§ 18. Взаимодействие тел. Третий закон Ньютона

Действующие на тело силы всегда обусловлены его взаимодействием с другими телами. Третий закон Ньютона количественно характеризует это взаимодействие:

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль соединяющей тела прямой:

Этот закон справедлив независимо от физической природы взаимодействия тел. Всемирное тяготение, взаимодействие неподвижных электрических зарядов — все это примеры взаимодействий, для которых справедлив третий закон Ньютона. Однако в каждом конкретном случае в равенстве (1) обе фигурирующие силы имеют одну и ту же физическую природу, хотя и приложены к разным телам.

Третий закон Ньютона является прямым обобщением экспериментальных фактов. В его справедливости можно убедиться на ряде простых опытов.

Для неподвижных взаимодействующих тел возможно непосредственное измерение сил взаимодействия с помощью динамометров. Рассмотрим, например, притяжение стального шарика постоянным магнитом. Для исключения трения поместим их на подставки,

которые могут перемещаться по воздушной дорожке (рис. 68). Соединим подставки со стенками через пружинные динамометры . В равновесии показания динамометров окажутся одинаковыми.

Рис. 68. Показания динамометров одинаковы

Легко сообразить, что измеряет силу действующую на шарик (тело 1) со стороны магнита (тело 2), — силу действующую на магнит со стороны шарика. Силы взаимодействия магнита и шарика оказались равными и противоположно направленными.

В тех случаях, когда взаимодействующие тела движутся и сообщают друг другу ускорения, определить силы, с которыми они действуют друг на друга, можно с помощью второго закона Ньютона. Рассмотрим, например, взаимодействие двух движущихся по воздушной дорожке тележек, массы которых известны (измерены заранее). Взаимодействие тележек может быть осуществлено либо соединяющей их легкой упругой пружиной, либо закрепленными на них магнитом и стальным шариком, либо двумя магнитами, либо еще каким-нибудь другим способом. Независимо от способа взаимодействия, т. е. физической природы действующих сил, мы обнаружим, что тележки сообщают друг другу противоположные по направлению ускорения причем модули ускорений тележек в любой, но один и тот же момент времени обратно пропорциональны массам тележек:

В соответствии со вторым законом Ньютона это означает, что силы взаимодействия тележек равны по модулю и противоположно направлены. Действительно, так как то из (2) с учетом того, что направления ускорений а: и противоположны, следует

Действие и противодействие. Итак, опыт показывает, что для любых двух тел при любом характере их взаимодействия силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны. В формулировке самого Ньютона третий закон звучит следующим образом: «Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия

двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны». Не следует, однако, думать, что «противодействие» чем-либо принципиально отличается от «действия». Такая терминология неудачна, так как в ней подразумевается активный характер одной из сил и пассивный — второй, хотя на самом деле силы взаимодействия всегда имеют одинаковую физическую природу и выступают равноправными партнерами. Если «действующая» сила обусловлена всемирным тяготением, то и «противодействующая» сила обусловлена этой же причиной. Если действующая сила вызвана упругой деформацией одного из соприкасающихся тел, то противодействующая — деформацией второго, и т. д.

Взвешивание Луны. Равенство (2) можно использовать для сравнения масс небесных тел, опираясь на то, что третий закон Ньютона справедлив для сил их гравитационного притяжения. Из астрономических наблюдений известно, что Луна обращается по окружности радиуса км, но не вокруг центра Земли, а вокруг некоторой точки А (центра масс Земли и Луны), отстоящей от центра Земли на расстояние км (рис. 69).

Рис. 69. Ценры Земли и Луны движутся по окружностям радиусов с общим центром в точке А

Эта точка лежит внутри земного шара, так как его средний радиус км. Вокруг этой же точки движется по окружности и центр Земли. При этом Луна и Земля все время находятся на противоположных концах одной прямой, проходящей через точку А, совершая полный оборот вокруг нее за одно и то же время. Вспоминая выражение для центростремительного ускорения точки, движущейся по окружности радиуса с угловой скоростью видим, что отношение

ускорений Земли и Луны равно отношению радиусов и гл окружностей, по которым обращаются их центры:

Но вследствие третьего закона Ньютона отношение модулей ускорений взаимодействующих тел равно обратному отношению их масс (формула (2)), поэтому

Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли.

Строго говоря, третий закон Ньютона применительно к взаимодействию движущихся удаленных тел имеет приближенный характер, так как он предполагает мгновенное распространение взаимодействий, утверждая о равенстве сил в один и тот же момент времени. Поэтому для движущихся удаленных тел, взаимодействующих посредством создаваемых ими полей, этот закон выполняется лишь приближенно, в то время как при «контактном» взаимодействии, т. е. при непосредственном соприкосновении тел, он является точным.

Законы Ньютона в механике играют такую же роль, как и аксиомы при построении математической теории, например евклидовой геометрии. Вся динамика может быть получена дедуктивным путем как следствие этих законов.

• Описывая опыт, в котором сравнивались силы взаимодействия неподвижного магнита и стального шарика (см. рис. 68), мы считали, что эти силы измерялись с помощью динамометров. Объясните, почему в этом случае силы взаимодействия магнита и шарика не сообщают ускорения подставкам, на которых они закреплены. Как неподвижность подставок согласуется со вторым законом Ньютона?

• Как можно заранее измерить массы тележек с магнитом и шариком, которые используются в описанном выше опыте по измерению сил взаимодействия между движущимися телами?

• Допустим, что взаимодействие тележек осуществляется посредством зажатой между ними пружинки, которая при освобождении расталкивает покоившиеся до этого тележки. Докажите, что отношение ускорений сообщенных тележкам пружинкой, может быть измерено по отношению скоростей тележек

• Разъясните известный парадокс «лошади и телеги», заключающийся в следующем. Лошадь тянет телегу с некоторой силой. Однако в соответствии с третьим законом Ньютона телега действует на лошадь с равной, но противоположно направленной силой. Казалось бы, телега и лошадь должны при этом прийти в движение в противоположные стороны. Почему же лошади удается везти телегу за собой?

Логическая структура динамики. При логическом построении математической теории существует некоторая свобода в выборе основных аксиом. В динамике также можно несколько по-разному сформулировать основные законы. В принятом выше изложении основ механики Ньютона второй закон содержит экспериментально проверяемое утверждение о пропорциональности между ускорением и действующей силой и определение инертной массы.

Можно сформулировать законы динамики таким образом, чтобы определить массу независимо от второго закона. В этом случае второй закон будет содержать два утверждения: о пропорциональности ускорения силе и обратной пропорциональности массе. Каждое из этих утверждений можно независимо подвергнуть экспериментальной проверке.

Не опирающееся на второй закон Ньютона определение массы может быть основано на использовании третьего закона. При таком подходе третий закон динамики формулируется как утверждение, что при любом взаимодействии двух тел отношение модулей их ускорений есть постоянная для этих тел величина, которая по определению принимается равной обратному отношению их масс:

Это соотношение по виду совпадает с формулой (2), однако теперь в него вкладывается другой смысл. Если раньше оно выражало проверяемое на опыте соотношение между ускорениями двух тел, массы которых определялись порознь в опытах, основанных на втором законе Ньютона, то теперь это соотношение по определению, без помощи второго закона Ньютона, позволяет выразить массы всех тел через массу некоторого тела, принятого за эталон массы. В таком случае, имея независимые способы измерения силы и массы, можно экспериментально устанавливать зависимость ускорения тела от каждой из этих величин. При этом, разумеется, равенство (1) уже не является самостоятельным физическим законом, а представляет собой следствие законов динамики, выражаемых соотношением и формулой (3).

Еще один возможный способ логического построения динамики не требует предварительного введения способа измерения силы, не опирающегося на второй закон Ньютона. Вместо использования эталонной пружины можно просто принять по определению, что действующая на тело сила, сообщающая ему ускорение а, равна произведению массы тела на это ускорение:

При этом предполагается, что масса тела измеряется сравнением с массой эталона с помощью соотношения (3). В рамках такого подхода содержание второго закона Ньютона не сводится только к определению силы. Измерив данную силу по сообщаемому ею ускорению в каком-то одном движении, на опыте можно убедиться, что ускорение будет пропорционально силе и обратно пропорционально массе для всех других движений.

Законы динамики и опыт. Подводя итоги, мы видим, что возможны разные способы формулировки основ динамики, при которых во второй и третий законы Ньютона вкладывается различное содержание. Однако в каждом из этих подходов законы Ньютона в своей совокупности образуют эквивалентные, логически непротиворечивые схемы, позволяющие давать адекватное описание любых механических движений.

Законы Ньютона содержат настолько сильные и общие утверждения, что их экспериментальная проверка не сводится к каким-то «решающим» опытам, подтверждающим отдельные законы. Убеждение в справедливости законов Ньютона основывается на совпадении с опытом всех теоретических предсказаний относительно конкретных механических движений, сделанных с помощью этих законов.

Подлинным триумфом классической механики стало открытие в середине XIX века неизвестной до этого планеты Нептун, сделанное «на кончике пера». Анализируя наблюдавшиеся аномалии в движении наиболее удаленной из известных в то время планеты Уран, Леверрье во Франции и Адамс в Англии независимо друг от друга и практически одновременно пришли к выводу о том, что причиной таких аномалий может быть существование еще одной планеты, обладающей определенной массой и орбитой, внешней по отношению к орбите Урана. Всего лишь после получасового поиска берлинский астроном Галле обнаружил эту планету в предсказанном месте. В настоящее время предсказание положения планет на основе классической механики с помощью расчетов на ЭВМ согласуется с результатами наблюдений в пределах нескольких угловых секунд даже в тех случаях, когда производится экстраполяция на многие годы вперед.

• Сформулируйте возможные логические схемы построения законов динамики.

• Что можно сказать об экспериментальной проверке законов классической динамики? Почему невозможны какие-либо «решающие» опыты по проверке этих законов?

• Что вам известно о границах применимости законов классической динамики?