§ 8. Ускорение

Только при прямолинейном равномерном движении частицы ее скорость остается неизменной. Во всех остальных случаях вектор скорости изменяется. При прямолинейном неравномерном движении изменяется модуль скорости. При криволинейном равномерном движении изменяется направление скорости. В общем случае неравномерного криволинейного движения изменяется и модуль, и направление скорости. Физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости, называется ускорением.

Пусть за промежуток времени вектор скорости изменяется от значения до значения Отношение изменения скорости к промежутку времени называется средним ускорением за этот промежуток:

Ускорение — вектор. Среднее ускорение представляет собой вектор, направленный вдоль Он характеризует быстроту изменения скорости за определенный конечный промежуток времени. Неограниченно уменьшая этот промежуток, приходим к физической величине, характеризующей быстроту изменения скорости в данный момент времени. Эта величина называется ускорением:

В отличие от вектора скорости, который всегда направлен по касательной к траектории, вектор ускорения может иметь составляющие, направленные как по касательной, так и по нормали к траектории.

Направление ускорения. Вектор ускорения направлен вдоль траектории только тогда, когда эта траектория прямолинейная. Если частица ускоряется, т. е. модуль ее скорости растет, то вектор направлен вдоль траектории вперед. Такое же направление имеет и вектор ускорения. Если движение частицы замедляется, т. е. модуль ее скорости убывает, то вектор ускорения направлен вдоль траектории назад.

Вектор ускорения направлен строго поперек траектории только при равномерном движении по криволинейной траектории, когда модуль скорости неизменен. Если вектор скорости по модулю не меняется, то все его изменение сводится к повороту.

Рис. 23. Приращение скорости при равномерном движении по криволинейной траектории

Рис. 24. Приращение скорости при равномерном движении по окружности

При этом, разумеется, векторы скорости для разных моментов времени изображаются выходящими из одной точки, хотя эти векторы соответствуют разным точкам траектории (рис. 23). Видно, что вектор а следовательно, и вектор ускорения направлены в сторону вогнутости траектории.

Рассмотрим частный случай движения по криволинейной траектории — равномерное движение по окружности радиуса (рис. 24). В этом случае вектор ускорения в любой точке траектории

направлен к центру окружности. С этим связано его название — центростремительное ускорение.

Центростремительное ускорение. Модуль центростремительного ускорения зависит от радиуса окружности и модуля скорости Для вывода формулы, выражающей эту зависимость, рассмотрим две близкие точки траектории А и В, в которых частица находится через промежуток времени (рис. 24). Радиусы ОА и ОВ, проведенные из центра О окружности в эти точки, перпендикулярны соответствующим векторам скоростей и

Перенесем вектор назад параллельно самому себе так, чтобы его начало оказалось в той же точке А, что и начало вектора Тогда вектор приращения скорости будет замыкать треугольник, образованный этими векторами скоростей. Из подобия равнобедренных треугольников на рис. 24 следует

Длина хорды при все меньше и меньше отличается от длины дуги равной Поэтому при находим

Полученное выражение (3) для центростремительного ускорения справедливо при равномерном движении по любой криволинейной траектории.

Рис. 25. Приближение участков криволинейной траектории дугами окружностей

Рис. 26. К нахождению центра аппроксимирующей окружности

Дело в том, что достаточно малый участок любой плавной кривой можно приближенно рассматривать как дугу некоторой окружности. Положение центра этой окружности и ее радиус будут своими для каждой точки траектории (рис. 25).

Для геометрического определения положения центра и радиуса нужно взять две близкие точки криволинейной траектории, провести в них касательные и построить перпендикуляры к этим касательным (рис. 26). Центр окружности, аппроксимирующей криволинейную траекторию в точке А, находится как предельное

полоэкение точки О пересечения этих перпендикуляров при неограниченном уменьшении длины дуги АВ, т. е. при стремлении точки В к точке А.

Таким образом, любое движение по криволинейной траектории можно представить как движение по дугам окружностей, центры и радиусы которых изменяются от точки к точке траектории. При равномерном движении вектор ускорения в каждой точке траектории направлен к центру соответствующей окружности, т. е. перпендикулярно касательной к траектории, а его модуль дается той же формулой (3). Поэтому в отличие от равномерного движения по окружности, где вектор ускорения не изменяется по модулю и, поворачиваясь, смотрит все время в одну точку, при равномерном движении по произвольной кривой вектор ускорения уже не сохраняется по модулю и, изменяя свое направление, уже не смотрит в одну точку. Однако в каждой точке он направлен по нормали к траектории.

В общем случае при неравномерном движении по произвольной криволинейной траектории вектор ускорения можно представить в виде суммы двух составляющих: тангенциальной и нормальной. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории и характеризует быстроту изменения модуля скорости. Нормальное ускорение направлено в каждой точке к центру окружности, аппроксимирующей траекторию движения в этой точке, и характеризует быстроту изменения направления скорости.

• Объясните, почему при равномерном криволинейном движении вектор ускорения в каждой точке направлен перпендикулярно траектории.

• Опишите способ нахождения центра и радиуса окружности, аппроксимирующей данную траекторию в какой-либо ее точке.

• В какую сторону — вперед или назад — направлен вектор тангенциального ускорения? Другими словами, направлен он вдоль вектора скорости или противоположно ему?

Ускорение — производная скорости. По аналогии с формулой (5) предыдущего параграфа, рассматривая скорость как векторную функцию времени можно сказать, что определяемое формулой (2) ускорение а представляет собой производную функции по времени Используя для производной те же обозначения, что и в формуле (6) предыдущего параграфа, можно написать

Сравнивая эти формулы с соответствующими выражениями (6) из § 7, можно отметить определенную формальную аналогию между скоростью и ускорением. Пусть конец радиуса-вектора описывает некоторую траекторию, как показано на рис. 27. В

каждый момент времени вектор скорости направлен по касательной к траектории. Изобразим все векторы скорости и т. д. для разных моментов времени так, чтобы они начинались из одной точки А (рис. 27).

Рис. 27. Годограф вектора скорости — кривая Вектор ускорения а направлен по касательной к годографу скорости

При движении частицы по траектории конец вектора скорости на таком чертеже будет описывать кривую называемую годографом вектора скорости. Используя эту терминологию, можно сказать, что сама траектория частицы является годографом ее радиуса-вектора.

Теперь легко сообразить, что вектор ускорения на рис. 27 будет в каждой точке направлен по касательной к годографу вектора скорости, подобно тому как вектор скорости направлен по касательной к траектории на рис. 14.

С помощью описанной аналогии легко найти формулу для модуля центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности.

Рис. 28. Вектор скорости при равномерном движении по окружности (а) и годограф вектора скорости (б). Вектор ускорения в каждой точке траектории направлен к центру окружности

Годограф скорости для такого движения показан на рис. 28. Пока частица совершает один оборот по траектории,

конец вектора скорости совершает один оборот по годографу. Модуль скорости частицы равен отношению длины окружности к периоду обращения Т:

Аналогичное соотношение, естественно, связывает модуль ускорения а с радиусом годографа скорости

Сравнивая эти формулы, получаем

а сравнивая рис. 28а, б, убеждаемся, что вектор ускорения а в каждый момент времени направлен противоположно радиусу-вектору частицы для этого же момента времени, проведенному из центра окружности: ускорение а направлено к центру окружности, являющейся траекторией движения.

Тангенциальное и нормальное ускорения. Остановимся подробнее на выводе формул для тангенциального и нормального ускорений. Для этого запишем выражение для вектора скорости в определенной точке криволинейной траектории в виде

где — модуль скорости, вектор, равный по модулю единице и направленный вдоль касательной к траектории в ту сторону, куда движется частица. Будем для краткости называть его единичным вектором касательной. При движении частицы по криволинейной траектории меняется только направление вектора х, а его модуль остается неизменным и равным единице.

Так как ускорение в соответствии с (2) равно производной скорости по времени, то, применяя к (5) правило дифференцирования произведения двух функций, можно написать

Первое слагаемое в правой части — это тангенциальное ускорение: видно, что оно направлено по касательной к траектории вперед, когда модуль скорости растет и назад, когда модуль скорости убывает

Второе слагаемое в правой части — это нормальное ускорение, направленное перпендикулярно касательной к траектории. Чтобы убедиться в этом, преобразуем входящую в него производную следующим образом. Направление единичного вектора фактически зависит от положения частицы на траектории,

которое можно задавать длиной дуги Поэтому его зависимость от времени определяется зависимостью от времени длины дуги Дифференцируя как сложную функцию времени, найдем

Здесь мы воспользовались тем, что Смысл производной легко уяснить из рис. 29. Все изменение вектора х при переходе частицы из точки А в близкую к ней точку В, отстоящую по траектории на длину дуги сводится к повороту на некоторый малый угол Поэтому для модуля вектора можно написать

Сам вектор можно представить в виде

где — единичный вектор нормали к траектории, направленный из данной точки траектории к центру О аппроксимирующей ее окружности. Из рис. 29 видно, что длину дуги можно выразить через радиус аппроксимирующей окружности:

Рис. 29. К вычислению производной

В результате можно представить следующим образом:

после чего выражение (7) принимает вид

Теперь можно написать окончательное выражение для ускорения а, подставляя в (6):

Поскольку единичный вектор нормали всегда смотрит в сторону вогнутости траектории, вектор полного ускорения а по отношению к траектории может быть направлен только так, как показано на рис. 30.

Формула (9) фактически представляет собой разложение вектора а на две составляющие. Такое разложение, конечно, может быть выполнено бесконечным числом способов. Данный способ

замечателен тем, что две взаимно перпендикулярные составляющие вектора ускорения имеют ясный физический смысл: одна из них характеризует быстроту изменения модуля скорости, а другая — быстроту изменения его направления.

Рис. 30. Расположение вектора а полного ускорения по отношению к траектории

По теореме Пифагора для модуля полного ускорения имеем

• Объясните, почему вектор направлен вдоль вектора нормали к траектории.

• Почему равны углы, отмеченные дужками на рис. 29?

• От чего зависит угол отклонения вектора а полного ускорения частицы от направления нормали к траектории?