§ 26. Принцип относительности Галилея

Основные законы динамики — законы Ньютона — справедливы в инерциальных системах отсчета. Но инерциальных систем много. В какой именно инерциальной системе отсчета рассматривается изучаемое механическое движение — совершенно безразлично. Впервые это обстоятельство было осознано Галилеем.

В своей книге «Диалоги о двух системах мира — птолемеевой и коперниковой», вышедшей в свет в 1632 году, Галилей приводит описание различных механических опытов, производимых в закрытой каюте корабля, из которых следует вывод о том, что все явления происходят одинаково, независимо от того, покоится корабль или движется прямолинейно и равномерно.

Равноправие инерциальных систем. Галилей рассматривал следующие простые опыты. В неподвижном корабле капли воды из подвешенного к потолку ведерка попадают в сосуд с узким горлышком, подставленный внизу. Бросая предмет по направлению к носу корабля, не придется применять большего усилия, чем бросая его на то же расстояние в сторону кормы. Прыгая в длину, вы сделаете прыжок на одно и то же расстояние независимо от его направления. При равномерном движении корабля с какой угодно скоростью в отсутствие качки во всех этих явлениях не удается обнаружить ни малейшего изменения. Например, падающие капли будут по-прежнему попадать в горлышко подставленного сосуда, несмотря на то, что за время падения капли сосуд вместе с кораблем успевает переместиться на значительное расстояние. Ни по одному из этих явлений не удастся установить, движется ли корабль или по-прежнему стоит

на месте. Не помогут тут и самые тонкие механические опыты с точнейшими приборами.

Итак, находясь в закрытой каюте, с помощью механических опытов невозможно определить, стоит ли корабль или движется с постоянной скоростью. Другими словами, механические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета в том смысле, что одинаковы описывающие их законы динамики. Поэтому все инерциальные системы отсчета эквивалентны, т. е. равноправны.

Это утверждение о механической эквивалентности всех инерциальных систем отсчета в механике и составляет содержание принципа относительности Галилея.

Абсолютные и относительные величины. Остановимся на вопросе о равноправии инерциальных систем отсчета несколько подробнее. Вспомним про относительность механического движения, которая проявляется в том, что одно и то же движение с точки зрения разных систем отсчета выглядит по-разному. Траектория мячика, который подбрасывает и ловит находящийся в движущемся вагоне мальчик, представляется ему отрезком прямой линии, в то время как для наблюдателя на платформе станции этот мячик движется по параболе. Утверждая, что движение мячика в любой из этих систем отсчета описывается одними и теми же законами, мы имеем в виду, что уравнение второго закона Ньютона в обеих системах отсчета имеет вид

Получающееся из него выражение для скорости мячика имеет вид

а для его радиуса-вектора

При этом некоторые из входящих в эти формулы величин одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, т. е., как говорят, абсолютны. К ним в первую очередь относится время что уже обсуждалось в кинематике. Абсолютна и масса характеризующая инертные свойства тела. В классической механике абсолютна также и сила описывающая взаимодействие тел и поэтому зависящая от их взаимного расположения и, возможно, от их относительной скорости, которые одинаковы в обеих системах. Как мы видели в кинематике, ускорение а также одинаково во всех системах отсчета, движущихся прямолинейно и равномерно одна относительно другой.

Таким образом, уравнение (1), выражающее основной закон механического движения, удовлетворяет принципу относительности, ибо справедливо во всех инерциальных системах отсчета.

Другие величины, входящие в уравнения (2) и (3), - - имеют разные значения для одного и того же движения в зависимости от используемой системы отсчета. Законы их преобразования при переходе от одной системы отсчета к другой были рассмотрены в кинематике.

Движение в разных системах отсчета. В рассматриваемом примере с подбрасыванием мячика единственная действующая сила — это сила тяжести Мячик движется с одинаковым ускорением в обеих системах отсчета. Но начальная скорость мячика будет разной. В системе отсчета, связанной с движущимся вагоном, вектор направлен вертикально вверх. Из (2) при этом следует, что в любой момент времени скорость также направлена по вертикали — вверх или вниз, в зависимости от того, на каком участке траектории находится мячик. А из (3) видно, что относительно вагона траектория мячика представляет собой отрезок прямой. Обратим внимание на то, что в этой системе отсчета движение мячика описывается уравнениями, в которые скорость вагона V вообще не входит. Поэтому мячик будет двигаться одинаково как в неподвижном, так и в равномерно движущемся вагоне.

С точки зрения наблюдателя, стоящего на платформе, начальная скорость подбрасываемого мячика уже не направлена вертикально: она равна векторной сумме вертикальной начальной скорости мячика относительно вагона и горизонтальной скорости вагона. Поэтому в этой системе отсчета начальная скорость мячика направлена под углом к горизонту, и он, естественно, движется по параболе. В зависимости от значения скорости V вагона это будут разные параболы. Учитывая, что сам мальчик в этой системе отсчета движется горизонтально со скоростью вагона V, нетрудно показать, что, проделав свой путь по параболе, мячик опускается точно в руки мальчика. Докажите это самостоятельно и сравните, насколько проще оказывается математическое описание данного движения в одной системе отсчета по сравнению с другой, несмотря на то, что законы этого движения в обеих системах одинаковы.

Подводя итоги, можно сказать, что в разных инерциальных системах отсчета эволюция начального механического состояния происходит одинаково, по одним и тем же законам. Все различие заключается в виде начального механического состояния рассматриваемой физической системы. Именно различие начальных условий и приводит к тому, что одно и то же явление, описываемое одними и теми же законами, выглядит по-разному в разных инерциальных системах отсчета. В тех же случаях, когда в двух системах отсчета рассматриваются опыты, для которых и начальные условия совпадают, вся картина движения выглядит совершенно одинаково.

Принцип относительности на практике. Принцип относительности Галилея на практике можно использовать для упрощения решения многих физических задач. Удачный выбор одной из множества возможных инерциальных систем отсчета часто позволяет превратить сложную на первый взгляд задачу в почти очевидную. Более того, принцип относительности позволяет иногда получить ответ на вопрос о явлениях, для которых нам неизвестны описывающие их конкретные законы.

Задачи

1. Движение по ленте транспортера. Ленга горизонтального транспортера движется с постоянной скоростью V. На ленту влетает шайба со скоростью направленной поперек ленты. При какой ширине ленты шайба достигнет ее противоположного края, если коэффициент трения скольжения шайбы по поверхности ленты равен Какова траектория шайбы относительно земли?

Решение. В системе отсчета, связанной с землей, начальная скорость шайбы направлена поперек ленты, но в дальнейшем скорость не остается постоянной ни по модулю, ни по направлению. Поскольку сила сухого трения направлена противоположно скорости, то может показаться, что ускорение шайбы тоже все время меняется. А тогда уже становится совсем непонятно, как подступиться к этой задаче.

Задача становится совершенно очевидной, если перейти в систему отсчета, связанную с равномерно движущейся лентой транспортера. Такая система также является инерциальной.

Рис. 106. Скорость шайбы относительно ленты транспортера направлена под углом а к краю ленты

Рис. 107. Траектория шайбы в неподвижной системе отсчета

В этой системе отсчета начальная скорость шайбы направлена под углом а к краю ленты, тангенс которого равен отношению (рис. 106), а ее модуль

Сила трения постоянна по модулю и по направлению, так как она направлена противоположно скорости шайбы относительно ленты. Следовательно, в этой системе отсчета шайба движется прямолинейно с постоянным ускорением, модуль которого равен Очевидно, что пройденный шайбой до остановки (относительно ленты) путь дается выражением

При этом поперек ленты транспортера шайба переместится на расстояние

Подставляя сюда из (4) и

получаем

Если ширина ленты транспортера больше то шайба остановится, не достигнув противоположного края ленты.

Какова же будет траектория шайбы относительно земли? Поскольку движение происходит с постоянным ускорением, траектория в системе отсчета, связанной с землей, представляет собой отрезок параболы, ось которой составляет угол а с краем ленты (рис. 107). В начальной точке касательная к параболе направлена поперек ленты, а в точке остановки — вдоль ленты. Так как дальше шайба движется вместе с лентой, относительно земли ее дальнейшая траектория — прямая.

2. Скорость струйки воды. Докажите, что скорость истечения воды из отверстия в стенке сосуда, находящегося в вагоне поезда, одинакова независимо от того, стоит поезд на месте или движется равномерно и прямолинейно.

Решение. Для доказательства не требуется умения находить само значение скорости истечения воды. Эта скорость одинакова в обоих рассматриваемых случаях вследствие принципа относительности. Действительно, измеряя эту скорость в неподвижном и в движущемся равномерно и прямолинейно вагоне, мы получим одинаковые значения. Иначе этот опыт позволял бы обнаружить факт равномерного движения поезда, не выглядывая в окно. Однако вследствие принципа относительности это невозможно. Подобные опыты дают возможность обнаружить ускорение вагона, но не его скорость.

Заметим, что скорость истечения одинакова, если в обоих случаях она измеряется в системе отсчета, связанной с вагоном. Скорость истечения воды относительно земли зависит, разумеется, от скорости вагона.

• В чем заключается физическое содержание принципа относительности Галилея?

• Приведите известные вам примеры явлений, подтверждающих принцип относительности.

• Что конкретно имеют в виду, когда говорят, что механические явления описываются одними и теми же законами во всех инерциальных системах отсчета? Ведь для разных наблюдателей одно и то же явление может выглядеть по-разному.

• Почему, находясь в закрытом купе поезда и не выглядывая в окно, можно обнаружить ускорение вагона, но не его скорость?