2.5. Ортогональные сигналы с равной энергией в АБГШ канале

Проверим результаты предыдущего параграфа на конкретном наборе сигналов и конкретном канале. Рассмотрим наиболее простой и легко представимый для АБГШ канала набор сигналов — ортогональных сигналов равной энергии, определяемый соотношениями:

В следующем параграфе дтны примеры наборов ортогональных сигналов. Поскольку сигналы ортог шальны, удобнее всего выбрать ортонормальные базисные функции в виде

При этом, очевидно, выполняется соотношение (2.1.2). Тогда компоненты сигнального вектора становятся равными

а следовательно, определенная соотношением (2.1.15) функция правдоподобия в АБГШ канале при задается равенством

Подставив полученное соотношение в (2.4.8), после ряда преобразований, получим

справедливое для любэго Положив имеем

где

Поскольку -кратное произведение в (2.5.5) представляет собой плотность вероятностей независимых стандартных (среднее равно нулю, дисперсия — единице) гауссовских случайных величин, (2.5.5) может быть переписано в виде

где математическое ожидание соответствует усреднению по независимым стандартным гауссовским случайным величинам Легко проверить, что математическое ожидание равно

Второе математическое ожидание в неравенстве (2.5.7) нельзя записать в компактной форме. Однако его просто оценить сверху, если ограничить параметр единичным интервалом. По неравенству Иенсена, доказанному в приложении 1Б, для выпуклой функции случайной величины справедливо неравенство

Полагая и учитывая, что последняя функ-

выпукла по при из неравенства (2.5.9) получаем

где последнее равенство вытекает из того, что все случайные личины одинаково распределены. Теперь неравенство (2.5.7) за пишется в следующем виде:

Приведенная граница справедлива при всех а следовательно, служит границей и для Подставив, наконец, соотношение (2.5.8) в неравенство (2.5.11), получим

Ясно, что неравенство (2.5.12) представляет собой обобщение аддитивной границы Бхаттачария (2.3.19) и сводится к последней при

Прежде чем переходить к задаче оптимизации по приведенной границы, удобно ввести параметр, задающий отношение сигнал-шум

где мощность сигнала или энергия в секунду, а также параметр скорости, определяемый соотношением

Второе равенство справедливо в силу предположения, что каждые секунд источник порождает один из равновероятных символов. Тривиально оценивая сверху величиной можно выразить неравенство (2.5.12) через соотношения (2.5.13) и

Самая точная граница в приведенной форме получится, если мы найдем максимум по взятого со знаком минус показателя экспоненты в правой части (2.5.15) при принадлежащих единичному интервалу. Но при положительных указанный

показатель представляет собой выпуклую функцию, что показано на рис. 2.8, с максимумом в точке Поэтому при максимум достигается внутри единичного интервала; при максимум имеет место при следовательно, взятый со знаком минус показатель монотонно растет на единичном интервале. Поэтому в последнем случае самая точная оценка получится при

Рис. 2.8 Показатель верхней границы (2.5.15) при

Подставив найденные значения в соотношение (2.5.15), получим

где

Эта граница бесполезна при В следующей главе мы покажем, что в этой области когда стремятся к бесконечности.

Граница (2.5.16) была впервые получена в несколько более сложной форме Р. М. Фано [1961]. Показатель иногда называют функцией надежности (рис. 2.9). Отметим, что аддитивная граница Бхаттачария (2.3.19), в которую переходит (2.5.12) при имеет вид прямой линии, показанной на том же рисунке штриховой линией. Следовательно, граница Галлагера, лучше границы для объединения событий при всех скоростях, кроме малых. Это свойство, как выяснится позже, справедливо для гораздо более общих каналов и наборов сигналов.

Рис. 2.9. Показатель оптимизированной верхней границы (2.5.16)

Отличный от задаваемого соотношениями (2.5.13) и (2.5.14) набор характерных параметров получится, если

ориентироваться на физический смысл рассматриваемых величин. Этот набор включает принимаемую энергию на информационный бит. Для системы, изображенной на рис. 2.1, она определяется при как энергия сигнала, нормированная числом переданных в нем бит, т. е.

Сравнивая последнее соотношение с (2.5.13) и (2.5.14), видим, что

Величину называют отношением энергии на бит к спектральной плотности. Из соотношений (2.5.16) и (2.5.18) следует экспоненциальное убывание с ростом при Для ортогональных сигналов.

В конечном счете самое важное следствие (2.5.16) заключается в том, что при увеличении следовательно, можно сделать сколь угодно малой при всех скоростях передачи (или, что то же самое, при . Этот фундаментальный результат применим ко всем каналам. Однако слишком большое может оказаться Неприемлемым с точки зрения сложности системы. Как будет показано в следующем параграфе, это происходит в случае ортогональных сигналов. Большая часть книги посвящена задаче отыскания таких наборов сигналов или кодов и таких методов декодирования, при которых сложность системы остается приемлемой при увеличивающихся