоянию в отсутствие трения продолжается бесконечно долго. Из точки А выходят две фазовые траектории в соответствии с тем, что застывший в неустойчивом положении равновесия маятник может «свалиться» в любую сторону.

• Нарисуйте схематически график потенциальной энергии вместе с фазовой диаграммой для шарика, поочередно отражающегося от параллельных вертикальных стенок. Какой смысл имеет то обстоятельство, что соответствующая потенциальная яма имеет бесконечно высокие стенки?

• Каким положениям маятника соответствуют значения фазовой диаграммы на рис. 138?

• Покажите, что по замкнутым фазовым траекториям на рис. 138 изображающая точка движется по часовой стрелке.

• Объясните, почему уравнения сепаратрис (5) получаются из закона сохранения энергии (4), если положить в нем .

• Через каждую точку фазовой плоскости проходит, как правило, только одна фазовая траектория, что соответствует механическому детерминизму: задание состояния в какой-либо момент времени однозначно определяет дальнейшее движение системы. Какой смысл имеют точки фазовой плоскости (например, точка А на рис. 138), которые не удовлетворяют этому условию?

• Проходят ли фазовые траектории через точку О на рис. 138?

Адиабатические инварианты. Изменение параметров физической системы всегда сопровождается изменением некоторых характеристик ее движения. Например, изменение длины маятника настенных часов приводит к изменению периода его колебаний, что используется для регулировки точности хода часов. Особый интерес представляет случай, когда изменение параметров системы происходит непосредственно во время ее движения.

Оказывается, что в физической системе существуют характеристики, которые остаются почти постоянными при медленном, как говорят, адиабатическом изменении ее параметров. Такие величины, сохраняющиеся с большой точностью при медленном изменении параметров системы, называются адиабатическими инвариантами. Условие адиабатичности изменения параметров можно записать в виде где — характерный для системы период, а — характерное время изменения ее параметров.

Как находить адиабатические инварианты и как определять точность, с которой они сохраняются? Решение этих вопросов представляет собой одну из красивейших и еще незавершенных областей физики. С адиабатическими инвариантами связано так много важных результатов в классической и квантовой физике, что сейчас уже невозможно представить себе какую-либо область физики без этого понятия.

Пример инварианта. В существовании адиабатических инвариантов легко убедиться, обратившись к рассмотренному выше примеру упругого шарика, поочередно отражающегося от двух параллельных вертикальных стенок. Предположим, что одна из стенок, например правая, медленно движется вправо или влево с некоторой заданной скоростью и, малой по сравнению со скоростью шарика При каждом отражении шарика от этой стенки будет изменяться не только направление его скорости на противоположное, но и ее модуль. Изменение скорости шарика при отражении от движущейся стенки проще всего найти следующим образом. Перейдем в систему отсчета, связанную с движущейся стенкой. В этой системе проекция скорости шарика при упругом ударе изменяет знак на противоположный. Поэтому, если до удара проекция скорости шарика в лабораторной системе была в системе, связанной со стенкой, она была , то после удара в этой системе она равна — и соответственно в лабораторной системе после удара

Так будет повторяться при каждом соударении шарика со стенкой, поэтому шарик будет постепенно разгоняться, если стенки сближаются и замедляться, если стенки раздвигаются Пусть для определенности расстояние между стенками уменьшается. Тогда при каждом отражении от движущейся навстречу ему стенки шарик, в соответствии с (6), увеличивает свою скорость на После таких столкновений его скорость станет равной

Считая, что эти соударений произошли за время для нового расстояния 1 между стенками можно написать

Если за время первоначальное расстояние между стенками изменилось незначительно, то соотношение между и можно приближенно записать в виде

так как соответствует промежутку времени между двумя последовательными соударениями с движущейся стенкой. Подставляя из (9) в (8), перепишем соотношения (7) и (8) следующим образом:

Из формул (10) видно, что относительное уменьшение расстояния между стенками сопровождается таким же относительным увеличением скорости шарика. Если вторые слагаемые в скобках малы по сравнению с единицей, произведение остается почти постоянным:

Это и есть адиабатический инвариант рассматриваемой системы.

Геометрический смысл инварианта. Адиабатическому инварианту можно придать наглядный геометрический смысл на фазовой плоскости (см. ряс. 134). Легко видеть, что произведение представляет собой площадь части фазовой плоскости, охватываемой замкнутой фазовой траекторией рассматриваемого периодического движения. При сближении стенок этот прямоугольник меняет свои пропорции (рис. 139), но так, что его площадь остается неизменной.

Рис. 139. При медленном изменении расстояния между стенками охватываемая фазовой траекторией площадь остается неизменной

Другим механическим системам соответствуют, разумеется, иные фазовые траектории, например эллипсы на рис. 138, описывающие колебания маятника около устойчивого положения равновесия. Но охватываемая фазовой траекторией площадь будет представлять собой адиабатический инвариант лишь при условии, когда эта площадь соответствует физическому смыслу инварианта, т. е. имеет размерность энергии, умноженной на время: Это значит, что для маятника по осям на фазовой плоскости следует откладывать и При медленном изменении какого-либо параметра, в частности длины колеблющегося маятника, площадь, охватываемая эллипсом, будет оставаться неизменной, хотя его полуоси изменяются.

Физический смысл инварианта. Физический смысл адиабатического инварианта проясняется, если в рассмотренном примере шарика между стенками перейти от скорости к импульсу

шарика и подставить в инвариантное произведение расстояние выразив его через скорость и период Т движения шарика: В результате получим

где — кинетическая энергия шарика. Если система обладает не только кинетической, но и потенциальной энергией, как в случае качающегося около положения равновесия маятника, то адиабатический инвариант представляет собой произведение полной механической энергии Е системы на период Т. При медленном изменении параметров системы ее энергия и период изменяются так, что их произведение остается неизменным:

Условия существования инварианта. При поиске адиабатических инвариантов в изучаемой системе следует быть очень осмотрительным. Напомним, что условие адиабатичности изменения параметра заключается в выполнении неравенства параметр должен изменяться медленно в масштабе характерного для системы времени (периода движения). Например, если медленно движущуюся стенку в рассмотренной выше системе перед каждым столкновением с шариком останавливать на короткое время, то никакого адиабатического инварианта уже не будет: модуль скорости шарика не меняется при таком медленном монотонном уменьшении расстояния между стенками. Здесь характерное время изменения внешнего параметра оказывается таким же, как и период движения шарика.

Еще более поучительным может оказаться следующий пример. Как уже отмечалось, при медленном изменении длины маятника, например при втягивании в отверстие нити, на которой качается грузик, инвариант существует: произведение энергии колебаний на период остается неизменным, хотя каждый из сомножителей изменяется. Однако при медленном изменении массы грузика, например за счет его испарения, адиабатического инварианта не существует, так как период его колебаний остается неизменным. В данном случае условия уменьшения массы (скорость отделяющихся молекул пара) изменяются в такт с колебаниями маятника, т. е. параметр изменяется в том же временнбм масштабе, что и колебания маятника. В противоположность этому при втягивании нити колебания маятника никак не влияют на скорость изменения длины нити, определяемую только внешними условиями.

Вопрос оценки точности, с которой сохраняется адиабатический инвариант, например (11), не так прост, как может показаться на первый взгляд. Пока второе слагаемое в скобках много

меньше единицы, точность инварианта определяется отбрасываемыми квадратичными членами (которые не учитывались уже в Но даже в тех случаях, когда члены уже нельзя считать малыми, адиабатический инвариант сохраняется с точностью, существенно превышающей ту, которую можно ожидать на основании формулы (11).

• Что такое адиабатический инвариант? Каков его геометрический смысл на фазовой диаграмме?

• Пусть расстояние между сближающимися стенками уменьшилось в два раза. Во сколько раз при этом изменится энергия мечущегося между ними шарика? За счет чего происходит увеличение энергии шарика? Как изменится период?